51 CHƯƠNG 3 – MỘT SỐ CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI .... Đây là một trong những nội dung quan trọng bắt buộc học sinh THCS ph
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Hệ phương trình
Định nghĩa phương trình Cho hai hàm số của n biến x ,x , ,x là 1 2 n f x ,x , ,x 1 2 n vàg x ,x , ,x 1 2 n
Ta xem tập hợp n số x = x1, x2, , xn thuộc R^n là một điểm của không gian n chiều Các hàm số f(x1, , xn) và g(x1, , xn) được xem như hai hàm nhiều biến trên R^n, với miền xác định D1 ⊆ R^n và D2 ⊆ R^n Phương trình f(x) = g(x) được hiểu như việc hai giá trị của f và g bằng nhau Tập nghiệm của phương trình là S = { x ∈ D1 ∩ D2 | f(x) = g(x) } Nói cách khác, miền xác định của phương trình là D1 ∩ D2.
Định nghĩa hệ phương trình: cho m phương trình f_i(x) = g_i(x) với i = 1, ,m Mỗi phương trình có miền xác định riêng S_i ⊆ R^n; có thể xem f_i và g_i là các hàm n biến, bằng cách xem x ∈ R^n như một biến đầy đủ Hệ phương trình được hiểu là tập các điều kiện đồng thời mà nghiệm x phải thỏa mãn, tức x ∈ ∩_{i=1}^m S_i và f_i(x) = g_i(x) với mọi i Việc phân tích hệ phương trình nhằm tìm tập nghiệm chung của tất cả các phương trình và mô tả tính chất của các hàm f_i, g_i trên các miền xác định S_i.
Trong đó mỗi phương trình được xét trên miền xác định chung của hệ m i i 1
là kí hiệu của hàm mệnh đề: “Giá trị tại x của hai hàm số trong từng phương trình là bằng nhau”
Định nghĩa nghiệm của hệ phương trình: Một giá trị a ∈ S của biến x sao cho với mọi i = 1, 2, , m, f_i(a) = g_i(a) là nghiệm của hệ, được gọi là nghiệm của hệ phương trình đó Trong trường hợp này, ta nói hệ phương trình có nghiệm.
i i f x g x có tập hợp nghiệm làM , thì tập hợp nghiệm của hệ là i m i i 1
do đó nếu có một phương trình tích của hệ là vô nghiệm thì hệ là vô nghiệm
Định nghĩa hai hệ phương trình tương đương Để cho gọn, ta viết P x , P x là hai hệ phương trình một ẩn hay n ẩn; 1 2
Gọi M1 và M2 lần lượt là tập nghiệm của P1(x) và P2(x) Hai đa thức P1(x) và P2(x) được gọi là tương đương nếu M1 = M2 Nói cách khác, P1(x) và P2(x) là tương đương trên S^2 khi và chỉ khi tập nghiệm của P1(x) bằng tập nghiệm của P2(x) Tập nghiệm M(P1) là tập con của tập nghiệm M(P2) để diễn đạt quan hệ tương đương.
P x và tập nghiệm M của 2 P x là tập con của tập nghiệm 2 M của 1 P x 1
(hay P x và 1 P x là hệ quả của nhau) Ta kí hiệu bởi: 2 P x1 P x2 hoặc
Trong khuôn khổ chương trình đại số cấp THCS, bài khóa luận này tập trung xét các hệ phương trình phổ biến, thường gặp với hai ẩn hoặc ba ẩn số, bao gồm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình ba ẩn số bình đẳng, và các hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2, … nhằm cung cấp một tổng quan thực tiễn cho việc giải và phân tích các hệ phương trình.
