51 CHƯƠNG 3 – MỘT SỐ CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI .... Đây là một trong những nội dung quan trọng bắt buộc học sinh THCS ph
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Hệ phương trình
Cho hai hàm số của n biến x ,x , ,x là 1 2 n f x ,x , ,x và 1 2 n g x ,x , ,x 1 2 n
Trong không gian n chiều, tập hợp các số x = (x₁, x₂, , xₙ) được gọi là điểm trong không gian này Các hàm số f(x) và g(x) được xác định dựa trên các biến trong không gian n chiều, với f(x) có miền xác định D₁ ⊆ ℝⁿ và g(x) có miền xác định D₂ ⊆ ℝⁿ Phương trình f(x) = g(x) thể hiện hiệu của hai hàm số bằng nhau, chính là xác định tập hợp các điểm x trong không gian n chiều thoả mãn điều kiện này Khi coi f và g là hàm của n biến, phương trình này có nẩn là biến x₁, x₂, , xₙ, tạo thành phương trình của n ẩn trong không gian Tập hợp các giá trị tham số phù hợp để phương trình có nghiệm chính là miền xác định của phương trình, được xác định bằng giao của hai miền D₁ và D₂, gọi là tập S = D₁ ∩ D₂.
Định nghĩa hệ phương trình
Cho m phương trình f x 1 g x ,f x 1 2 g x , ,f x 2 m g x m , miền xác định lần lượt làS ,S , ,S ( Có thể xem 1 2 m f x và i g x , i=1, ,m là các i hàm n biến, bằng cách xem biến x n như trên)
Trong đó mỗi phương trình được xét trên miền xác định chung của hệ m i 1 i
là kí hiệu của hàm mệnh đề: “Giá trị tại x của hai hàm số trong từng phương trình là bằng nhau”
Định nghĩa nghiệm của hệ phương trình
Một giá trị \( a \in S \) của \( x \) được gọi là nghiệm của hệ phương trình nếu nó làm cho từng phương trình trong hệ trở thành đẳng thức đúng, tức là \( f_i(a) = g_{i}(a) \) với \( i = 1, 2, , m \) Khi đó, ta nói rằng hệ phương trình có nghiệm Điều này có nghĩa là giá trị \( a \) thỏa mãn tất cả các phương trình trong hệ, phản ánh tính nhất quán của hệ phương trình đó.
i i f x g x có tập hợp nghiệm làM , thì tập hợp nghiệm của hệ là i m i 1 i
do đó nếu có một phương trình tích của hệ là vô nghiệm thì hệ là vô nghiệm
Định nghĩa hai hệ phương trình tương đương Để cho gọn, ta viết P x ,P x là hai hệ phương trình một ẩn hay n ẩn; 1 2
Trong lĩnh vực toán học, tập nghiệm của phương trình P₁(x) và P₂(x), ký hiệu lần lượt là M₁ và M₂, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mối liên hệ giữa các phương trình Hai phương trình P₁(x) và P₂(x) được gọi là tương đương khi M₁ bằng M₂, nghĩa là tập nghiệm của chúng giống nhau Nói cách khác, P₁(x) và P₂(x) là tương đương trên tập xác định S nếu và chỉ nếu tập nghiệm của P₁(x) là tập con của tập nghiệm của P₂(x), điều này giúp xác định hiệu quả các mối liên hệ giữa các phương trình trong nghiên cứu toán học.
P x và tập nghiệm M của 2 P x là tập con của tập nghiệm 2 M của 1 P x 1
(hay P x và 1 P x là hệ quả của nhau) Ta kí hiệu bởi: 2 P x 1 P x 2 hoặc
Trong chương trình đại số cấp THCS, hệ phương trình phổ biến nhất thường gặp có 2 hoặc 3 ẩn số, trong đó hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là dạng điển hình được xét Bài khóa luận này tập trung vào phân tích và giải quyết các hệ phương trình này nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt trong học tập Việc nghiên cứu các hệ phương trình này không chỉ giúp củng cố kỹ năng giải toán mà còn chuẩn bị nền tảng cho các phần nâng cao trong toán học cấp trung học cơ sở.
