Khóa luận Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

51 CHƯƠNG 3 – MỘT SỐ CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI .... Đây là một trong những nội dung quan trọng bắt buộc học sinh THCS ph

CƠ SỞ LÍ LUẬN

Hệ phương trình

Cho hai hàm số của n biến x ,x , ,x là 1 2 n f x ,x , ,x và 1 2 n  g x ,x , ,x  1 2 n 

Ta gọi tập hợp n số x = x ,x , ,x 1 2 n  n là một điểm trong không gian n chiều n Khi đó, các hàm số f x ,x , ,x và  1 2 n  g x ,x , ,x được xem là  1 2 n  các hàm một biến f x , g x trong     n Giả sử f x có   D 1  n , g x có   miền xác định là D 2  n Ta định nghĩa phương trình: f x = g x 1 là kí      hiệu của hàm mệnh đề “giá trị của hai hàm số f x và   g x bằng nhau” Gọi   x là ẩn của phương trình  1 ; nếu coi f và g là hàm của n biến x ,x , ,x 1 2 n trong không gian  thì  1 là phương trình của n ẩn x ,x , ,x Tập hợp các 1 2 n giá trị thừa nhận được của các đối số được gọi là miền xác định (tập xác định) của phương trình 1 , đó là tập S = D 1 D 2

 Định nghĩa hệ phương trình

Cho m phương trình f x 1  g x ,f x 1     2 g x , ,f x 2   m  g x m  , miền xác định lần lượt làS ,S , ,S ( Có thể xem 1 2 m f x và i   g x , i=1, ,m là các i   hàm n biến, bằng cách xem biến x n như trên)

Trong đó mỗi phương trình được xét trên miền xác định chung của hệ m i 1 i

   là kí hiệu của hàm mệnh đề: “Giá trị tại x của hai hàm số trong từng phương trình là bằng nhau”

 Định nghĩa nghiệm của hệ phương trình

Một giá trị a S của x làm cho từng phương trình trở thành đẳng thức đúng: f a i  g a ,i 1,2, ,m i    , được gọi là một nghiệm của hệ  * Trong trường hợp này, ta nói hệ phương trình có nghiệm Nếu với mỗi phương trình

    i i f x g x có tập hợp nghiệm làM , thì tập hợp nghiệm của hệ là i m i 1 i

 do đó nếu có một phương trình tích của hệ là vô nghiệm thì hệ là vô nghiệm

 Định nghĩa hai hệ phương trình tương đương Để cho gọn, ta viết P x ,P x là hai hệ phương trình một ẩn hay n ẩn; 1     2

M ,M lần lượt là tập nghiệm của P x ,P x 1     2 P x và 1   P x được gọi là 2   tương đương nếuM M 1  2 Nói khác đi, P x và 1   P x là tương đương trên S 2   khi và chỉ khi: Tập nghiệmM của 1 P x là tập con của tập nghiệm 1   M của 2

P x và tập nghiệm M của 2 P x là tập con của tập nghiệm 2   M của 1 P x 1  

(hay P x và 1   P x là hệ quả của nhau) Ta kí hiệu bởi: 2   P x 1  P x 2  hoặc

Trong tất cả các định nghĩa trên, với khuôn khổ của chương trình đại số cấp THCS nên bài khóa luận này chúng tôi chỉ xét những hệ phương trình phổ biến thường gặp với 2 ẩn số và 3 ẩn số như: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

10 số, hệ phương trình ba ẩn số bình đẳng, hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2,…

1.1.2.Các định lí về hệ phương trình tương đương

Thật vậy, nếu F 0 1  vô nghiệm thì    I  II vì đều vô nghiệm

Giả sử F có nghiệm và 1 x ,x , ,x1 2 n   a ,a , ,a1 2 n  là nghiệm của nó, nghĩa là a f a , ,a1  2 n  là một đẳng thức đúng

Khi đó, trong đẳng thức F a ,a , ,ai  1 2 n 0,i 2, ,m việc thay thế số a bởi 1 f a , ,a sẽ không làm ảnh hưởng gì đến đẳng thức đó cả 1  2 n 

Do đó nếu a ,a , ,a là nghiệm của hệ 1 2 n   I thì cũng là nghiệm của hệ  II và ngược lại

(n có thể là các số, có thể là hàm số của các ẩn, ik n ,n , ,n 22 33 mm 0trong miền xác định của I )

