Lý thuyết tích phân (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 2 Tích phân A Lý thuyết I Khái niệm tích phân 1 Diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoàn[.]

Bài 2 Tích phân

A Lý thuyết

I Khái niệm tích phân

1 Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b

được gọi là hình thang cong

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b]

Với mỗi x    a;b , kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x)

= F(x) + C

Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = – F(a)

Vậy S(x) = F(x) – F(a)

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a)

2 Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định

trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu

b

a

f (x)dx

Ta còn dùng kí hiệu b

a F(x) để chỉ hiệu số F(b) – F(a)

Vậy

b

b a a

f (x)dx F(x) F(b) F(a)

Ta gọi

b

a

 là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân

- Chú ý

Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

f (x)dx0; f (x)dx  f (x)dx

Ví dụ 1

a)

2

x

2

π

2 0 0

(2 cos x)dx  2xsin x     (π 1) 0 π 1

- Nhận xét

a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là

b

a

f (x)dx

b

a

f (t)dt

 Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay

t

b) Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân

b

a

f (x)dx

diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b Vậy

b

a

S f (x)dx

II Tính chất của tích phân

- Tính chất 1:

k.f (x)dx k f (x)dx

- Tính chất 2:

Ví dụ 2 Tính:

π

0

(3x 4sin x)dx

Lời giải:

Ta có:

π

π 0 0

- Tính chất 3

   (a < c < b)

Ví dụ 3 Tính

2

2

x dx



Lời giải:

Ta có: x x khi 2 x 0





Do đó;

0 2







III Phương pháp tính tích phân

1 Phương pháp đổi biến số

- Định lí:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số xφ(t)có đạo hàm liên tục trên đoạn   α; β sao cho φ(α)a; φ(β) b và a φ(t) b t       α; β

Khi đó: b β  

f (x)dx  f φ(t) φ '(t)dt

Ví dụ 4 Tính

1

2 0

1 x dx

Lời giải:

Đặt x = sint; suy ra: dx = costdt

Đổi cận:

π

2

  

  

Ta có:

π

2

1 x dx 1 sin t.cost dt

cos t.cost dt cos t.cost dt

2

1 cos tdt (1 cos2t)dt

2

π 2

0

- Chú ý:

Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Để tính

b

a

f (x)dx

 , đôi khi ta chọn hàm

số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục

và u(x)    α; β

Giả sử có thể viết: f(x) = g(u(x)) u’(x) với x    a; b với g(u) liên tục trên đoạn

  α; β

Khi đó, ta có:

u (b) b

a u (a )

f (x)dx  g(u)du

Ví dụ 5 Tính

π

2 0

x.sin x dx

Lời giải:

Đặt t = x2

Suy ra: dt = 2xdx dt

xdx

2

Đổi cận:

Ta có:

2

dt x.sin x dx sin t

2



π

π 0 0

sin t.dt ( cost) 1





2 Phương pháp tính tích phân từng phần

- Định lí

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

b a

Hay

b a

Ví dụ 6 Tính

2

0

I x sin xdx





Lời giải:

Đặt u x









  



I x sin xdx x cos x | cos xdx 0 sin x | 1

Ví dụ 7 Tính

e 1

0

I x ln(x 1)dx



Lời giải:



1

x 1

x 1 v

2







 



e 1

0

e 1 0

e 2e 1 x

x







2 2 2

B Bài tập tự luyện

Bài 1 Tính các tích phân sau:

a)

1

3

0

(x 1)dx

b)

2 2

1

dx x



c)

2

0

sin 3xcosx dx



d)

3

2

sin x dx





Lời giải:

a)

1

3

0

(x 1)dx

0



2

1

   

1 sin3x cos xdx sin4x sin2x dx

2

=

1

sin4xdx sin2xdx

2

2 0



= 1 1cos2 1cos 1cos0 1cos0

= 1 1 1 1 1 1

    

d)

0

0

0 sin x dx sin xdx sin xdx cos x cos x 3

0 2





Bài 2 Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

a)

2 x

x

1

e dx

C

e 1





b) D =

2

2 0

4x xdx

c)

2

2 0

sin2x

1 sin x







Lời giải:

a)

2 x

x

1

e dx

C

e 1







Đặt tex   1 dt e dxx

Đổi cận: Khi x = 1 thì t = e – 1

Khi x = 2 thì t = e2 – 1

Khi đó:

2

2

e 1

e 1 dt











2

e 1

ln ln e 1

e 1



b) D =

2

2 0

4x xdx

t 4 x dt 2xdx xdx

2

Đổi cận:

Khi x = 0 thì t = 4 ; x = 2 thì t = 0

Khi đó:

4

0

4

0

c)

2

2 0

sin2x

1 sin x









Đặt 2

t sin x dt 2sin x cos xdxsin2xdx

Đổi cận: Khi 2

x 0 sin 0  0 t 0;

2



  

Khi đó:

1

0

1 dt

F ln 1 t ln 2 ln1 ln 2

0

1 t



Bài 3 Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính:

a) A =

4

2 0

xdx

cos x



b) B =

2

2

0

x cos xdx



c)

1

2x

0

C xe dx

Lời giải:

a) Đặt

2

u x

du dx dx

v tan x dv

cos x





A =

4

2

0

xdx

cos x



sin x

   

0

b) B =

2

2

0

x cos xdx



Đặt

u x

v sin x

dv cos xdx







B =

2

2

0

x cos xdx



2

x sin x 2 x sin xdx 2 x sin xdx

4

* Tính : I =

2

0

xsinxdx



dv sin xdx v cos x



I =

2

0

xsinxdx



x cos x cos xdx x.cos x sin x 1



Thế I = 1 vào B ta được :

2 2

0

x cos xdx



2

2 4

 

1

2









C =

1

2x

0

x.e dx

1

0

2