10 số, hệ phương trình ba ẩn số bình đẳng, hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2,…
1.1.2.Các định lí về hệ phương trình tương đương
Thật vậy, nếu F 0 1 vô nghiệm thì I II vì đều vô nghiệm
Giả sử F có nghiệm và 1 x ,x , ,x1 2 n a ,a , ,a1 2 n là nghiệm của nó, nghĩa là a f a , ,a1 2 n là một đẳng thức đúng
Khi đó, trong đẳng thức F a ,a , ,ai 1 2 n 0,i 2, ,m việc thay thế số a bởi 1 f a , ,a sẽ không làm ảnh hưởng gì đến đẳng thức đó cả 1 2 n
Do đó nếu a ,a , ,a là nghiệm của hệ 1 2 n I thì cũng là nghiệm của hệ II và ngược lại
(n có thể là các số, có thể là hàm số của các ẩn, ik n ,n , ,n 22 33 mm 0trong miền xác định của I )
Các nghiệm của phương trình I cũng là nghiệm của phương trình II, vì nếu F₀,i = 1, 2, , m, thì các vế trái của các phương trình trong hệ II cũng bằng không Nếu nF₀,1 = 1 và nF₀,2 = 2, thì nF₀,1 = 1, nF₀,2 = 2 và n₂ ≠ 0, dẫn đến F₀,2 = 0 Tương tự, nếu F = F₀,1 = F₀,2, thì từ dòng thứ ba của hệ II, ta có nF₀,3 = 3, với n₃ ≠ 0 nên F₀,3 cũng bằng 0, chứng minh sự liên hệ chặt chẽ giữa các nghiệm của hai hệ phương trình này.
Hệ bất phương trình
1.2.1.Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x với các dạng như f(x) > g(x), f(x) < g(x), f(x) ≥ g(x), hoặc f(x) ≤ g(x), trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức chứa cùng biến x Điều kiện xác định của bất phương trình (ĐKXĐ) là các điều kiện cần thiết của biến x để các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa, đảm bảo tính hợp lệ của bất phương trình.
Giá trị x 0 thỏa mãn ĐKXĐ làm cho f (x ) g(x ) 0 0 là một mệnh đề đúng thì x 0 là một nghiệm của bất phương trình f (x) g(x)
1.2.2.Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho
là xét một hệ bất phương trình một ẩn
Giải hệ bất phương trình là quá trình tìm tập nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ đó Để thực hiện, ta lần lượt giải từng bất phương trình riêng lẻ, sau đó lấy giao của các tập nghiệm để xác định tập nghiệm của hệ Phương pháp này giúp xác định chính xác các giá trị thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ cùng lúc.
1.2.3.Bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình \(f(x) < g_1(x)\) và \(f(x) < g_2(x)\) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm, ký hiệu là \(f(x) < g_1(x) \iff f(x) < g_2(x)\) Theo định lý, với tập xác định \(D\) của bất phương trình \(f(x) < g(x)\) và biểu thức \(h(x)\) xác định trên \(D\), ta có: nếu \(f(x) + h(x) < g(x) + h(x)\) thì và chỉ thì \(f(x) < g(x)\).
CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số phương pháp chung giải hệ phương trình:
Phương pháp cộng đại số
Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp biến đổi thành tích
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số là hệ phương trình có dạng ax by c a'x b'y c'
1 2 trong đó a,b,c,a',b',c' là các số cho trước, a 2 b 2 0 và a' b' 2 2 0
Nghiệm của hệ là cặp số x, y thỏa mãn đồng thời hai phương trình
1 và 2 của hệ Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ
- Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế
- Phương pháp cộng đại số
Ví dụ 2.1 Giải hệ phương trình sau: 3x 2y 4
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế:
Từ phương trình 2 của hệ, rút y theo x ta có y 5 2x 3
Thay 3 vào phương trình 1 của hệ ta được:
3x 2 5 2x 4 7x 14 Theo quy tắc thế, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là S 2;1
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số
Nhân cả hai vế của phương trình 2 với 2 rồi cộng với phương trình 1 vế với vế ta được: 4x 2y 3x 2y 10 4 Hay 7x 14
Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là S 2;1
Hệ có chứa một phương trình bậc nhất
Hệ có chứa một phương trình bậc nhất có dạng:
trong đó f là đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 2
- Rút ẩn bậc nhất theo ẩn thứ hai, rồi thế vào phương trình còn lại
- Dùng các phép biến đổi đồng nhất kếp hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để dưa phương trình về dạng tích đơn giản đã biết cách giải
2.2.3 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình sau xy x 2 0 3 2 2 2
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là
Ví dụ 2.3 Giải hệ phương trình sau x 2y y x 1 2x 2y 2 2 xy x y x 2y
Kết hợp với phương trình 2 , ta được
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 2;5
Ví dụ 2.4 Giải hệ phương trình sau
Hướng dẫn giải Điều kiện: x y 0 x y 0 x y 0
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 2;2 , 32 8 15;8 2 15 .
Hệ phương trình với 3 ẩn số bình đẳng
Hệ phương trình 3 ẩn số bình đẳng là hệ gồm các phương trình đều có dạng bình đẳng với 3 ẩn số, đảm bảo tính đối xứng khi hoán vị hai ẩn bất kỳ Điều đó có nghĩa là, nếu thay đổi vị trí của các ẩn trong phương trình, thì các phương trình vẫn giữ nguyên giá trị và không thay đổi dạng ban đầu Hệ này thể hiện tính chất đối xứng, giúp các phương trình giữ vững tính đồng nhất khi thực hiện các phép hoán vị ẩn số.
Phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình 3 ẩn số bình đẳng là đưa về hệ phương trình:
Dùng phép thế hoặc định lí Vi-ét đảo, ta đưa * về hệ phương trình một ẩn:x 3 ax 2 bx c 0
Giải phương trình trên ta tìm được x 0 thế vào phương trình 1 và 3 có:
Như vậy x, y, z là nghiệm của phương trình 2 0
Ví dụ 2.5 Giải hệ phương trình sau: 2 2 2
Từ hệ phương trình ta có:
Theo định lý Vi-ét thì x, y, z là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là S x; y;z 1;2; 2
Hệ phương trình đối xứng loại I
- Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tực các phương trình cũng không thay đổi
- Biến đổi về tổng – tích và đặt S x y
đưa về hệ mới (II) với ẩn S, P
- Giải hệ (II) tìm được S, P và điều kiện có nghiệm là S 4P 0 2
- Tìm nghiệm x, y bằng cách giải phương trình X 2 SX P 0 hoặc nhẩm nghiệm S, P đơn giản
Một số biến đổi hằng đẳng thức hay dùng trong dạng này để đưa về tổng – tích:
Ví dụ 2.6 Giải hệ phương trình
, điều kiện S 4P 0 2 , khi đó hệ đã cho có dạng:
Từ 1 suy ra P 11 S , thay vào phương trình 2 ta được:
S 2 11 S 3S 28 S 5S 50 0 Phương trình này có hai nghiệm phân biệt: S 5;S 10
* Nếu S 5 thì P 6, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: t2 5t 6 0 t 2 t 3 0 t 2 t 3
* Nếu S 10 thì P 21 , nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: t2 10t 21 0 t+3 t+7 =0 t 3 t 7
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là S 2;3 ; 3;2 ; 3; 7 ; 7; 3
Ví dụ 2.7 Giải hệ phương trình sau
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0,y 0
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1,2 , 2; 1
Ví dụ 2.8 Giải hệ phương trình sau
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là
Hệ phương trình đối xứng loại II
Hệ phương trình đối xứng loại (II): I
- Đổi chỗ 2 ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi
Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào ta cũng thu được một nhân tử x y tức có x = y Cụ thể như sau:
- Trừ (1) và (2) theo vế ta được:
- Biến đổi (3) về phương trình tích:
- Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I)
Ví dụ 2.9 Giải hệ phương trình sau: x 1 2y 3 3 y 1 2x
Trừ từng vế của phương trình 1 cho phương trình 2 ta được:
Thay x y vào phương trình 1 ta được
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là
Ví dụ 2.10 Giải hệ phương trình sau 2
Thay đổi vị trí x và y trong phương trình khiến phương trình ban đầu biến thành phương trình mới, đồng thời hệ phương trình không thay đổi, chứng tỏ đây là hệ đối xứng loại II Để giải, ta lấy vế trừ theo vế, từ đó xác định lời giải phù hợp cho bài toán.