Các nghiệm của  I cũng là nghiệm của  II vì nếu F 0,i 1,2, ,m i   thì các vế trái của các phương trình trong  II cũng bằng không Đảo lại, n F 0 12 1  , do đó n F 0 22 2  mà n 22 0 nên F 0 2  Tương tự nếu F F 0 1   2 thì n F n F 0 13 1  23 2  , do đó từ dòng thứ ba của hệ  II ta được n F 033 3  mà n 33 0 nên F 0 3  …

Hệ bất phương trình

1.2.1.Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f (x) g(x),f (x) g(x),f (x) g(x),f (x) g(x)    trong đó f (x),g(x) là các biểu thức chứa cùng một biến x Điều kiện xác định của bất phương trình (ĐKXĐ) là điều kiện của biến số x để các biểu thức f (x),g(x) có nghĩa

Giá trị x 0 thỏa mãn ĐKXĐ làm cho f (x ) g(x ) 0  0 là một mệnh đề đúng thì x 0 là một nghiệm của bất phương trình f (x) g(x)

1.2.2.Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

 là xét một hệ bất phương trình một ẩn

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm

1.2.3.Bất phương trình tương đương

Hai bất phương f x) 1 ( g 1 (x) và f x) 2 ( g 2 (x)được gọi là tương đương, kí hiệu( )x g x 1 ( )f 2 ( )x g x) 2 ( nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm Định lí: Gọi D là ĐKXĐ của bất phương trình f x( )g x ,( ) h(x)là biểu thức xác định  x Dthì a)f (x) h(x) g(x) h(x)   f (x) g(x)

CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số phương pháp chung giải hệ phương trình:

 Phương pháp cộng đại số

 Phương pháp đặt ẩn phụ

 Phương pháp biến đổi thành tích

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số là hệ phương trình có dạng ax by c a'x b'y c'

1 2 trong đó a,b,c,a',b',c' là các số cho trước, a 2 b 2 0 và a' b' 2  2  0

Nghiệm của hệ là cặp số x, y thỏa mãn đồng thời hai phương trình 

 1 và  2 của hệ Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ

- Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế

- Phương pháp cộng đại số

Ví dụ 2.1 Giải hệ phương trình sau: 3x 2y 4

Cách 1: Sử dụng phương pháp thế:

Từ phương trình  2 của hệ, rút y theo x ta có y 5 2x   3

Thay  3 vào phương trình   1 của hệ ta được:

3x 2 5 2x  4 7x 14 Theo quy tắc thế, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là S     2;1 

Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số

Nhân cả hai vế của phương trình  2 với 2 rồi cộng với phương trình  1 vế với vế ta được: 4x 2y   3x 2y 10 4   Hay 7x 14

Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là S     2;1 

Hệ có chứa một phương trình bậc nhất

Hệ có chứa một phương trình bậc nhất có dạng:

 trong đó f là đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 2

- Rút ẩn bậc nhất theo ẩn thứ hai, rồi thế vào phương trình còn lại

- Dùng các phép biến đổi đồng nhất kếp hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để dưa phương trình về dạng tích đơn giản đã biết cách giải

2.2.3 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình sau xy x 2 0 3 2 2 2

 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là

Ví dụ 2.3 Giải hệ phương trình sau x 2y y x 1 2x 2y 2 2 xy x y x 2y

Kết hợp với phương trình  2 , ta được

 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 2;5    

Ví dụ 2.4 Giải hệ phương trình sau

Hướng dẫn giải Điều kiện: x y 0 x y 0 x y 0

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S  2;2 , 32 8 15;8 2 15    .

Hệ phương trình với 3 ẩn số bình đẳng

Hệ phương trình 3 ẩn số bình đẳng là hệ có các phương trình đều bình đẳng với 3 ẩn số nghĩa là khi hoán vị 2 ẩn tùy ý thì mỗi phương trình không thay đổi

Phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình 3 ẩn số bình đẳng là đưa về hệ phương trình:

Dùng phép thế hoặc định lí Vi-ét đảo, ta đưa  * về hệ phương trình một ẩn:x 3 ax 2 bx c 0 

Giải phương trình trên ta tìm được x 0 thế vào phương trình  1 và  3 có:

Như vậy x, y, z là nghiệm của phương trình 2  0 

Ví dụ 2.5 Giải hệ phương trình sau: 2 2 2

Từ hệ phương trình ta có:

Theo định lý Vi-ét thì x, y, z là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là S    x; y;z    1;2; 2   

Hệ phương trình đối xứng loại I

- Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tực các phương trình cũng không thay đổi

- Biến đổi về tổng – tích và đặt S x y

  đưa về hệ mới (II) với ẩn S, P

- Giải hệ (II) tìm được S, P và điều kiện có nghiệm là S 4P 0 2  

- Tìm nghiệm x, y bằng cách giải phương trình  X 2 SX P 0  hoặc nhẩm nghiệm S, P đơn giản

 Một số biến đổi hằng đẳng thức hay dùng trong dạng này để đưa về tổng – tích:

Ví dụ 2.6 Giải hệ phương trình

  , điều kiện S 4P 0 2   , khi đó hệ đã cho có dạng:

Từ  1 suy ra P 11 S  , thay vào phương trình  2 ta được:

S 2 11 S 3S 28    S 5S 50 0   Phương trình này có hai nghiệm phân biệt: S 5;S  10

* Nếu S 5 thì P 6, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: t2   5t 6 0  t 2 t 3 0   t 2 t 3

* Nếu S 10 thì P 21 , nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: t2 10t 21 0    t+3 t+7 =0 t 3 t 7

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là S     2;3 ; 3;2 ; 3; 7 ; 7; 3      

Ví dụ 2.7 Giải hệ phương trình sau

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y 0 

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S     1,2 , 2; 1     

Ví dụ 2.8 Giải hệ phương trình sau  

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là

Hệ phương trình đối xứng loại II

Hệ phương trình đối xứng loại (II):  I  

- Đổi chỗ 2 ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi

Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào ta cũng thu được một nhân tử x y  tức có x = y Cụ thể như sau:

- Trừ (1) và (2) theo vế ta được:      

- Biến đổi (3) về phương trình tích:        

- Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I)

Ví dụ 2.9 Giải hệ phương trình sau: x 1 2y 3 3 y 1 2x

Trừ từng vế của phương trình  1 cho phương trình  2 ta được:

  Thay x y vào phương trình  1 ta được

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là

Ví dụ 2.10 Giải hệ phương trình sau 2

Nhận xét: Thay đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình   1 trở thành phương trình   2 và hệ không thay đổi  hệ đối xứng loại II Lấy vế trừ theo vế Nên ta có lời giải sau:

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y 0 

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 1; 1    

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình có dạng:

Trong đó f x,y và i   g x,y , i 1,2i    là các đa thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc

 Xét riêng y 0 có là nghiệm của hệ phương trình không?

 Nếu y 0 , chia phương trình đẳng cấp cho y , đặt 2 t = x y, được phương trình chỉ chứa t, tìm được t thay vào x = t y và kết hợp với phương trình còn lại để tìm ra x và y

Ví dụ 2.11 Giải hệ phương trình sau: x 2 2 2xy 3y 2 2 9

Ta thấy phương trình  2 của hệ là phương trình đẳng cấp bậc hai

- Xét trường hợp y = 0, thay vào hệ ta có: x 2 2 9

- Xét trường hợp y 0 , chia cả hai vế của phương trình  2 cho y ta có : 2 x 2 x

   Đặt t = x y thay vào ta có: 2t 13t 15 0 2    t = 3

2  2 , thay vào phương trìn h 1 của hệ ta được: y = 42      y 2 x 3 Với t = 5x = 5y, thay vào phương trình  1 của hệ ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Ví dụ 2.12 Giải hệ phương trình sau 2 2  

+) Với x 0, y 0  thì   *  0 0 0 0  nên    x;y  0;0 là nghiệm của (*)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S      0;0 , 3;1   

Hệ phương trình không mẫu mực

Dạng hệ phương trình này không có phương pháp giải cụ thể mà ta phải khéo léo đưa nó về các dạng hệ phương trình đã biết cách giải

2.7.1 Phương pháp biến đổi tương đương Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số Cùng với đó ta cần thực hiện các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trình biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung…

Ví dụ 2.13 Giải hệ phương trình sau:

(Đề thi vào THPT Chuyên – Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2010 – 2011)

Lấy phương trình  1 thế vào phương trình  2 ta được :

 Vậy hệ phương trình có nghiệm là S      1;1 ; 2;1   

Ví dụ 2.14 Giải hệ phương trình:

( Báo Toán học và tuổi trẻ)

Hướng dẫn giải Điều kiện: x + y > 0 Ta có:

Vì x + y > 0 nên (4) không thỏa mãn

Vậy hệ đã cho có nghiệm là: S = 1; 0 ; 2; 3     

Ví dụ 2.15 Giải các hệ phương trình sau

(Đề thi vào 10 – THPT chuyên – TP Hà Nội 2012 – 2013)

Hướng dẫn giải Điều kiện x 0 Hệ phương trình đã cho tương đương

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S     2;1 

Ví dụ 2.16 Giải hệ phương trình sau x 2 2 y 2 2 4x 2y 3 x y 5

(Đề thi vào 10 THPT chuyên – ĐH Quốc Gia Hà Nội 2006 – 2007)

     +) Trường hợp 1 Với x 2 y 1   thì y x 1  , ta thay vào phương trình x 2 y 2 5 thu được

          Với x  1, thay vào phương trình y x 1  được y 2

Với x 2 , thay vào phương trình y x 1  được y 1

+) Trường hợp 2 Với x 2 1 y   thì y 3 x  , ta thay vào phương trình x 2 y 2 5 thu được

          Với x 2 , thay vào phương trình y 3 x  ta được y 1

Với x 1 , thay vào phương trình y 3 x  ta được y 2

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S    1; 2 , 2;1 , 1;2     

2.7.2 Phương pháp biến đổi thành tích

Một trong những phương pháp thường dùng để giải hệ phương trình là phương pháp phân tích thành tích Nội dung phương pháp như sau: ta biến đổi tương đương một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử hoặc kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi đưa về dạng tích… từ đó có thể tính được ẩn này theo ẩn kia Để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta thường sử dụng hằng đẳng thức, nhẩm nghiệm, dùng lược đồ Hooc-ne, dùng phương pháp hệ số bất định…

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.17 Giải hệ phương trình sau

( Đề thi vào THPT - Chuyên Toán – Tin – Đại học Sư phạm Hà Nội 2011 –

Hướng dẫn giải Điều kiện: x + y > 0 Phương trình x y x  2 y tương đương với phương trình sau:

Thay y = x 2 x x > 0 phương trình  x + y + 2 2 2xy = 1 x + y ta được:

- Với x = 1, thế vào phương trình y x 2 x đã cho ta được y 0

  , do đó phương trình này vô nghiệm

Kết hợp hệ  I với hệ đã cho ta được 2

 Để giải hệ trên, ta đặt S = x + y

Vậy phương trình x + y + 2 2 2xy = 1 x + y trở thành

- Nếu S = 1 thì x + y = 1 y = 1 x Thế vào hệ  I ta được

Ta thấy rằng phương trình này vô nghiệm vì x y 0  suy ra

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = 1;0 , 2;3     

Ví dụ 2.18 Giải hệ phương trình sau 2xy 2 2 6 3x 4y x 4y 4x 12y 3

Hệ phương trình  I đã cho tương đương với

Hệ phương trình đã cho tương đương với

 Thế x = 1 2y  vào phương trình thứ hai ta được

 Thế x = 9 2y  vào phương trình thứ hai ta được

Vậy hệ đã cho có tập nghiệm là:

Ví dụ 2.19 Giải hệ phương trình sau x 4 2 4x 2 2 y 2 6y 9 0 x y x 2y 22 0

Nhận xét: Ta thấy hệ phương trình trên có bậc khá cao (bậc 4) ta có thể giảm bậc bằng cách đặt t x 2 Vậy đầu tiên ta sẽ đưa về phương trình bậc 2 Để đảm bảo  chính phương, ta sẽ dùng hệ số bất định như sau:

Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn x 2 ta có

          Để  là số chính phương thì trước hết hệ số của y 2 phải là số chính phương, nghĩa là ta giải phương trình nghiệm nguyên a 2  4 k 2 Tìm được các nghiệm của phương trình này ta lần lượt thử lại

Cộng theo từng vế của các phương trình  1 2 2   ta được

+) Nếu y  5 x 2 thay vào (1) ta có phương trình:

+) Nếu y  x 2 7thay vào (1) ta có phương trình

Ta thế vào phương trình y  x 2 7được

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là

2.7.3 Phương pháp đặt ẩn phụ

Một số phương trình sau khi nhân chia hai vế cho cùng một biểu thức khác không hoặc bằng một số động tác tách và ghép khéo léo ta làm xuất hiện các đại lượng mà nhờ cách đặt ẩn phụ ta có thể đưa một hệ phức tạp về một hệ đơn giản, quen thuộc

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.20 Giải hệ phương trình:

Dễ thấy y = 0không thỏa mãn hệ phương trình

Với y 0 , chia cả hai vế của  1 và  2 cho y, ta có:

Nhận thấy, phương trình  4 vô nghiệm vì   103 0 nên suy ra hệ vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: S = 1; 2 ; 2; 5     

Ví dụ 2.21 Giải hệ phương trình sau x + y xy = 3 x + 1 + y + 1 = 4

Hướng dẫn giải Điều kiện: x  1;y 1;xy 0

Hệ phương trình đã cho tương đương với

  I Đặt x + y = a, xy = b; a  2,b 0,a 2 4b 2 Hệ phương trình  I trở thành:

Theo cách đặt ta được: x + y = 6 x + y = 6 xy = 9 xy = 3

Vậy x, y là nghiệm của phương trình t 2 6t + 9 = 0 t = 3 Suy ra hệ phương trình có nghiệm x = y = 3

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S = 3;3    

Ví dụ 2.22 Giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải Điều kiện y 0 , đặt u x y v xy

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S      2; 1 , 2;1    

Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn Tuy nhiên cõ những hệ số của phương trình bằng số ẩn ra cũng có thể thực hiện trong phương pháp này

Trong phương pháp này, ta sử dụng các tính chất của căn thức, giá trị tuyệt đối,… và các bất đẳng thức thông thường như: bất đẳng thức Coossi, Bunhiacốpski,…

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.23 Giải hệ phương trình nghiệm dương

Xét vế trái của phương trình  2 ta có:

VT = 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

VT 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz 1 + 3 xyz + 3 xyz + xyz = 1 + xyz

   Để phương trình  2 xảy ra  dấu " " xảy ra z = y = x = 1

Thay z = y = x = 1 vào phương trình   1 thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: S = 1;1;1    

Ví dụ 2.24 Giải hệ phương trình sau:

(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 379) Hướng dẫn giải

Cộng các vế của phương trình  1 và  2 , ta có:

Tương tự, ta cũng có:

Vì vế phải của phương trình  * : x + y 2 2  0 x, y nênVT * 0  Khi đó ta có:

+) 0 VT xy + xy =2 xy  +)VP = x + y 2 2 2 xy 2xy Vậy để phương trình  * xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng xảy ra x = y = 1

 cũng là nghiệm của hệ phương trình

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: S = 0;0 ; 1;1     

Ví dụ 2.25 Giải hệ phương trình sau 4 2

Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x; y nhờ điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2

Xét phương trình  2 là phương trình bậc hai theo ẩn x:

2 2 x + x y 3 + y 4y + 4 = 0  Khi đó,  1 = y 3   2 4 y 2    2 Để phương trình có nghiệm 1 0 1 y 7

      3 Tương tự, xét phương trình  2 là nghiệm bậc hai theo ẩn y ta có:

3 3 thay vào hệ đã cho không thấy thỏa mãn Suy ra, hệ đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2.26 Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải Điều kiện:   1 x 1,i 1,2, ,2016 i 

+) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số

47 phương trình  1 của hệ đã cho ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

+) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số

 Kết hợp với phương trình

 2 của hệ đã cho ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Từ  3 và  5 ta suy ra

Vậy dấu đẳng thức xảy ra ở cả hai bất phương trình  3 và  5 dẫn đến

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Đối với học sinh cấp Trung học Cơ sở thì hệ bất phương trình là một khái niệm còn rất mới mẻ và xa lạ Các em mới chỉ làm quen với bất phương trình và hệ bất phương trình Vì vậy ở đây tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng

- Cách 1: Tìm giao các tập hợp nghiệm của bất phương trình của hệ

- Cách 2: Sử dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất f x = ax + b  a 0 

a ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a

2.8.3 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.27 Giải hệ bất phương trình sau 3 x 0 x + 1 0

Giải từng bất phương trình ta có:

3 x 0   3 x x + 1 0   x 1 Giao của hai tập hợp trên là   1 x 3

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là  1 x 3

Ví dụ 2.28 Giải hệ bất phương trình sau

Giải từng bất phương trình ta có

Hệ đã cho tương tương với x < 22

Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiem là x < 7

Ví dụ 2.29 Giải bất phương trình sau x 1 2x 3 3x < x + 5

Hệ phương trình đã cho tương tương x 2 x < 5

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là 11 x < 5

2.8.4 Các bài tập tự l uyện

Giải các hệ bất phương trình sau:

MỘT SỐ CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI

VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI

Bài toán 1 Giải và biện luận hệ phương trình

Cho hệ phương trình với tham số m mx + y = 2m x + my = m + 1

Hướng dẫn giải mx + y = 2m x + my = m + 1

+) Nếu m  1 phương trình   * có nghiệm duy nhất: x = 1

1+ m nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 1+ mm y = 1+m

+) Nếu m = 1 phương trình   * vô số nghiệm nên hệ phương trình có vô số nghiệm: x y = mx + 2

+) Nếu m = 1 phương trình   * vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm

+) Với m  1 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 1

+) Với m = 1hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm: x y = mx + 2

+) Với m = 1 hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Các bài toán tương tự

Bài toán 1.1 Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx 2y = 2m

Một số đề thi vào lớp 10 THPT ở các trường chuyên

(Đề thi vào 10 chuyên THPT, ĐH Khoa học Tự nhiên Hà Nội vòng 1, năm

Hệ phương trình đã cho tương đương với

Do đó hệ đã cho tương đương với

 Vậy hệ đã cho có tập nghiệm là

(Đề thi tuyển sinh vào 10 Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu năm học 2018-2019)

Giải phương trình   ** ta được x y = 1 hoặc x y = 7

+) Với x y = 1 thế vào   * ta được:

+) Với x y = 7 thế vào   * ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

(Đề thi vào 10 Toán chuyên Sở giáo dục đào tạo Hà Nội, năm 2018-2019)

Cộng hai vế của phương trình thứ nhất với x , ta được: 2

+) Với y = 4x 1 , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

Hayx x 1 x 7 = 0     Từ đó, ta có x = 0 ( tương ứng, y = 1 ), hoặc x = 1 ( tương ứng, y = 3), hoặc x = 7 (tương ứng, y = 27 )

+) Với y = 1 2x , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta có:

Hayx x + 1 x + 3 = 0 Từ đây, ta tìm được các nghiệm    x; y của  hệ trong trường hợp này là   0; 1 , 1; 3  và3; 7

Tóm lại, hệ phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm x; y là 

(Đề thi vào 10 môn Toán chuyên TP.HCM, năm 2018 – 2019)

Lấy phương trình   2 trừ đi phương trình   1 ta được:

Kết hợp   1 và   * ta được

 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 0;1 , 1;0 , 2; 3        

(Đề khảo sát chất lượng toán 9 trường chuyên Hà Nội Amsterdam, năm 2018 – 2019)

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0;x 1;x + y 0  

Ta viết lại hệ phương trình thành

Cộng 2 phương trình của hệ ta có

Suy ra x = 2 x = 4 ( Thỏa mãn) hoặc x = 1

 ( loại) Thay x = 4vào ta tìm được y = 0

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 4;0    

(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Bình Định năm 2018 - 2019)

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S      1;0

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Toán Tin – TP Hà Nội, năm 2018 – 2019)

Trừ tương đương vế với vế hai phương trình của hệ ta được

+) Với x = 0, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được y 1 3  hay y = 1 +) Với y = 1, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được x 1 3  hay x = 1

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S       1;0 , 0;1 

(Đề thi vào 10 chuyên Toán Trường THPT Lê Hồng Phong TP.HCM năm học

Hướng dẫn giải Điều kiện: xy 0

Lấy phương trình   1 cộng phương trình   2 ta được:

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S 2; 1 , ;5 3

(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Phan Bội Châu, năm 2017 – 2018)

Trừ theo vế pt   1 và   2 ta được:

  +) Với y = x + 2 thay vào phương trình   1 , ta được: x2 8x 9 = 0

 +) Với y = 2 x thay vào phương trình   1 , ta được: x = 92

 Vậy hệ đã cho có các nghiệm 1;1 , 9;11 , 3; 1 , 3;5       

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Quốc học Thừa Thiên Huế, năm 2017 – 2018)

Lấy     1 - 3 , vế theo vế ta được: x + y 3x 3 3  2 6y + 3x + 12y = 9 2

Thay x = 3 - y vào phương trình   2 ta được:

 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm S       1;2 , 2;1 

3.2.11 Giải hệ phương trình x + y + xy = 3 x + y = 2

(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Toán, Tin Thành phố Hà Nội, năm

Bình phương 2 vế của phương trình   2 ta được

Khi đó ta có hệ phương trình mới gồm hai phương trình   1 và   3 là: a + b = 32 a + 2b = 4

 Khi đó hai số x; y là nghiệm của phương trình t2 2t + 1 = 0  t 1 = 0 2 t = 1 x = y = 1

 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y = 1;1   

(Đề thi vào 10, THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh, vòng 2, năm 2017 – 2018)

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 6 y 3

    +) Với x = 2 thay vào phương trình (2) ta được:

+) Với y = x + 2 Thay vào phương trình (2) ta được:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 2  y 4

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm làS     2;4 

(Đề thi vào 10, THPT chuyên tỉnh Lâm Đồng, vòng 2, năm 2017 –

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y 0 

Phương trình đầu tương đương với:

+) Với xy 1, ta có 2x 2 xy 1 2x 2   0 x 0(L)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S x;y         1;1 , 1; 1    

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Thành phố Hà Nội, năm 2016 – 2017)

Hệ phương trình đã cho tương đương với

Do đó, từ   I suy ra:  

Thay vào, chỉ có x; y   2;2 đúng

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S = 2;2    

(Đề thi vào 10 chuyên Quốc Học Huế - Thừa Thiên Huế, năm 2015 – 2016)

Hướng dẫn giải Điều kiện: x  1;y 1

  , hệ phương trình đã cho trở thành

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S       1;0 , 0;1 

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước 2015 – 2016)

Hướng dẫn giải Điều kiện:

  y x   Thay y = x vào phương trình (2) ta được

       Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S x;y         1;1

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Quảng Nam, năm 2015 – 2016)

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

Suy ra  x 2  4x  và  4x y   là 2 nghiệm của phương trình

Vậy hệ đã cho tương đương với

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Hải Dương, năm 2015 – 2016)

Hướng dẫn giải Điều kiện: y 2x 1 0;4x y 5 0;x 2y 2 0;x 1         

TH2: x 0;y 1  đưa phương trình thứ nhất về dạng tích ta được

    Thay y 2 x  vào phương trình thứ hai ta được: x2   x 3 3x 7  2 x

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Nam Định 2015 –

Hướng dẫn giải Điều kiện: x 2 y 0

   Thay x 2 y  vào phương trình thứ hai ta được phương trình:

 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S      1;3

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Nam Định, năm 2015 –

   Với y = 4, thay vào phương trình (2) ta được

      2      Đặt t 3 x 2 2x, phương trình trở thành

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là

Khóa luận đã hệ thống hóa được các kiến thức cơ bản về khái niệm cũng như các phương pháp giải một số dạng hệ phương trình, hệ bất phương trình… đặc biệt là những kiến thức liên quan chặt chẽ đến chương trình THCS và những kiến thức hữu ích mà bước đầu tạo niềm đam mê, hứng thú học tập, nâng cao tư duy, sáng tạo cho các em

Trong khuôn khổ thời gian có hạn và tài liệu tham khảo còn chưa thật đầy đủ nên khóa luận còn tồn tại và nhiều hạn chế Đây cũng là những trải nghiệm ban đầu về nghiên cứu khoa học, giúp em hình thành những kĩ năng cơ bản khi nghiên cứu một đề tài khoa học nói chung và đề tài Toán nói riêng

Vì vậy, em rất mong nhận được đóng góp ý và sự chỉ dẫn quý báu của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên giúp em rút kinh nghiệm và hoàn thành tốt hơn đề tài của mình Để có sự hoàn thiện của khóa luận này, một lần nữa em xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Phạm Xuân Hinh, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em, trong suốt quá trình làm đề tài Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đại học Thủ đô Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong bộ môn Toán của trường đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình làm khóa luận Cuối cùng, em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè và người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn!