Tính diện tích xung quanh xq S của hình trụ khi quay đường gấp khúc BCDA xung quanh trục AB.. Tương tự P cũng chia khối cầu tâm B bán kính a thành hai phần: phần không chứa tâm B và p
Trang 1Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
IV Tổng ôn tập chủ đề 6
Quý độc giả vui lòng khai báo sách chính hãng tại web: congphatoan.com để nhận được đáp án chi tiết
BÀI KIỂM TRA
Câu 1: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác
vuông cân tại C, CA a , mặt bên SAB là tam giác
vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với mặt phẳng đáy ABC Tính bán kính R mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Câu 3: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD
có AB a AC a , 5 Tính diện tích xung quanh
xq
S của hình trụ khi quay đường gấp khúc BCDA
xung quanh trục AB.
A. S xq 2a2 B. S xq 4a2
C. S xq 4a2 D. S xq 2a2
Câu 4: Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là
15cm , đường kính đáy là 6cm , lượng nước ban đầu
trong cốc cao 10cm Thả vào có nước 5 viên bi hình
cầu có cùng đường kính là 2cm Hỏi sau khi thả 5
viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao
nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. 4, 25cm B. 4,81cm
C. 3,52cm D. 4, 26cm
Câu 5: Cho đoạn thẳng AB có độ dài là a Xét hai
mặt cầu có tâm lần lượt là A và B và có bán kính là
a cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn C Gọi
P là mặt phẳng chứa đường tròn C Khi đó
P chia khối cầu tâm A bán kính a thành hai phần:
Phần không chứa tâm A và phần chứa tâm A, gợi V1
là thể tích phần chứa tâm A Tương tự P cũng
chia khối cầu tâm B bán kính a thành hai phần:
phần không chứa tâm B và phần chứa tâm B, gọi V2
Câu 6: Một hình trụ có khoảng cách hai đáy là 7cm
và diện tích xung quanh là 70cm2. Tính thể tích V
của khối trụ được tạo nên
a A
và ;3
a B
, chiều cao là h được đặt xuyênqua khối cầu bán kính a h 2a (tâm của khối cầu
trùng với trung điểm của đoạn thẳng AB) Tính theo
a thể tích V của phần khối cầu nằm ngoài khối trụ.
LOVEBOOK.VN|52
Trang 2Câu 9: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1 và hình
vuông MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC (M
thuộc AB, N thuộc AC, P, Q thuộc BC) Gọi S là
phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác ABC
nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông
MNPQ Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S
quanh trục là đường thẳng qua A vuông góc với BC
ABC A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều
cao bằng h Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp lăng
Câu 11: Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội
tiếp trong khối cầu có bán kính R là:
B. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt
cầu ngoại tiếp
C. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì cómặt cầu ngoại tiếp
D. Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầungoại tiếp
Câu 13: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm
O, góc ở đỉnh bằng 150 Trên đường tròn đáy lấy
điểm A cố định Có bao nhiêu vị trí của điểm M trên đường tròn đáy của nón để diện tích tam giác SMA
đạt giá trị lớn nhất?
Câu 14: Cho một hình trụ có bán kính đáy và chiều
cao đều bằng 4dm Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai
đường tròn đáy Biến mặt phẳng ABCD không
vuông góc với mặt đáy của hình trụ Tính diện tích
S của hình vuông ABCD.
Câu 15: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a chiều
cao OO'a 3. Hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai
đường tròn đáy O , O sao cho góc giữa ' OO và'
AB bằng 30 Khoảng cách giữa hai đường thẳng
với mặt phẳng đáy Mặt phẳng a qua A và vuông
góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
Câu 17: Một cái trục lăn sơn có dạng hình trụ
Đường kính của đường tròn đáy là 5cm, chiều dài của lăn là 23cm (hình bên) Sau khi lăn 15 vòng thì
trục lăn tạo trên sân phẳng hình có diện tích là:
LOVEBOOK.VN|53
Trang 3Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing
1725cm
C. 862,5 cm 2 D. 1725 cm 2
Câu 18: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm
hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt
trong một hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua trục
của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau
qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát dồn hết ở
phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát
bằng 3
4 chiều cao của bên đó (xem hình) Cát chảy
từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi
3
2,90 cm phút Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì/
bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn
chu vi 8 cm (xem hình) Biết sau 30 phút thì cát
chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ Hỏi
chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm?
Câu 21: Bạn A có một tấm bia hình tròn (như hình
vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bia đó tạo thành một cáiphễu hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt
tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau Gọi x là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu Giá trị của x để thể tích phễu lớn nhất là
LOVEBOOK.VN|54
Trang 4khối cầu đối nhau Tính thể tích của cái chum biết
chiều cao của nó bằng 6dm (quy tròn 2 chữ số thập
phân)
A 414,69dm3 B 428,74dm3
C 104,67dm3 D 135,02dm3
Câu 23: Người ta chế tạo ra một đồ chơi cho trẻ em
theo các công đoạn như sau: Trước tiên chế tạo ra
một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60
bằng thủy tinh trong suốt Sau đó đặt hai quả cầu
nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau
sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc
với mặt nón Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy
của mặt nón Cho biết chiều cao của mặt nón bằng
9cm Bỏ qua bề đáy của những lớp vỏ thủy tinh,
hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu
thành một hình vuông) và có chiều cao 1,5m; còn
tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình trụ
không đáy, không nắp và cũng có chiều cao 1,5m.
Gọi V V theo thứ tự là thể tích của khối hộp hình1, 2
chữ nhật và thể tích của khối trụ Tính tỉ số 1
2
V V
A. 1
V V
V V
Trang 5Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing
Câu 26: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một
thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
3
1000cm Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà
sản xuất tiết kiệm được nguyên liệu nhất
Câu 28: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình nón tâm
O, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a Thể
tích của khối nón là
324
38
34
32
Câu 29: Một trụ có bán kính đáy bằng R và thiết
diện qua trục là một hình vuông Diện tích toàn
phần của hình trụ bằng
A. S tp 2R2 B. S tp 4R2
C. S tp 6R2 D. S tp 3R2
Câu 30: Một hình trụ (T) có bán kính đáy R và có
thiết diện qua trục là hình vuông Tính diện tích
xung quanh của khối trụ (T)
A. 4 R 2 B. R2 C. 2 R 2 D.
2
43
R
Câu 31: Một bể nước lớn của khu công nghiệp có
phần chứa nước là một khôi nón đỉnh S phía dưới
(hình vẽ), đường sinh SA27 mét Có một lần lúc
bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể
không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu
công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể
chứa Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lỗ
ở đỉnh S Lần thứ nhất khi mực nước tới M thuộc
SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm N
thuộc SA thì dừng, lần thứ ba mới thoát hết nước.
Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau Tính
độ dài đoạn MN.
(Hình vẽ 4: Thiết diện qua trục của hình nón nước)
A 273 2 1 m B 9 93 3 4 1 m
C 9 93 3 2 1 m D 9 33 3 2 1 m Câu 32: Khẳng định nào sau đây là khẳng định
D. Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mộtmặt cầu là một đường kính của mặt cầu đó
Câu 33: Cho tam giác đều ABC quay quanh đường cao AH tạo ra hình nón có chiều cao bằng 2a Tính
diện tích xung quanh S của hình nón này xq
A.