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y 0
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 1; 1
Hệ phương trình đẳng cấp
Hệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình có dạng:
Trong đó f x,y và i g x,y , i 1,2i là các đa thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc
Xét riêng y 0 có là nghiệm của hệ phương trình không?
Nếu y 0 , chia phương trình đẳng cấp cho y , đặt 2 t = x y, được phương trình chỉ chứa t, tìm được t thay vào x = t y và kết hợp với phương trình còn lại để tìm ra x và y
Ví dụ 2.11 Giải hệ phương trình sau: x 2 2 2xy 3y 2 2 9
Ta thấy phương trình 2 của hệ là phương trình đẳng cấp bậc hai
- Xét trường hợp y = 0, thay vào hệ ta có: x 2 2 9
- Xét trường hợp y 0 , chia cả hai vế của phương trình 2 cho y ta có : 2 x 2 x
Đặt t = x y thay vào ta có: 2t 13t 15 0 2 t = 3
2 2 , thay vào phương trìn h 1 của hệ ta được: y = 42 y 2 x 3 Với t = 5x = 5y, thay vào phương trình 1 của hệ ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
Ví dụ 2.12 Giải hệ phương trình sau 2 2
+) Với x 0,y 0 thì * 0 0 0 0 nên x;y 0;0 là nghiệm của (*)
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 0;0 , 3;1
Hệ phương trình không mẫu mực
Dạng hệ phương trình này không có phương pháp giải cụ thể mà ta phải khéo léo đưa nó về các dạng hệ phương trình đã biết cách giải
2.7.1 Phương pháp biến đổi tương đương Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số Cùng với đó ta cần thực hiện các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trình biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung…
Ví dụ 2.13 Giải hệ phương trình sau:
(Đề thi vào THPT Chuyên – Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2010 – 2011)
Lấy phương trình 1 thế vào phương trình 2 ta được :
Vậy hệ phương trình có nghiệm là S 1;1 ; 2;1
Ví dụ 2.14 Giải hệ phương trình:
( Báo Toán học và tuổi trẻ)
Hướng dẫn giải Điều kiện: x + y > 0 Ta có:
Vì x + y > 0 nên (4) không thỏa mãn
Vậy hệ đã cho có nghiệm là: S = 1; 0 ; 2; 3
Ví dụ 2.15 Giải các hệ phương trình sau
(Đề thi vào 10 – THPT chuyên – TP Hà Nội 2012 – 2013)
Hướng dẫn giải Điều kiện x 0 Hệ phương trình đã cho tương đương
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 2;1
Ví dụ 2.16 Giải hệ phương trình sau x 2 2 y 2 2 4x 2y 3 x y 5
(Đề thi vào 10 THPT chuyên – ĐH Quốc Gia Hà Nội 2006 – 2007)
+) Trường hợp 1 Với x 2 y 1 thì y x 1 , ta thay vào phương trình x 2 y 2 5 thu được
Với x 1, thay vào phương trình y x 1 được y 2
Với x 2 , thay vào phương trình y x 1 được y 1
+) Trường hợp 2 Với x 2 1 y thì y 3 x , ta thay vào phương trình x 2 y 2 5 thu được
Với x 2 , thay vào phương trình y 3 x ta được y 1
Với x 1 , thay vào phương trình y 3 x ta được y 2
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1; 2 , 2;1 , 1;2
2.7.2 Phương pháp biến đổi thành tích
Phương pháp phân tích thành tích là một trong những kỹ thuật phổ biến để giải hệ phương trình, giúp biến đổi một trong các phương trình thành tích các nhân tử hoặc kết hợp hai phương trình thành dạng tích để dễ dàng giải Để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta thường sử dụng các công cụ như hằng đẳng thức, nghiệm nhẩm, sơ đồ Hooc-ne và phương pháp hệ số bất định Phương pháp này cho phép dễ dàng tính toán và xác định các ẩn trong hệ phương trình một cách hiệu quả.