1.1.2.Các định lí về hệ phương trình tương đương
Thật vậy, nếu F 1 0 vô nghiệm thì I II vì đều vô nghiệm
Giả sử F có nghiệm và 1 x , x , , x1 2 n a , a , ,a1 2 n là nghiệm của nó, nghĩa là a1f a , ,a 2 n là một đẳng thức đúng
Khi đó, trong đẳng thức F a , a , ,ai 1 2 n 0,i 2, , m việc thay thế số a bởi 1 f a , ,a1 2 n sẽ không làm ảnh hưởng gì đến đẳng thức đó cả
Do đó nếu a , a , ,a1 2 n là nghiệm của hệ I thì cũng là nghiệm của hệ II và ngược lại
(n có thể là các số, có thể là hàm số của các ẩn, ik n , n , ,n 22 33 mm 0trong miền xác định của I )
Các nghiệm của hệ I cũng là nghiệm của hệ II: nếu F_i = 0 với i = 1,2, ,m thì các vế trái của các phương trình trong hệ II cũng bằng không Ngược lại, từ điều kiện nF12 1 = 0 ta suy ra nF22 2 = 0 và n22 ≠ 0 nên F2 = 0 Tương tự, nếu F1 = F2 = 0 thì nF13 1 = nF23 2 = 0; từ dòng thứ ba của hệ II ta được nF33 3 = 0 và n33 ≠ 0 nên F3 = 0.
Hệ bất phương trình
1.2.1.Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x, có các dạng f(x) > g(x), f(x) < g(x), f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x), trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức chứa cùng một biến x Điều kiện xác định của bất phương trình (ĐKXĐ) là tập hợp các giá trị x sao cho các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa, nhằm xác định miền nghiệm của bất phương trình và đảm bảo các phép so sánh được áp dụng đúng.
Giá trị x 0 thỏa mãn ĐKXĐ làm cho f (x ) 0 g(x ) 0 là một mệnh đề đúng thì x 0 là một nghiệm của bất phương trình f (x)g(x)
1.2.2.Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho
là xét một hệ bất phương trình một ẩn
Giải hệ bất phương trình là quá trình tìm tập nghiệm của hệ Để giải một hệ bất phương trình, ta giải từng bất phương trình riêng lẻ và sau đó lấy giao của các tập nghiệm để có tập nghiệm chung của hệ.
1.2.3.Bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình f(x) < g1(x) và f(x) < g2(x) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm Ký hiệu tương đương giữa chúng là f(x) < g1(x) ⇔ f(x) < g2(x) (nếu chúng có cùng một tập nghiệm) Định lý: Gọi D là điều kiện xác định của bất phương trình f(x) < g(x); h(x) là một biểu thức xác định trên mọi x ∈ D Khi đó a) f(x) + h(x) < g(x) + h(x) ⇔ f(x) < g(x) với mọi x ∈ D.
CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số phương pháp chung giải hệ phương trình:
Phương pháp cộng đại số
Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp biến đổi thành tích
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số là hệ phương trình có dạng ax by c a 'x b'y c'
1 2 trong đó a,b,c,a',b',c' là các số cho trước, a 2 b 2 0 và a ' 2 b' 2 0
Nghiệm của hệ là cặp số x, y thỏa mãn đồng thời hai phương trình
1 và 2 của hệ Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ
- Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế
- Phương pháp cộng đại số
Ví dụ 2.1 Giải hệ phương trình sau: 3x 2y 4
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế:
Từ phương trình 2 của hệ, rút y theo x ta có y 5 2x 3
Thay 3 vào phương trình 1 của hệ ta được:
3x2 5 2x 4 7x 14 Theo quy tắc thế, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là S 2;1
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số
Nhân cả hai vế của phương trình 2 với 2 rồi cộng với phương trình 1 vế với vế ta được: 4x 2y 3x 2y 10 4 Hay 7x 14
Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là S 2;1
Hệ có chứa một phương trình bậc nhất
Hệ có chứa một phương trình bậc nhất có dạng:
trong đó f là đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 2
- Rút ẩn bậc nhất theo ẩn thứ hai, rồi thế vào phương trình còn lại
- Dùng các phép biến đổi đồng nhất kếp hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để dưa phương trình về dạng tích đơn giản đã biết cách giải
2.2.3 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình sau xy 3 x 2 2 0 2 2
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là
Ví dụ 2.3 Giải hệ phương trình sau
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1 x y 1 y 1
Kết hợp với phương trình 2 , ta được
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 2;5
Ví dụ 2.4 Giải hệ phương trình sau
Hướng dẫn giải Điều kiện: x y 0 x y 0 x y 0
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 2;2 , 32 8 15;8 2 15 .