2
83
xq
a
Câu 34: Cho hình vuông ABCD quay quanh cạnh
AB tạo ra hình trụ có độ dài của đường tròn đáy
bằng 4 Tính theo a thể tích V của hình trụ này a
LOVEBOOK.VN|56
Trang 6Câu 35: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '
cạnh bằng 1 Gọi , 'O O lần lượt là tâm của hình
vuông ABCD và hình vuông ' ' ' ' A B C D Tính thể
tích khối tròn xoay sinh bởi tam giác AB C khi'
Câu 36: Cho khối trụ (T) có thiết diện qua trục là
một hình vuông có diện tích bằng 4 Tính diện tích
xung quanh S của khối trụ (T) xq
trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều
cạnh 3a Diện tích xung quanh của hình nón là
Câu 39: Hai bạn X và Y có hai miếng bìa hình chữ
nhật có chiều dài bằng a, chiều rộng bằng b Bạn X
cuộn tấm bìa theo chiều đài cho hai mép sát nhaurồi dùng băng dính dán lại được một mặt xungquanh của một hình trụ và hình trụ này có thể tích
1
V (khi đó chiều rộng của tấm bìa là chiều cao của
hình trụ) Bạn Y cuộn tấm bìa theo chiều rộng theocách tương tự trên để được một mặt xung quanhcủa hình trụ và hình trụ này có thể tích V Tính tỉ2
Câu 42: Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1
cạnh a Mặt trụ tròn xoay có 2 đáy là 2 đường tròn
ngoại tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương có
tỉ số độ dài giữa đường sinh l và bán kính đáy R
Câu 43: Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB
một góc 360 , khi đó đường gấp khúc ACB tạo ra
A. một hình nón
B. một hình trụ
LOVEBOOK.VN|57
Trang 7Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing
C. một mặt nón tròn xoay
D. một khối nón
Câu 44: Cho hình nón có chu vi đường tròn đáy và
độ dài đường cao đều bằng 2 Thể tích của khối
Câu 45: Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính
vào một cái bình hình trụ sao cho tất cả các viên bi
đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp
xúc với 8 viên bi xung quanh mỗi viên bi xung
quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của bình
hình trụ Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam
giác vuông cân tại B, đường thẳng SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) và SA AB a Tính diện
tích xung quanh S của mặt cầu ngoại tiếp hình xq
chóp S.ABCD.
A. S xq 4a2 B. S xq 2a2
C. S xq 3a2 D. S xq a2
Câu 47: Cho tứ diện ABCD Biết rằng tập hợp các
điểm M trong không gian thỏa mãn
Câu 48: Cho hai đường tròn C1 , C lần lượt2
chứa trong hia mặt phẳng phân biệt P , Q
C1 , C có hai điểm chung A,B Hỏi có bao2
nhiêu mặt cầu có thể đi qua C và 1 C ?2
A. Có đúng 2 mặt cầu phân biệt
B. Có duy nhất một mặt cầu
C. Có 2 hoặc 3 mặt cầu phân biệt tùy thuộc vào
vị trí của P , Q
D. Không có mặt cầu nào
Câu 49: Một mặt cầu (S) có độ dài bán kính bằng 2a Tính diện tích S của mặt cầu (S) mc
Trang 8I Hệ tọa độ trong không gian
1 Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, cho ba trục 'x Ox y Oy z Oz vuông góc với nhau từng đôi, ' , 'một Gọi , ,r r ri j k
lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục 'x Ox y Oy z Oz , ' , '
Định nghĩa
Hệ gồm ba trục 'x Ox y Oy z Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ, ' , '
Đề các (Descartes) vuông góc Oxyz trong không gian (hình 7.1)
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng Oxy , Oyz , Oxz đôi một vuông góc với nhau được gọi là các
mặt phẳng tọa độ
Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz
Nhận xét: ri2 rj2 kr2 1 và r r r r r ri j j k k i 0
2 Tọa độ của vectơ
Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị , ,r r ri j k
trên các trục Ox, Oy, Oz, cho một vectơ ur Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số thực x y z sao cho , ,
Trang 9Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền
LB
Nếu x y z là tọa độ của vectơ OM; ; uuuur thì ta cũng nói x y z là tọa độ của điểm; ;
M với hệ tọa độ Oxyz (hình 7.2).
Kí hiệu M x y z; ; hay M x y z ; ;
Trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.
4 Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm đầu mút
Trong không gian Oxyz cho hai điểm M x y z và 1; ;1 1 N x y z thì khi đó tọa 2; ;2 2
độ của vectơ MNuuuur và độ dài của nó là:
Tích có hướng của hai vectơ ur và vr, kí hiệu ;u vr r là vectơ ar xách định bởi
i ar có phương vuông góc với ur và vr
Một vài mẹo để tính nhanh tích có hướng cảu hai vectơ
Cách 1: Viết hai tọa độ của hai vectơ song song sau đó nhớ nhanh như sau:
Ví dụ hai vectơ ur u u u1; ;2 3 và vrv v v1; ;2 3 ta viết tọa độ của hai vectơ songsong và ghép các định thức theo chiều tam giác mũi tên từ giữa sang phải rồi tráinhư ở STUDY TIPS Cách nhớ mẹo này để độc giả dùng khi không nhớ công thức.Đến đây ta tìm được công thức tính tích có hướng
Tôi xin nhắc lại cách tính tích có hướng bằng máy tính fx 570 VN Plus mà tôi đã
giới thiệu trong cuốn “Bộ đề tinh túy môn toán” như sau:
1 Vào MODE 8:VECTƠ (để chuyển máy tính sang chế độ tính toán vớivectơ)
STUDY TIP
Trang 102 Khi máy hiện như ở góc trái chọn 1: VctA để nhập tọa độ vectơ thứ nhất, tiếptheo máy hiện VctA(m), ta chọn 1:3 để nhập tọa độ vectơ có hoành độ, tung độ,cao độ.
3 Tiếp theo, máy hiện như bên, ta sẽ nhập tọa độ vectơ thứ nhất vào
4 Sau khi đã nhập tọa độ vectơ thứ nhất, ấn AC để xóa màn hình Tiếp tục thựchiện nhập vectơ thứ hai như các bước trên, tuy nhiên ở bước 2, ta không chọn 1nữa bởi 1: VctA đã có tọa độ, nên ta chọm 2: VctB và tiếp tục thực hiện gán tọa độvectơ thứ hai
uuur uuur uuur
Từ hệ quả trên, ta có thể tính nhanh các thể tích, diện tích mà không cần tìm các độdài
II Phương trình mặt phẳng
1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Vectơ nr r0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P nếu giá của nr
vuông góc với mặt phẳng P (hình 7.4).
Chú ý
Nếu nr là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P k n k.r 0 cũng là một vectơ pháptuyến của mặt phẳng P
Trang 11Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền
song song hoặc chứa trục Ox Khi đó mặt phẳng P chứa trục Ox khi và chỉ khi
P đi qua gốc tọa độ O, hay d 0
Trang 123. Trường hợp b0, mặt phẳng P song song hoặc chứa trục Oy.
4 Trường hợp c , mặt phẳng 0 P song song hoặc chứa trục Oz.
5 Trường hợp a b 0,c Khi đó mặt phẳng 0 P có vtpt nr 0;0;c Trongtrường hợp này, mặt phẳng P song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy Khi
đó P Oxy khi và chỉ khi P đi qua gốc tọa độ O, hay d 0
phẳng Oxz
Trang 13Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền
Ox Oy Oz tại các điểm A;0;0 , B 0; ;0 , C 0;0; và phương trình mặt
phẳng viết dưới dạng này được gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Đến đây ta có bài toán tổng quát:
Mặt phẳng P (hình 7.5) đi qua ba điểm M a ;0;0 , N 0; ;0 ,b P 0;0;c có
phương trình P :x y z 1
a b c
2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng P1 ; P lần lượt có phương trình2
P a x b y c z d1 : 1 1 1 0, P2 :a x b y c z d2 2 2 , 0
a b c i Khi đó
Trang 143 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P ax by cz d: , với0
a và điểm b c M x y z Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng 0; ;0 0
P là độ dài đoạn MH, với MH là đoạn thẳng vuông góc với P tại H (hình 7.6).
Độ dài MH được tính bằng công thức 0 0 0
uuur uuur
Trang 15Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Dạng toán viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
Dạng 1: Cho mặt phẳng đi qua M x y z và 0; ;0 0
chứa hai đường thẳng phân biệt (không cùng phương)
có vectơ chỉ phương lần lượt là ar và br
,
n a b
r r r là vectơ pháp tuyến của
Dạng 2: Cho mặt phẳng đi qua M x y z và 0; ;0 0
song song với mặt phẳng :ax by cz d 0
là vectơ pháp tuyến của
Dạng 4: Cho mặt phẳng đi qua điểm M và một
đường thẳng d không chứa M.
Trên d lấy điểm A và tìm vectơ chỉ phương của d là
,
u n AM u
r r uuuur r
là một vectơ pháp tuyến của
Dạng 5: Cho mặt phẳng đi qua M và vuông góc
- Lấy một điểm M thuộc một trong hai đường thẳng
trên từ đó viết phương trình mặt phẳng
Dạng 7: Cho mặt phẳng chứa d và song song1
với d (hai đường thẳng này chéo nhau).2
Dạng 8: Cho mặt phẳng song song với hai đường
thẳng d d chéo nhau và đi qua điểm M.1; 2
- Xác định các vtcp ;a br r
của d d 1; 2
- vtpt của là nr a br r,
- Viết phương trình đi qua M và có vtpt nr
Dạng 9: Cho mặt phẳng song song với hai đường
- Lấy M và viết phương trình mặt phẳng d
Dạng 10: Cho mặt phẳng đi qua M và vuông góc
với hai mặt phẳng cắt nhau ;
- Xác định ctpt của và lần lượt là ;n nuur uur
Trang 16
- Một vtpt của là n n n;
r uur uur
Dạng 11: Cho mặt phẳng đi qua đường thẳng d
cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k.
- Từ điều kiện khoảng cách ta được phương trình (3)
- Giải hệ phương trình ta được a; b; c; d.
Dạng 12: Cho mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
;
S I R tại điểm A.
Vtpt của :n IAr uur
Trang 17Công Phá Toán – Lớp 12
III Phương trình đường thẳng
1 Hai dạng biểu diễn của phương tình đường thẳng trong không gian
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua điểm M x y 0; ; z0 0 và có vectơ
chỉ phương ur a b c; ; (do ur r0 nên 2 2 2
0
a ), Khi đó phương trình thamb c
số của đường thẳng có dạng
0 0 0
Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng
2 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua 1 M có vectơ chỉ phương 1 uur1
vàđường thẳng đi qua 2 M có vectơ chỉ phương 2 uuur2
2 khi và chỉ khi 1// 2 u uur uur1// 2
nhưng không cùng phương với M Muuuuuur1 2
3 và 1 cắt nhau khi và chỉ khi 2 uur1
không cùng phương với uuur2
Ta cũng có thể xét tính tương đối của hai đường thẳng dựa trên hệ phương trình hai
Trang 183 Hai đường thẳng d và d' song song khi hệ phương trình (l) vô nghiệm và uur1cùng phương với uuur2
4 Hai đường thẳng d và d' trùng nhau khi hệ (l) có vô số nghiệm.
3 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a Khoảng cách từ mọi điểm đến một đường thẳng
Trong không gian cho điểm M và đường thẳng đi qua điểm N, với vectơ chỉ phương ur Khoảng cách từ M đến là độ dài đoạn vuông góc MH kẻ từ M đến
(hình 7.11)
Cách 1: Lấy điểm P trên sao cho NP uuuur r Khi đó MH là độ dài đường cao kẻ từ
Cách 2: Để tính khoảng cách từ M đến đường thẳng , ta có thể xác định tọa độ
hình chiếu H của M trên rồi tính độ dài MH.
Chú ý: Ở cách 2, để tính được tọa độ điểm H ta phải đưa phương trình đường
thẳng về dạng tham số, từ đó tham số hóa tọa độ điểm H.
Dựa vào dữ kiện MH ta sẽ tìm được tọa độ điểm H
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm A1; 2;1 đến đường thẳng d :
Ta có BAuuur1;1;4 Khi đó u BAr uuur; 15; 11; 1
Trang 19b Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và 1 là độ dài đoạn vuông góc2
chung của chúng
Lấy điểm A thuộc , điểm B thuộc 1 2
Gọi u uur uur1; 2
lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và 1 2
Trên và 1 lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho 2 uuuur ur uuur uurAM u BN u1; 2 Khi đókhoảng cách giữa và 1 là khoảng cách giữa hai đáy của hình hộp đựng trên ba2
cạnh MA, AB, BN (hình 7.12).
Mặt khác ở phần hệ quả của bài hệ tọa độ trong không gian ta có công thức của
hình hộp bằng ,uur uur uuur1 u2.A B. Do vậy 2
1
1 2
4 Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
a Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng d d được kí hiệu là ·1, 2 d d , được xác định bởi các1, 2
trường hợp:
- Nếu d cùng phương với 1 d thì ·2 d d1, 2 0
- Nếu d và 1 d cắt nhau tại I thì ·2 d d bằng 1, 2 số đo góc nhỏ nhất tròn bốn góc tạothành
- Nếu d và 1 d chéo nhua thì ·2 d d1, 2 a b¶, trong đó a d b d và // 1, // 2 a b 1 (Hình 7.13)
Do góc giữa hai đường thằng là số đo góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo được
Trang 20- Nếu d không vuông góc với P thì d P bằng góc giữa d và hình chiếu của·,
Trang 21Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Dạng toán viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
Dạng 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A; B - Vtcp của d là u ABr uuur
Dạng 2: Cho đường thẳng d đi qua M x y z và 0; ;0 0
song song với
- Vì //d nên vtco của cũng là vtcp của d.
Dạng 3: Cho đường thẳng d đi qua M x y z và 0; ;0 0
vuông góc với mặt phẳng cho trước
- Vì d nên vtpt của P cũng là vtcp của d.
Dạng 4: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt
- Gọi H là hình chiếu của M trên d1
Khi đó d là đường thẳng đi qua M; H.
Dạng 7: Cho đường thẳng d đi qua điểm
uur uur uur
Dạng 8: Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
P và cắt hai đường thẳng d d1; 2 A d 1 P B d; 2 P đi qua A;B d
Dạng 9: Cho đường thẳng //d và cắt hai đường
thẳng d d (Biết luôn cắt 1; 2 d d )1; 2
Viết phương trình mặt phẳng P chứa và d , mặt1
phẳng Q chứa và d Khi đó 2 d P Q
Dạng 10: Cho đường thẳng d là đường thẳng vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d d1; 2
Cách 1: Gọi M1d M1; 2 Từ điều kiệnd2
Trang 22+ Lấy M .+ Vì Q chứa và vuông góc với P nên
,
n u u uur uur uur
- Khi đó d P Q
Dạng 12: Cho đường thẳng d đi qua M, vuông góc với
1
d và cắt d 2
- Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d Từ điều2
kiện MN , ta tìm được N Khi đó d là đường thẳng d1
Trang 23Công Phá Toán – Lớp 12
1 Bài toán cực trị về mặt phẳng, đường thẳng quanh xung quanh một điểm
khi đó là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AB
Bài toán tương tự là tìm đường thẳng qua B và cách A một khoảng lớn nhất.
2 Bài toán cực trị về mặt phẳng quay xung quanh một đường thẳng cố định Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng không đi qua A Tìm vị trí của mặt
phẳng chứa sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng đó là lớn nhất.
là chứa và vuông góc với AK.
Lúc này mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến n u MA u, ,
r uur uuur uur
Trang 241 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng : 1 2
Bài toán 3*: Cho hai đường thẳng phân biệt và không song song với nhau.1, 2
Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc lớn nhất 1
Lời giải
Vẽ một đường thẳng bất kì song song với 3 và cắt 2 tại K Gọi A là điểm cố1
định trên và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng 3 Ta có góc giữa và2
Khi đó mặt phẳng cần tìm chứa và vuông góc với mặt phẳng 1 hay1, 3
nó có một vectơ chỉ phương là u uuur uuur1, 2
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n u1,u u1, 2
uur uur uur uuur
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng P chứa : 1 1 2
Trang 25Công Phá Toán – Lớp 12
Ta có nu u d, d'u d3; 12;3
r uur uur uur
3 Bài toán cực trị về họ đường thẳng quay xung quanh một điểm cố định trong mặt phẳng cố định
Bài toán 4*: Cho mặt phẳng và điểm A thuộc , điểm B khác A Tìm
đường thẳng nằm trong đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên
Ta thấy d B ; BH AB
Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi và chỉ khi H A
Khi đó là đường thẳng qua A và có một vectơ chỉ phương là u n AB;
uur uur uuur
Gọi T là hình chiếu của B trên Ta thấy BH BT
Vậy khoảng cách BH nhỏ nhất bằng BT khi và chỉ khi H hay đường thẳng A
đi qua A và T.
Để viết phương trình đường thẳng ta có 2 cách:
- Tìm hình chiếu vuông góc T của B trên , từ đó viết phương trình đường thẳng
đi qua A và T.
- Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng : uuur nuur uur uuur,n AB,
Bài toán 5*: Cho mặt phẳng và điểm A thuộc , đường thẳng d không
song song với , khồn nằm trên , không đi qua A Tìm đường thẳng nằm
trong mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách giữa và đường thẳng d là
lớn nhất
Lời giải
Gọi 'd là đường thẳng qua A và song song với d và B là giao điểm của d với mặt
phẳng Gọi H là hình chiếu vuông góc vủa B trên mặt phẳn d'; Khoảng
cách giữa d và bằng BH Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên ' d
Ta thấy BHBC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H C
Khi đó đường thẳng có một vectơ chỉ phương u n BC,
uur uur uuur
Trang 26Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm M1; 2;1 Mặt phẳng P thay đổi đi qua M
lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là
P và Q chứa d và tiếp xúc với S Gọi M và
N là tiếp điểm Độ dài đoạn thẳng MN là
A. 2 2 B. 4
3 C. 6 D. 4
Câu 8: Cho hai điểm A3;3;1 , B 0;2;1 và mặt
phẳng P x y z: Đường thẳng d nằm7 0.trên P sao cho mọi điểm của d và cách đều hai
điểm A,B có phương trình là
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng P x: 2y z Điểm nào dưới5 0đây thuộc P ?
A. Q2; 1; 5 B. P0;0; 5
C. N5;0;0 D.M1;1;6
Bài tập rèn luyện kỹ năng
Trang 27Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Câu 11: Cho hai đường thẳng 1
điểm D nằm trên trục Oy và thể tích của tứ diện
ABCD bằng 5 Tọa độ của D là
A. P đi qua M B. Q // Oxz
C. R //Oz D. P Q
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
d là đường thẳng qua M1; 2;3 và vuông góc với
Q : 4x3y7z Phương trình tham số của1 0
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
hai điểm A2; 3; 1 ; B 4; 1; 2 Phương trình
Trang 28Câu 19: Cho điểm M1;0;0 và đường thẳng
1
d Gọi M a b c là điểm đối xứng' ; ;
với M qua d Giá trị của a b c là
Câu 21: Cho điểm M3; 2; 4, gọi A, B, C lần
lượt là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz.
Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song
Viết phương trình đường
thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với đường
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
phương trình mặt phẳng P đi qua hai điểm
P x y z: Tính độ dài đoạn thẳng OM, biết0
rằng điểm M thuộc P sao cho MA2MB2 đạtgiá trị nhỏ nhất?
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
phương trình mặt phẳng đi qua điểm
3; 4;1
H và cắt các trục tọa độ tại các điểm M,
N, P sao cho H là trực tâm của tam giác MNP.
A. 3x4y z 26 0
B. 2x y z 1 0
C. 4x3y z 1 0
D. x2y z 6 0
Trang 29Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
ba vectơ ar5;7;2 , 3;0; 4 , br cr 6;1; 1 Tìm tọa
độ của vectơ mur3ar2b cr r
A. mur 3; 22; 3 B. mur3; 22; 3
C. mur3; 22;3 D. mur3; 22;3
Câu 29: Cho điểm M3; 2;1 Mặt phẳng P đi
qua điểm M và cắt trục tọa độ Ox Oy, Oz tại A, B,
C sao cho M là trực tâm tam giác ABC Phương
a b c Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì qũy
tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho đường thẳng
1 2:
Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
gọi là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm
Trang 30đường thẳng d và vuông góc với ur1; 2;3
B C y z Trọng tâm của tam giác
ABC thuộc trục Ox khi cặp y z là;
A 1; 2 B 2; 4
C 1; 2 D 2; 4
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
phẳng đi qua điểm M3; 1;1 và vuông góc với
C. 1
Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
mặt phẳng P đi qua điểm M9;1;1 cắt các tia
Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa
độ) Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhát là
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
ba mặt phẳng P x y: 2z ,1 0
Q x y z: , 2 0 R x y: Trong các5 0mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Câu 46: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho
mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ O và vuông góc
với hai mặt phẳng Q : 2x y ;3z 1 0
R : x 2 y z 0 Phương trình mặt phẳng P là
A. 7x y 5z 0 B. 7x y 5z0
C. 7x y 5z0 D. 7x y 5z0