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.17 Giải hệ phương trình sau
( Đề thi vào THPT - Chuyên Toán – Tin – Đại học Sư phạm Hà Nội 2011 –
Hướng dẫn giải Điều kiện: x + y > 0 Phương trình x y x 2 y tương đương với phương trình sau:
Thay y = x 2 x x > 0 phương trình x + y + 2 2 2xy = 1 x + y ta được:
- Với x = 1, thế vào phương trình y x 2 x đã cho ta được y 0
, do đó phương trình này vô nghiệm
Kết hợp hệ I với hệ đã cho ta được 2
Để giải hệ trên, ta đặt S = x + y
Vậy phương trình x + y + 2 2 2xy = 1 x + y trở thành
- Nếu S = 1 thì x + y = 1 y = 1 x Thế vào hệ I ta được
Ta thấy rằng phương trình này vô nghiệm vì x y 0 suy ra
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = 1;0 , 2;3
Ví dụ 2.18 Giải hệ phương trình sau 2xy 2 2 6 3x 4y x 4y 4x 12y 3
Hệ phương trình I đã cho tương đương với
Hệ phương trình đã cho tương đương với
Thế x = 1 2y vào phương trình thứ hai ta được
Thế x = 9 2y vào phương trình thứ hai ta được
Vậy hệ đã cho có tập nghiệm là:
Ví dụ 2.19 Giải hệ phương trình sau x 4 2 4x 2 2 y 2 6y 9 0 x y x 2y 22 0
Hệ phương trình có bậc cao (bậc 4), do đó chúng ta có thể giảm bậc bằng cách đặt t = 2 Bằng cách này, ta sẽ chuyển về phương trình bậc 2 để dễ dàng giải quyết Để đảm bảo giá trị của Δ là chính phương, ta sẽ sử dụng hệ số bất định phù hợp trong quá trình biến đổi.
Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn x 2 ta có
Để giá trị của Δ trở thành số chính phương, điều kiện đầu tiên là hệ số của y² phải là số chính phương Nghĩa là, ta cần giải phương trình nghiệm nguyên \( a^2 - 4k^2 = 0 \) để tìm các nghiệm phù hợp Sau khi xác định được các nghiệm của phương trình này, ta sẽ thử lại để kiểm tra xem các giá trị đó có làm cho Δ là số chính phương hay không, đảm bảo tính chính xác trong quá trình giải bài toán.
Cộng theo từng vế của các phương trình 1 2 2 ta được
+) Nếu y 5 x 2 thay vào (1) ta có phương trình:
+) Nếu y x 2 7thay vào (1) ta có phương trình
Ta thế vào phương trình y x 2 7được
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là
2.7.3 Phương pháp đặt ẩn phụ
Một số phương trình sau khi nhân chia hai vế cho cùng một biểu thức khác không hoặc bằng một số, thông qua các phép tách và ghép khéo léo, giúp biến đổi các đại lượng phức tạp thành những dạng đơn giản, quen thuộc Việc đặt ẩn phụ là kỹ thuật quan trọng để đưa hệ phương trình phức tạp về dạng dễ giải hơn Nhờ đó, các bài toán khó trở nên dễ hiểu và dễ xử lý hơn trong quá trình giải toán.
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.20 Giải hệ phương trình:
Dễ thấy y = 0không thỏa mãn hệ phương trình
Với y 0 , chia cả hai vế của 1 và 2 cho y, ta có:
Nhận thấy, phương trình 4 vô nghiệm vì 103 0 nên suy ra hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: S = 1; 2 ; 2; 5
Ví dụ 2.21 Giải hệ phương trình sau x + y xy = 3 x + 1 + y + 1 = 4
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1;y 1;xy 0
Hệ phương trình đã cho tương đương với
I Đặt x + y = a, xy = b; a 2,b 0,a 2 4b 2 Hệ phương trình I trở thành:
Theo cách đặt ta được: x + y = 6 x + y = 6 xy = 9 xy = 3
Vậy x, y là nghiệm của phương trình t 2 6t + 9 = 0 t = 3 Suy ra hệ phương trình có nghiệm x = y = 3
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S = 3;3
Ví dụ 2.22 Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải Điều kiện y 0 , đặt u x y v xy
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 2; 1 , 2;1
Dấu hiệu cho phép sử dụng phương pháp này là khi số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn, giúp xác định rõ ràng khả năng giải quyết của hệ Tuy nhiên, phương pháp này vẫn có thể áp dụng trong các hệ số của phương trình bằng số ẩn, mở rộng khả năng xử lý các hệ phương trình phức tạp hơn.
Trong phương pháp này, chúng ta tận dụng các tính chất của căn thức và giá trị tuyệt đối để xử lý các bài toán, đồng thời áp dụng các bất đẳng thức phổ biến như bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacốpski để chứng minh các mệnh đề một cách chính xác và hiệu quả.
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.23 Giải hệ phương trình nghiệm dương
Xét vế trái của phương trình 2 ta có:
VT = 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
VT 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz 1 + 3 xyz + 3 xyz + xyz = 1 + xyz
Để phương trình 2 xảy ra dấu " " xảy ra z = y = x = 1
Thay z = y = x = 1 vào phương trình 1 thấy thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: S = 1;1;1
Ví dụ 2.24 Giải hệ phương trình sau:
(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 379) Hướng dẫn giải
Cộng các vế của phương trình 1 và 2 , ta có:
Tương tự, ta cũng có:
Vì vế phải của phương trình * : x + y 2 2 0 x, y nênVT * 0 Khi đó ta có:
+) 0 VT xy + xy =2 xy +)VP = x + y 2 2 2 xy 2xy Vậy để phương trình * xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng xảy ra x = y = 1
cũng là nghiệm của hệ phương trình
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: S = 0;0 ; 1;1
Ví dụ 2.25 Giải hệ phương trình sau 4 2
Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x; y nhờ điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2
Xét phương trình 2 là phương trình bậc hai theo ẩn x:
2 2 x + x y 3 + y 4y + 4 = 0 Khi đó, 1 = y 3 2 4 y 2 2 Để phương trình có nghiệm 1 0 1 y 7
3 Tương tự, xét phương trình 2 là nghiệm bậc hai theo ẩn y ta có:
3 3 thay vào hệ đã cho không thấy thỏa mãn Suy ra, hệ đã cho vô nghiệm
Ví dụ 2.26 Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải Điều kiện: 1 x 1,i 1,2, ,2016 i
+) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số
47 phương trình 1 của hệ đã cho ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
+) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số
Kết hợp với phương trình
2 của hệ đã cho ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Từ 3 và 5 ta suy ra
Vậy dấu đẳng thức xảy ra ở cả hai bất phương trình 3 và 5 dẫn đến
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là
Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Đối với học sinh cấp Trung học Cơ sở, hệ bất phương trình còn là một khái niệm mới mẻ và xa lạ Các em mới làm quen với bất phương trình và hệ bất phương trình, vì vậy bài viết tập trung vào nghiên cứu hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng
- Cách 1: Tìm giao các tập hợp nghiệm của bất phương trình của hệ
- Cách 2: Sử dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất f x = ax + b a 0
a ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a
2.8.3 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.27 Giải hệ bất phương trình sau 3 x 0 x + 1 0
Giải từng bất phương trình ta có:
3 x 0 3 x x + 1 0 x 1 Giao của hai tập hợp trên là 1 x 3
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là 1 x 3
Ví dụ 2.28 Giải hệ bất phương trình sau
Giải từng bất phương trình ta có
Hệ đã cho tương tương với x < 22
Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiem là x < 7
Ví dụ 2.29 Giải bất phương trình sau x 1 2x 3 3x < x + 5
Hệ phương trình đã cho tương tương x 2 x < 5
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là 11 x < 5
2.8.4 Các bài tập tự l uyện
Giải các hệ bất phương trình sau:
MỘT SỐ CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI
VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI
Bài toán 1 Giải và biện luận hệ phương trình
Cho hệ phương trình với tham số m mx + y = 2m x + my = m + 1
Hướng dẫn giải mx + y = 2m x + my = m + 1
+) Nếu m 1 phương trình * có nghiệm duy nhất: x = 1
1+ m nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 1+ mm y = 1+m
+) Nếu m = 1 phương trình * vô số nghiệm nên hệ phương trình có vô số nghiệm: x y = mx + 2
+) Nếu m = 1 phương trình * vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm
+) Với m 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 1
+) Với m = 1hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm: x y = mx + 2
+) Với m = 1 hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Các bài toán tương tự
Bài toán 1.1 Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx 2y = 2m
Một số đề thi vào lớp 10 THPT ở các trường chuyên
(Đề thi vào 10 chuyên THPT, ĐH Khoa học Tự nhiên Hà Nội vòng 1, năm
Hệ phương trình đã cho tương đương với
Do đó hệ đã cho tương đương với
Vậy hệ đã cho có tập nghiệm là
(Đề thi tuyển sinh vào 10 Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu năm học 2018-2019)
Giải phương trình ** ta được x y = 1 hoặc x y = 7
+) Với x y = 1 thế vào * ta được:
+) Với x y = 7 thế vào * ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:
(Đề thi vào 10 Toán chuyên Sở giáo dục đào tạo Hà Nội, năm 2018-2019)
Cộng hai vế của phương trình thứ nhất với x , ta được: 2
+) Với y = 4x 1 , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
Hayx x 1 x 7 = 0 Từ đó, ta có x = 0 ( tương ứng, y = 1 ), hoặc x = 1 ( tương ứng, y = 3), hoặc x = 7 (tương ứng, y = 27 )
+) Với y = 1 2x , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta có:
Hayx x + 1 x + 3 = 0 Từ đây, ta tìm được các nghiệm x; y của hệ trong trường hợp này là 0; 1 , 1; 3 và3; 7
Tóm lại, hệ phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm x; y là
(Đề thi vào 10 môn Toán chuyên TP.HCM, năm 2018 – 2019)
Lấy phương trình 2 trừ đi phương trình 1 ta được:
Kết hợp 1 và * ta được
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 0;1 , 1;0 , 2; 3
(Đề khảo sát chất lượng toán 9 trường chuyên Hà Nội Amsterdam, năm 2018 – 2019)
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0;x 1;x + y 0
Ta viết lại hệ phương trình thành
Cộng 2 phương trình của hệ ta có
Suy ra x = 2 x = 4 ( Thỏa mãn) hoặc x = 1
( loại) Thay x = 4vào ta tìm được y = 0
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 4;0
(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Bình Định năm 2018 - 2019)
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1;0
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Toán Tin – TP Hà Nội, năm 2018 – 2019)
Trừ tương đương vế với vế hai phương trình của hệ ta được
+) Với x = 0, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được y 1 3 hay y = 1 +) Với y = 1, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được x 1 3 hay x = 1
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1;0 , 0;1
(Đề thi vào 10 chuyên Toán Trường THPT Lê Hồng Phong TP.HCM năm học
Hướng dẫn giải Điều kiện: xy 0
Lấy phương trình 1 cộng phương trình 2 ta được:
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 2; 1 , ;5 3
(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Phan Bội Châu, năm 2017 – 2018)
Trừ theo vế pt 1 và 2 ta được:
+) Với y = x + 2 thay vào phương trình 1 , ta được: x2 8x 9 = 0
+) Với y = 2 x thay vào phương trình 1 , ta được: x = 92
Vậy hệ đã cho có các nghiệm 1;1 , 9;11 , 3; 1 , 3;5
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Quốc học Thừa Thiên Huế, năm 2017 – 2018)
Lấy 1 - 3 , vế theo vế ta được: x + y 3x 3 3 2 6y + 3x + 12y = 9 2
Thay x = 3 - y vào phương trình 2 ta được:
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm S 1;2 , 2;1
3.2.11 Giải hệ phương trình x + y + xy = 3 x + y = 2
(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Toán, Tin Thành phố Hà Nội, năm
Bình phương 2 vế của phương trình 2 ta được
Khi đó ta có hệ phương trình mới gồm hai phương trình 1 và 3 là: a + b = 32 a + 2b = 4
Khi đó hai số x; y là nghiệm của phương trình t2 2t + 1 = 0 t 1 = 0 2 t = 1 x = y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y = 1;1
(Đề thi vào 10, THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh, vòng 2, năm 2017 – 2018)
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 6 y 3
+) Với x = 2 thay vào phương trình (2) ta được:
+) Với y = x + 2 Thay vào phương trình (2) ta được:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 2 y 4
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm làS 2;4
(Đề thi vào 10, THPT chuyên tỉnh Lâm Đồng, vòng 2, năm 2017 –
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y 0
Phương trình đầu tương đương với:
+) Với xy 1, ta có 2x 2 xy 1 2x 2 0 x 0(L)
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S x;y 1;1 , 1; 1
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Thành phố Hà Nội, năm 2016 – 2017)
Hệ phương trình đã cho tương đương với
Do đó, từ I suy ra:
Thay vào, chỉ có x; y 2;2 đúng
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S = 2;2
(Đề thi vào 10 chuyên Quốc Học Huế - Thừa Thiên Huế, năm 2015 – 2016)
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1;y 1
, hệ phương trình đã cho trở thành
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1;0 , 0;1
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước 2015 – 2016)
Hướng dẫn giải Điều kiện:
y x Thay y = x vào phương trình (2) ta được
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S x;y 1;1
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Quảng Nam, năm 2015 – 2016)
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
Suy ra x 2 4x và 4x y là 2 nghiệm của phương trình
Vậy hệ đã cho tương đương với
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Hải Dương, năm 2015 – 2016)
Hướng dẫn giải Điều kiện: y 2x 1 0;4x y 5 0;x 2y 2 0;x 1
TH2: x 0;y 1 đưa phương trình thứ nhất về dạng tích ta được
Thay y 2 x vào phương trình thứ hai ta được: x2 x 3 3x 7 2 x
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Nam Định 2015 –
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 2 y 0
Thay x 2 y vào phương trình thứ hai ta được phương trình:
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1;3
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Nam Định, năm 2015 –
Với y = 4, thay vào phương trình (2) ta được
2 Đặt t 3 x 2 2x, phương trình trở thành
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là
Khóa luận hệ thống hóa kiến thức cơ bản về khái niệm và các phương pháp giải hệ phương trình, hệ bất phương trình, giúp học sinh hiểu rõ và vận dụng linh hoạt vào thực tiễn Chương trình tập trung vào những kiến thức phù hợp với chương trình THCS, đồng thời kích thích đam mê và hứng thú học tập của các em Bên cạnh đó, nội dung còn góp phần nâng cao tư duy logic, khả năng sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề của học sinh, tạo nền tảng vững chắc cho hành trình học tập sau này.
Do thời gian hạn chế và tài liệu tham khảo chưa đầy đủ, nên khóa luận còn tồn tại một số hạn chế Tuy nhiên, dự án cũng là trải nghiệm ban đầu giúp em tích lũy kỹ năng nghiên cứu khoa học cơ bản Qua đó, em đã hình thành khả năng nghiên cứu đề tài khoa học nói chung và đề tài Toán học nói riêng một cách có hệ thống và bài bản.
Em rất mong nhận được góp ý và sự chỉ dẫn quý báu từ các thầy cô giáo, các bạn sinh viên để giúp em rút kinh nghiệm và hoàn thiện đề tài của mình Em xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Phạm Xuân Hinh đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ trong suốt quá trình làm đề tài Đồng thời, em cũng gửi lời cảm ơn đến các thầy cô tại Trường Đại học Thủ đô Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô môn Toán đã hỗ trợ đắc lực trong quá trình thực hiện khóa luận Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè và người thân đã luôn động viên và tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành tốt đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn!