CD49 MAX MIN MODULE số PHỨC

Một số dạng toán thường gặp: Chuyên đề Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM... Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN... Mệnh đề nào sau đây đúng?. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

➊ Phương pháp đại số:

Bất đẳng thức tam giác:

1 2  1  2 ,

z z z z dấu "=" khi   z1 kz2với k ≥ 0

1 2  1  2 ,

dấu "=" khi       z1  kz2với k ≤ 0.

Đẳng thức hình bình hành: 2 2  2 2

1 2  1 2  2 1  2 .

Bất đẳng thức khác:

BĐT Cauchy:

 2

2



  A B

A B

Dấu = xảy ra khi A B  .

BĐT Bunhiacôpxki: Ax By 2 A2 B2 x2 y2.

Dấu = xảy ra khi



BĐT Mincôpxki: a2 x2  b2 y2   a b  2  x y  2

Dấu = xảy ra khi



❷ Phương pháp hình học:

Nếu M M1, 2 lần lượt là các điểm biểu diễn của hai số phức z z1, 2 thì

1 2 1 2

Nếu số phức z thỏa mãn z a bi R   0 thì tập hợp các điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I a b( ; ), bán kính R

Khi đó

2 2 0

min z OI R  z  R  a b  R

và max z OIRz0 R a2b2 R.

Nếu số phức z thỏa mãn z a bi   z c di thì tập hợp các điểm biểu diễn z là

đường trung trực  của AB, với A a b B c d( ; ), ( ; ).

Khi đó,

2 2 2 2

  

a b c d

z d O

a c b d

Nếu số phức z thỏa mãn z c   z c 2 ,(a a c 0) thì tập hợp các điểm biểu

diễn z là elip

2  2 2 1



a a c Khi đó, min z  b a2 c2 (nửa độ dài trục bé) và max z a (nửa độ dài trục lớn).

❸ Một số dạng toán thường gặp:

Chuyên đề

Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

CẦN NẮM

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

 Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z , tìm z Min Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x y ; 

biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với

 ; 

A a b



2 2 0

2 2

Min

a b







  



 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di . Tìm zmin Ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với

 ; ,  ; 

A a b B c d



2 2 2 2

,

2

Min

a b c d

z d O AB

a c b d

  

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0 z z 0 R

Tìm z Max, z Min Ta có

 Quỹ tích điểm M x y ; 

biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a b ;  bán kính R



2 2

0

2 2

0

Max

Min









Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2 ,a a c   Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là Elip:

2 2 2 1

a a  c 



2 2

Max

Min







 (Elip không chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z 1  z z 2 2a

Thỏa mãn 2a z1 z2

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z 1  z z 2 2 ,a z 1 z2 2a

và

1, 2 ,

z z  c ci ) Tìm Max, Min của P z z0 Đặt

1 2

2 2 2

2

b a c





 



Nếu

1 2

2

z z

Min









 (dạng chính tắc)

Nếu  

1 2 0

2

z z

z z k z z







1 2 0

1 2 0

2 2

Max

Min

z z

z z











1 2 0

2

z z

z z k z z







1 2 0

2

Max

z z

P z   a

0 2

Min

z z

P  z    b

A z  1 2 B 2z  1 i 3 2

Lời giải

Chọn B

Ta có z     z 1 i 1 i     z 1 i 1 i 2 2

Vì vậy 2z     1 i z 1 i z    z 1 i z 3 2

1 ,

m

m i



Tìm các giá trị của m để |z i | 1

Lời giải

Chọn A

1

m z

m i





z i

m mi

  

 

3 1 1

m mi

  



Ta có:

3 1 1

z i

m mi

  

   3m121 m2 1 m22m2

m 1 5  m 1 0

1 1;

5

m   

   

 

Vậy không tồn tại m  Z thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ⓑ BÀI TẬP RÈN

LUYỆN

Câu 3: Gọi z , 1 z là hai trong các số phức thỏa mãn 2 z 2 i 3và z1 z2 2 Tính

môđun của số phức w z 1 z2 4 2 i

Lời giải

Chọn D

Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z , B là điểm biểu diễn của số phức1 2

z

Theo giả thiết z , 1 z là hai trong các số phức thỏa mãn 2 z 2 i 3nên A và B

thuộc đường tròn tâm I2; 1 bán kính r 3

Mặt khác z1 z2  2 AB2

Gọi C là trung điểm của AB suy ra Clà điểm biểu diễn của số phức

1 2 2

z z

và

2 2

3 1 2 2

IC   

Ta có

1 2

2

z z

w z z   i     i IC

và

1 2 1

z  z  Tính M 2z13z2

A M  19 B M 25 C M  5 D M  19

Lời giải

Chọn D

Từ giả thiết, ta có 2z 1  z 2 i  z  10  2 z 12 z 22.z2 10

5z 5z 10 0

     z  (vì 1 z  ).0

Gọi z1 x1 y1i và z2 x2y2i Ta có z1 z2  nên 1 x12 y12 x22y22 1

Mặt khác, z1 z2  nên 1 x1 x22y1 y22  Suy ra 1 1 2 1 2

1 2

x x y y 

Khi đó M 2z13z2  2x13x222y13y22

4 x y 9 y y 12 x x y y

Vậy M  19

1 1

m i  với m là số thực Mệnh đề nào sau đây

đúng?

A

3 9

;

2 5

M  

3 0;

5

M  

3 2

;

5 3

M  

2 3

;

3 2

M  

 

Lời giải

Chọn A

+) Đặt

 

2 2 1 (1 m)2 1 2 1 2 2 2 2 0 (*)

+) Ta đi tìm A để phương trình (*) ẩn m có nghiệm

TH1: Nếu A  thì PT (*) trở thành 1

1

2 1 0

2

m   m 

phương trình có nghiệm

TH2: Nếu A  thì PT (*) là phương trình bậc 2 ẩn m có 1   1 A2 1 A2 2

PT (*) có nghiệm

1

A

A

 



Từ 2 TH suy ra

 

thì PT (*) có nghiệm Suy ra

3 5 2

M  

Câu 6: Cho số phức z a bi  với ,a b là hai số thực thỏa mãn 2 1 a b Tính z khi biểu

thức z 1 4i  z 2 5 i đạt giá trị nhỏ nhất

A

1

1

2

5

Lời giải

Chọn C

Gọi M a b là điểm biểu diễn số phức  ,  z Theo đề bài có M :x 2y1 0

Để z 1 4i  z 2 5 i đạt giá trị nhỏ nhất thìMA MB đạt giá trị nhỏ nhất với A   1; 4và B2;5 Vì A B, nằm khác phía với nên MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M A B, , thẳng hàng

Ta có phương trình đường thẳng AB:  3x y  1

Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

1

5

x

x y

x y

y









 

Vậy

z  i z 

nhỏ nhất Tìm P 3 x 2y

Lời giải

Chọn A

Ta có: z 2 4i  z 2i

(x 2) (y 4) i x y 2 i

        (x 2)2(y 4)2 x2(y 2)2  x y  4 0

Vậy tập hợp điểm M x y biểu diễn các số phức  ;  z x y x y  i, ,   là  đường thẳng  d :x y  4 0

min z = min OH = OH với H là hình chiếu của điểm O lên  d

Vì OH d :x y  4 0 nên OH x y m:    0

Do O0, 0OH  m 0 OH x y:  0

Tọa độ điểm H  d OH thỏa mãn hệ

2



P 3x 2y 2

Lời giải

Chọn D

Đặt z x yi  với x , y   theo giả thiết z  z 2i  y 1  d

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  d

Gọi A0;1, B4;0 suy ra z i  z 4  là tổng khoảng cách từ điểm P M x  ; 1 đến hai điểm A, B

Thấy ngay A0;1và B4;0nằm cùng phía với  d Lấy điểm đối xứng với

0;1

A qua đường thẳng  d ta được điểm A0; 3 

Do đó khoảng cách ngắn nhất là A B  3242  5

nhất có phần ảo là

A

3

3

3 5



3 10



Lời giải

Chọn D

+ Gọi số phức cần tìm là z a bi a b  ,( ,  )

z a bi

  

+ z    1 i z 1 2i  a bi    1 i a bi 1 2i  a 1 b1i   a 1 b2i

a 12 b 12 a 12 b 22

a

+

2

z  a b  a  a   a  a  a  a 

2

5

a

z nhỏ nhất bằng 3 510 khi

a  b

nhất của biểu thức T 3iz2w

A 554 5 B 578 13 C 578 5 D 554 13

Lời giải

Chọn D

z  i   iz i  là đường tròn có tâm I9;15 và R  9

iw  i   w i  là đường tròn có tâm J4; 8 

và R 4

T  iz wđạt giá trị lớn nhất khi T IJ R R   554 13

3

5

2

Lời giải

Chọn B

Ta có tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I3;2,

bán kính R  2  1

 2  2

2

P z  i  P  x  y

 

3

P

      

Suy ra M thuộc đường tròn tâm

5 3;

2

J   

  , bán kính 2

P

r 

 2

Từ  1 và  2 , ta được

9

P

IJ   R r    P

nhất và giá trị nhỏ nhất của z Khi đó M m bằng

Lời giải

Chọn C

Đặt z x yi 

Ta có: 2z 3 4 i 10

3

2 5 2

2

2 3

2 25 2

      

Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề là đường tròn tâm

3

;2 2

I  

 , bán kính 5

R 

Khi đó:

m IO R

M IO R

 





  M m 2R10

z z  z z 

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức M2 m2 bằng

Lời giải

Chọn D

Giả sử z x yi x y   ,   

Ta có:

z z z z   x yi  2 i2 x yi  2 i216  x2y12 4

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm số phức

0;1

I bán kính R 2

Do đó m  , 1 M  3 Vậy M2 m2  8

thức P   z 2 i 6 z 2 3 i bằng

A 5 6 B 15 1  6

C 6 5 D 10 3 15

Lời giải

Chọn C

Ta có 1i z  1 3i 3 2 z 1 2i 3 nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm (1;2) I , bán kính R 3

Đặt a z  1 2 ,i b  1 i

Ta có







P a b  a b   a b  a b 

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

P z  z i Tính môđun của số

phức w M mi 

A w  1258 B w  1258 C w 2 314 D w 2 309

Lời giải

Chọn B

Giả sử z a bi  ( ,a b   ).

 2  2

z  i   a  b  (1)

P z  z i  a b  a  b   a b

Từ (1) và (2) ta có 20a264 8 P a P  2 22P137 0 (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi   4P2184P1716 0

13 P 33 w 1258

mcủa biểu thức z1 z2

A m 2 2 2 B m  2 1 C m 2 2 D m  2

Lời giải

Chọn A

Gọi z1 x yi(x , y   ), khi đó theo giả thiết của đề bài ta có z2  y xi

z   i   x  y 

Vì vậy tồn tại t   để x 1 2sintvà y 1 2cost

1 2

z  z  x y  y x 2 x 2y2

2 6 4 sint cost

     12 8 2 sin

4

t 

  12 8 2

Do đó m  12 8 2 2 2 2

nhất, giá trị nhỏ nhất của z Tính M m

5

3

Lời giải

Chọn D

Giả sử z x iy x y  , ,   , ta có điểm biểu diễn số phức là N x y ; 

Đặt F 1 2;0; F22;0 ta có F F1 2  4 2c c2

Mặt khác z 2  z2 5 1 2

5

5 2

2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z 2  z2 5 là Elip

2 2

2 2 1

x y

a b  , với tiêu điểm là F 1 2;0; F22;0 và

5 2

a 

,

4

b a  c   

Suy ra

;

M  a m b 

Từ đó M m  4

2z 1 2i

là

A m  4 B m  9 C m  8 D m  39

Lời giải

Chọn D

Giả sử M x y biểu diễn số phức z x iy ;    (x, y ), A1; 3 , B  2;1, 5

AB 

z  i  z  i   AM BM  , tập hợp điểm 8 M là Elip có phương trình

2 4 2

1

16 39

Đặt P2z 1 2i

1 2 2

, gọi I là trung điểm ABthì

1

; 1 2

I  

1

2

IM

Ta tìm điểm M trên  E sao cho IM có độ dài nhỏ nhất

IM nhỏ nhất khi IM bằng độ dài nửa trục bé,

39 2

IM 

min 39

P

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z 2 z2  Gọi ,5 M m lần lượt là giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của z Tính M m

A

17 2

M m 

B M m  8 C M m  1 D M m  4

Lời giải

Chọn D

Gọi M x y ,  ;  F 1 2;0, F12;0 biểu diễn cho số phức z ,2,2

Ta có MF MF1 2 5 M chạy trên Elip có trục lớn 2a  , trục nhỏ5

25

4

Mà z OM Do đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là M 52;

3 2

m 

Suy raM m  4

S  a b

A S  3 B S  5 C S  5 D S  11

Lời giải

Chọn C

Gọi M a b là điểm biểu diễn số phức  ;  z a bi  a b   , ,  A  4;0, B4;0 ,

6;0

C lần lượt là điểm biểu diễn số phức z  , 1 4 z  , 2 4 z  3 6

Khi đó ta có z4  z 4 10  MA MB 10suy ra tập hợp điểm M là  E nhận

A, Blà các tiêu điểm, độ dài trục lớn 2a10 a , tiêu cự 25 c 8 c ,4 3

b 

 E

2 2

1

25 9

x y

Ta tìm giá trị lớn nhất của z  6 MC, khi đó MCmax EF FC 11, khi đó

M Evới E  5;0, F5;0  z Vậy 5 S a b 5

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của T  z 2i Tổng M n bằng

Lời giải

Chọn A

Gọi z x yi  , ,x y  

Ta có



Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy Khi đó ;  tập hợp các điểm M là hình vuông ABCD (hình vẽ).

-2

1

-1

N O

y

x

B A

Điểm N0; 2 biểu diễn số phức, khi đó T  z 2i MN

Dựa vào hình vẽ ta có MN d M AB  ,   nên 1 mminT  , 1 MNNC 10nên

M  T  , do đó M m  1 10

z w  w  i  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z22w w  1

A

3 2 4 4



9 10 20 20



3 10 5 5



Lời giải

Chọn B

Ta có tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm O0;0,

bán kính R 1

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường thẳng có phương trình

2x2y3

T z w w   z w w   w w   x  y 

9 10 20

20

HẾT