Hệ phương trình với 3 ẩn số bình đẳng
Hệ phương trình ba ẩn bình đẳng là một hệ các phương trình có tính đối xứng với ba ẩn số Điều này có nghĩa là khi hoán vị bất kỳ hai ẩn số nào, toàn bộ hệ vẫn không thay đổi và các phương trình giữ nguyên.
Phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình 3 ẩn số bình đẳng là đưa về hệ phương trình: x y z a xy yz xz b xyz c
Dùng phép thế hoặc định lí Vi-ét đảo, ta đưa * về hệ phương trình một ẩn:x 3 ax 2 bx c 0
Giải phương trình trên ta tìm được x 0 thế vào phương trình 1 và 3 có:
Như vậy x, y, z là nghiệm của phương trình 2 0
Ví dụ 2.5 Giải hệ phương trình sau: 2 2 2
Từ hệ phương trình ta có:
Theo định lý Vi-ét thì x, y, z là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là S x; y; z 1; 2; 2
Hệ phương trình đối xứng loại I
- Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tực các phương trình cũng không thay đổi
- Biến đổi về tổng – tích và đặt S x y
đưa về hệ mới (II) với ẩn S, P
- Giải hệ (II) tìm được S, P và điều kiện có nghiệm là S 2 4P0
- Tìm nghiệm x, y bằng cách giải phương trình X 2 SXP0 hoặc nhẩm nghiệm S, P đơn giản
Một số biến đổi hằng đẳng thức hay dùng trong dạng này để đưa về tổng – tích:
Ví dụ 2.6 Giải hệ phương trình
, điều kiện S 2 4P0, khi đó hệ đã cho có dạng:
Từ 1 suy ra P 11 S , thay vào phương trình 2 ta được:
S 2 11 S 3S 28 S 5S 50 0 Phương trình này có hai nghiệm phân biệt: S5;S 10
* Nếu S 5 thì P 6, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: t2 5t60 t 2 t 3 0 t 2 t 3
* Nếu S 10 thì P 21, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: t2 10t 210 t+3 t+7 =0 t 3 t 7
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là S 2;3 ; 3; 2 ; 3; 7 ; 7; 3
Ví dụ 2.7 Giải hệ phương trình sau
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y0
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1, 2 , 2; 1
Ví dụ 2.8 Giải hệ phương trình sau
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là
Hệ phương trình đối xứng loại II
Hệ phương trình đối xứng loại (II): I
- Đổi chỗ 2 ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi
Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào ta cũng thu được một nhân tử x y tức có x = y Cụ thể như sau:
- Trừ (1) và (2) theo vế ta được:
- Biến đổi (3) về phương trình tích:
- Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I)
Ví dụ 2.9 Giải hệ phương trình sau:
Trừ từng vế của phương trình 1 cho phương trình 2 ta được:
Thay xy vào phương trình 1 ta được
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là
Ví dụ 2.10 Giải hệ phương trình sau
Nhận xét: Khi đổi vị trí x và y cho nhau, phương trình (1) trở thành phương trình (2) và hệ vẫn không đổi, cho thấy hệ có tính đối xứng loại II Lấy hiệu các vế theo thứ tự, ta được lời giải sau:
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y0
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 1; 1
Hệ phương trình đẳng cấp
Hệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình có dạng:
Trong đó f x,y và i g x,y , ii 1, 2 là các đa thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc
Xét riêng y 0 có là nghiệm của hệ phương trình không?
Nếu y0, chia phương trình đẳng cấp cho y , đặt 2 x t = y, được phương trình chỉ chứa t, tìm được t thay vào x y = t và kết hợp với phương trình còn lại để tìm ra x và y
Ví dụ 2.11 Giải hệ phương trình sau:
Ta thấy phương trình 2 của hệ là phương trình đẳng cấp bậc hai
- Xét trường hợp y = 0 , thay vào hệ ta có:
- Xét trường hợp y 0, chia cả hai vế của phương trình 2 cho y ta có : 2 x 2 x
Đặt x t = y thay vào ta có: 2t 2 13t 15 0 t = 3 2 t = 5
2 2 , thay vào phương trìn h 1 của hệ ta được: y = 42 y 2 x 3 Với t = 5x = 5y, thay vào phương trình 1 của hệ ta được:
2 2 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
Ví dụ 2.12 Giải hệ phương trình sau 2 2
+) Thay x 3 vào (1) y 1Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 0; 0 , 3;1
Hệ phương trình không mẫu mực
Dạng hệ phương trình này không có phương pháp giải cụ thể mà ta phải khéo léo đưa nó về các dạng hệ phương trình đã biết cách giải
2.7.1 Phương pháp biến đổi tương đương Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số Cùng với đó ta cần thực hiện các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trình biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung…
Ví dụ 2.13 Giải hệ phương trình sau:
(Đề thi vào THPT Chuyên – Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2010 – 2011)
2 * Lấy phương trình 1 thế vào phương trình 2 ta được :
Vậy hệ phương trình có nghiệm là S 1;1 ; 2;1
Ví dụ 2.14 Giải hệ phương trình:
( Báo Toán học và tuổi trẻ)
Hướng dẫn giải Điều kiện: x + y > 0 Ta có:
Vì x + y > 0 nên (4) không thỏa mãn
Vậy hệ đã cho có nghiệm là: S = 1; 0 ; 2; 3
Ví dụ 2.15 Giải các hệ phương trình sau
(Đề thi vào 10 – THPT chuyên – TP Hà Nội 2012 – 2013)
Hướng dẫn giải Điều kiện x 0 Hệ phương trình đã cho tương đương
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 2;1
Ví dụ 2.16 Giải hệ phương trình sau
(Đề thi vào 10 THPT chuyên – ĐH Quốc Gia Hà Nội 2006 – 2007)
+) Trường hợp 1 Với x2 y 1 thì yx 1 , ta thay vào phương trình x 2 y 2 5 thu được
Với x 1, thay vào phương trình yx 1 được y 2 Với x 2, thay vào phương trình y x 1 được y 1+) Trường hợp 2 Với x2 1 y thì y 3 x, ta thay vào phương trình x 2 y 2 5 thu được
Với x 2, thay vào phương trình y 3 x ta được y 1 Với x 1, thay vào phương trình y 3 xta được y2 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1; 2 , 2;1 , 1; 2
2.7.2 Phương pháp biến đổi thành tích
Giải hệ phương trình bằng phân tích thành tích là một phương pháp phổ biến và hiệu quả Nguyên tắc cốt lõi của phương pháp này là biến đổi một trong hai phương trình thành tích các nhân tử hoặc ghép hai phương trình thành một phương trình hệ quả và đưa về dạng tích để từ đó giải ẩn theo từng bước Để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta thường dùng các công cụ như hằng đẳng thức, nhẩm nghiệm, sơ đồ Hoóc-ne và phương pháp hệ số bất định để xác định các nhân tử và hệ số liên quan.
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.17 Giải hệ phương trình sau
( Đề thi vào THPT - Chuyên Toán – Tin – Đại học Sư phạm Hà Nội 2011 –
Hướng dẫn giải Điều kiện: x + y > 0 Phương trình x y x 2 y tương đương với phương trình sau:
Thay y = x 2 x x > 0 phương trình 2 2 2xy x + y + = 1 x + y ta được:
- Với x = 1, thế vào phương trình yx 2 x đã cho ta được y0
, do đó phương trình này vô nghiệm
Kết hợp hệ I với hệ đã cho ta được 2
Để giải hệ trên, ta đặt S = x + y
Vậy phương trình 2 2 2xy x + y + = 1 x + y trở thành
- Nếu S = 1 thì x + y = 1 y = 1 x Thế vào hệ I ta được
Ta thấy rằng phương trình này vô nghiệm vì xy0 suy ra
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = 1;0 , 2;3
Ví dụ 2.18 Giải hệ phương trình sau 2xy 2 2 6 3x 4y x 4y 4x 12y 3
Hệ phương trình I đã cho tương đương với
Hệ phương trình đã cho tương đương với x + 2y = 1 2xy + 3x + 4y = 6 x + 2y = 9 2xy + 3x + 4y = 6
Thế x = 1 2y vào phương trình thứ hai ta được
Thế x = 9 2y vào phương trình thứ hai ta được
Vậy hệ đã cho có tập nghiệm là:
Ví dụ 2.19 Giải hệ phương trình sau
Nhận xét cho thấy hệ phương trình đang xét có bậc khá cao (bậc 4) Để giảm bậc, ta đặt t = x^2 và từ đó đưa về một phương trình bậc hai với ẩn là t Nhờ cách biến đổi này, bài toán được chuyển từ bậc 4 sang bậc 2 và dễ xử lý hơn Để đảm bảo Δ của phương trình bậc hai là một số chính phương, ta sẽ sử dụng hệ số bất định theo một quy tắc cụ thể nhằm làm cho Δ luôn là một bình phương, từ đó xác định nghiệm một cách thuận tiện Quá trình này cho phép xác định tập nghiệm phù hợp và tối ưu cho bài toán, đồng thời tăng cường tính khả thi của các bước giải.
Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn x 2 ta có
Để Δ là số chính phương, trước hết hệ số của y^2 phải là số chính phương, nghĩa là ta giải phương trình nghiệm nguyên a^2 − 4 = k^2 Từ các nghiệm của phương trình này, ta lần lượt thử lại để xác định các giá trị phù hợp, từ đó đảm bảo Δ là số chính phương.
Cộng theo từng vế của các phương trình 1 2 2 ta được
+) Nếu y 5 x 2 thay vào (1) ta có phương trình:
+) Nếu y x 2 7thay vào (1) ta có phương trình
Ta thế vào phương trình y x 2 7được
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là
2.7.3 Phương pháp đặt ẩn phụ
Trong giải phương trình, nhiều tình huống xuất hiện khi ta nhân hoặc chia hai vế cho cùng một biểu thức khác không, hoặc qua các thao tác tách ghép khéo léo, sao cho các đại lượng ẩn được hiện ra Việc đặt ẩn phụ một cách hợp lý cho phép biến một hệ phương trình phức tạp thành một hệ đơn giản và quen thuộc hơn, từ đó rút gọn mối quan hệ giữa các biến và tạo điều kiện giải nhanh chóng và chính xác hơn Đây là kỹ thuật quan trọng giúp chuyển đổi bài toán khó thành bài toán dễ xử lý, đồng thời đảm bảo tính đúng đắn của nghiệm và làm rõ bản chất của bài toán dưới một khung lý thuyết dễ tiếp cận.
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.20 Giải hệ phương trình:
Dễ thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình
Với y0, chia cả hai vế của 1 và 2 cho y, ta có:
Nhận thấy, phương trình 4 vô nghiệm vì 103 0 nên suy ra hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: S = 1; 2 ; 2; 5
Ví dụ 2.21 Giải hệ phương trình sau x + y xy = 3 x + 1 + y + 1 = 4
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1; y 1; xy0
Hệ phương trình đã cho tương đương với
I Đặt x + y = a, xy = b; a 2, b0, a 2 4b 2 Hệ phương trình I trở thành:
Theo cách đặt ta được: x + y = 6 x + y = 6 xy = 9 xy = 3
Vậy x, y là nghiệm của phương trình t 2 6t + 9 = 0 t = 3 Suy ra hệ phương trình có nghiệm x = y = 3
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S = 3;3
Ví dụ 2.22 Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải Điều kiện y0, đặt u x y v xy
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 2; 1 , 2;1
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này để giải hệ phương trình là khi số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn; tuy nhiên, cũng có những hệ phương trình mà số phương trình bằng số ẩn và phương pháp này vẫn có thể được áp dụng.
Trong phương pháp này, ta khai thác tối đa các tính chất của căn thức và giá trị tuyệt đối, đồng thời vận dụng các bất đẳng thức thông dụng như bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bernoulli để thiết lập ước lượng và liên hệ giữa các đại lượng Các bước áp dụng được trình bày có hệ thống, giúp chứng minh hoặc ước lượng các biểu thức chứa căn thức một cách chặt chẽ và chính xác Nhờ vậy, bài toán được xử lý một cách tổng quát, dễ mở rộng cho nhiều trường hợp khác nhau và tối ưu hoá quá trình phân tích các giới hạn liên quan đến căn thức và giá trị tuyệt đối.
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.23 Giải hệ phương trình nghiệm dương
Xét vế trái của phương trình 2 ta có:
VT = 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
VT 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz 1 + 3 xyz + 3 xyz + xyz = 1 + xyz
Để phương trình 2 xảy ra dấu " " xảy ra z = y = x = 1
Thay z = y = x = 1 vào phương trình 1 thấy thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: S = 1;1;1
Ví dụ 2.24 Giải hệ phương trình sau:
(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 379) Hướng dẫn giải
Cộng các vế của phương trình 1 và 2 , ta có:
Tương tự, ta cũng có:
Vì vế phải của phương trình * : x + y 2 2 0 x, y nên VT * 0
+) 0VT xy + xy =2 xy +)VP = x + y 2 2 2 xy 2xy Vậy để phương trình * xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng xảy ra x = y = 1
cũng là nghiệm của hệ phương trình
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: S = 0;0 ; 1;1
Ví dụ 2.25 Giải hệ phương trình sau
Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x; y nhờ điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2
Xét phương trình 2 là phương trình bậc hai theo ẩn x:
2 2 x + x y 3 + y 4y + 4 = 0 Khi đó, 1= y 3 2 4 y 2 2 Để phương trình có nghiệm 1 7
3 Tương tự, xét phương trình 2 là nghiệm bậc hai theo ẩn y ta có:
Thử lại, với 4 7 x = ; y 3 3 thay vào hệ đã cho không thấy thỏa mãn Suy ra, hệ đã cho vô nghiệm
Ví dụ 2.26 Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải Điều kiện: 1 x i 1,i 1,2, ,2016 +) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số
Kết hợp với phương trình 1 của hệ đã cho ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
+) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số
Kết hợp với phương trình
2 của hệ đã cho ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Từ 3 và 5 ta suy ra
Vậy dấu đẳng thức xảy ra ở cả hai bất phương trình 3 và 5 dẫn đến
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là
Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Đối với học sinh cấp Trung học Cơ sở, hệ bất phương trình là khái niệm mới và còn xa lạ; các em mới làm quen với bất phương trình và hệ bất phương trình, nên bài viết này tập trung vào việc nghiên cứu hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Nội dung bao gồm khái niệm cơ bản về hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, cách viết và nhận diện các bất phương trình thành các hệ, điều kiện tồn tại nghiệm và cách xác định miền nghiệm của hệ, cùng với hướng dẫn giải bài tập nhằm rèn kỹ năng phân tích tập nghiệm và ứng dụng vào bài toán thực tế.
Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng
- Cách 1: Tìm giao các tập hợp nghiệm của bất phương trình của hệ
- Cách 2: Sử dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất f x = ax + b a 0
a ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a
2.8.3 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 2.27 Giải hệ bất phương trình sau 3 x 0 x + 1 0
Giải từng bất phương trình ta có:
Giao của hai tập hợp trên là 1 x 3 Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là 1 x 3
Ví dụ 2.28 Giải hệ bất phương trình sau
Giải từng bất phương trình ta có
Hệ đã cho tương tương với x < 22 7 x < 7 4
Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiem là 7 x <
Ví dụ 2.29 Giải bất phương trình sau x 1 2x 3 3x < x + 5
Hệ phương trình đã cho tương tương x 2 x < 5 2 x 11 5
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là 11 5 x <
2.8.4 Các bài tập tự luyện
Giải các hệ bất phương trình sau:
MỘT SỐ CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI
VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI
Bài toán 1 Giải và biện luận hệ phương trình
Cho hệ phương trình với tham số m mx + y = 2m x + my = m + 1
Hướng dẫn giải mx + y = 2m x + my = m + 1
+) Nếu m 1 phương trình * có nghiệm duy nhất: 1 x = 1+ m nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 1+ m y = m 1+m
+) Nếu m = 1 phương trình * vô số nghiệm nên hệ phương trình có vô số nghiệm: x y = mx + 2
+) Nếu m = 1 phương trình * vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm
+) Với m 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 1 1+ m y = m 1+m
+) Với m = 1hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm: x y = mx + 2
+) Với m = 1 hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Các bài toán tương tự
Bài toán 1.1 Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx 2y = 2m
Một số đề thi vào lớp 10 THPT ở các trường chuyên
(Đề thi vào 10 chuyên THPT, ĐH Khoa học Tự nhiên Hà Nội vòng 1, năm
Hệ phương trình đã cho tương đương với
Do đó hệ đã cho tương đương với
Vậy hệ đã cho có tập nghiệm là
(Đề thi tuyển sinh vào 10 Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu năm học 2018-2019)
Giải phương trình ** ta được x y = 1 hoặc xy = 7 +) Với xy = 1 thế vào * ta được:
+) Với xy = 7 thế vào * ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:
(Đề thi vào 10 Toán chuyên Sở giáo dục đào tạo Hà Nội, năm 2018-2019)
Cộng hai vế của phương trình thứ nhất với x , ta được: 2
Từ đó, y = 4x 1 hoặc y = 1 2x +) Với y = 4x 1 , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
Hayx x 1 x 7 = 0 Từ đó, ta có x = 0 ( tương ứng, y = 1 ), hoặc x = 1 ( tương ứng, y = 3 ), hoặc x = 7 (tương ứng, y = 27 )
+) Với y = 1 2x , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta có:
Hayx x + 1 x + 3 = 0 Từ đây, ta tìm được các nghiệm x; y của hệ trong trường hợp này là 0; 1 , 1; 3 và 3; 7
Tóm lại, hệ phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm x; y là
(Đề thi vào 10 môn Toán chuyên TP.HCM, năm 2018 – 2019)
Lấy phương trình 2 trừ đi phương trình 1 ta được:
Kết hợp 1 và * ta được
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 0;1 , 1;0 , 2; 3
(Đề khảo sát chất lượng toán 9 trường chuyên Hà Nội Amsterdam, năm 2018 – 2019)
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0; x 1; x + y0
Ta viết lại hệ phương trình thành
Cộng 2 phương trình của hệ ta có
Suy ra x = 2 x = 4 ( Thỏa mãn) hoặc 1 x 2
Thay x = 4vào ta tìm được y = 0 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 4;0
(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Bình Định năm 2018 - 2019)
Hướng dẫn giải Điều kiện: x0
Với x 1 y 1 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1;0
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Toán Tin – TP Hà Nội, năm 2018 – 2019)
Trừ tương đương vế với vế hai phương trình của hệ ta được
+) Với x = 0, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được y 3 1 hay y = 1 +) Với y = 1, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được x 3 1 hay x = 1
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1;0 , 0;1
(Đề thi vào 10 chuyên Toán Trường THPT Lê Hồng Phong TP.HCM năm học
Hướng dẫn giải Điều kiện: xy0
Lấy phương trình 1 cộng phương trình 2 ta được:
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là 1 5 3
(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Phan Bội Châu, năm 2017 – 2018)
Trừ theo vế pt 1 và 2 ta được:
+) Với y = x + 2 thay vào phương trình 1 , ta được: x2 8x 9 = 0
+) Với y = 2 x thay vào phương trình 1 , ta được: x = 92
Vậy hệ đã cho có các nghiệm 1;1 , 9;11 , 3; 1 , 3;5
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Quốc học Thừa Thiên Huế, năm 2017 – 2018)
Lấy 1 - 3 , vế theo vế ta được: x + y 3 3 3x 2 6y + 3x + 12y = 9 2
Thay x = 3 - y vào phương trình 2 ta được:
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm S 1;2 , 2;1
3.2.11 Giải hệ phương trình x + y + xy = 3 x + y = 2
(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Toán, Tin Thành phố Hà Nội, năm
Bình phương 2 vế của phương trình 2 ta được
Khi đó ta có hệ phương trình mới gồm hai phương trình 1 và 3 là: a + b = 32 a + 2b = 4
Khi đó hai số x; y là nghiệm của phương trình t2 2t + 1 = 0 t 1 = 0 2 t = 1 x = y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y = 1;1
(Đề thi vào 10, THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh, vòng 2, năm 2017 – 2018)
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 6 y 3
+) Với x = 2 thay vào phương trình (2) ta được:
+) Với y = x + 2 Thay vào phương trình (2) ta được:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x2y 4 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm làS 2;4
(Đề thi vào 10, THPT chuyên tỉnh Lâm Đồng, vòng 2, năm 2017 –
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y0 Phương trình đầu tương đương với:
+) Với xy 1, ta có 2x 2 xy 1 2x 2 0 x0(L)Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S x; y 1;1 , 1; 1
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Thành phố Hà Nội, năm 2016 – 2017)
Hệ phương trình đã cho tương đương với
Do đó, từ I suy ra:
Thay vào, chỉ có x; y 2;2 đúng
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S = 2;2
(Đề thi vào 10 chuyên Quốc Học Huế - Thừa Thiên Huế, năm 2015 – 2016)
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1; y 1
, hệ phương trình đã cho trở thành
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1;0 , 0;1
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước 2015 – 2016)
Hướng dẫn giải Điều kiện:
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S x; y 1;1
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Quảng Nam, năm 2015 – 2016)
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
Suy ra x 2 4x và 4x y là 2 nghiệm của phương trình
Vậy hệ đã cho tương đương với
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Hải Dương, năm 2015 – 2016)
Hướng dẫn giải Điều kiện: y2x 1 0;4x y 5 0; x2y 2 0; x 1
TH2: x 0; y1đưa phương trình thứ nhất về dạng tích ta được
Thay y2x vào phương trình thứ hai ta được: x2 x 3 3x7 2x
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Nam Định 2015 –
Hướng dẫn giải Điều kiện: x 2 y 0
Thay x2y vào phương trình thứ hai ta được phương trình:
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 1;3
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Nam Định, năm 2015 –
Với y = 4, thay vào phương trình (2) ta được
2 Đặt t 3 x 2 2x, phương trình trở thành
+) x 1 2y 2 2 2 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là
Khóa luận đã hệ thống hóa những khái niệm cơ bản và các phương pháp giải cho một số dạng hệ phương trình và hệ bất phương trình, đặc biệt liên quan chặt chẽ đến chương trình THCS Đề tài cung cấp các kiến thức hữu ích giúp học sinh tiếp cận, nắm vững nội dung toán học và hình thành nền tảng tư duy logic cùng phương pháp giải bài toán Bên cạnh đó, nội dung nghiên cứu góp phần khơi gợi niềm đam mê học tập, hứng thú với môn toán và nâng cao tư duy sáng tạo cho các em.
Do thời gian có hạn và nguồn tham khảo chưa đầy đủ, khóa luận còn tồn tại nhiều hạn chế Đây là những trải nghiệm ban đầu về nghiên cứu khoa học, giúp em hình thành các kỹ năng cơ bản cần thiết để nghiên cứu một đề tài khoa học nói chung và đề tài Toán nói riêng.
Em rất mong nhận được đóng góp ý kiến và sự chỉ dẫn quý báu từ các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên để rút kinh nghiệm và hoàn thiện đề tài của mình Để khóa luận được hoàn thiện và nâng cao chất lượng, em thành thật cảm ơn Tiến sĩ Phạm Xuân Hinh với sự tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và hỗ trợ trong suốt quá trình thực hiện đề tài Em cũng gửi lời biết ơn đến các thầy cô giáo trường Đại học Thủ đô Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong bộ môn Toán, đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình làm khóa luận Cuối cùng, em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em có thể hoàn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn!