MAX MIN MODUN số PHỨC lớp TOÁN THẦY HUY

Tìm giá trị lớn nhất của... Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là... Gọi Mvà m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z.. Gọi Mlà điểm biểu diễn của z...

Trang 1

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555

Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số

CHINH PHỤC 8,9,10 ĐIỂM THI ĐẠI HỌC

ÔN TẬP – MAX MIN MODUN PHỨC - LỚP TOÁN THẦY HUY LỚP TOÁN THẦY HUY – NGỌC HỒI – THANH TRÌ – HN – 0909127555 Kênh học tập free: https://www.youtube.com/channel/UCmuQHM-Dj3vjXG-

ZmuQ2n7A?view_as=subscriber Tham gia Group 8+ Free:https://www.facebook.com/groups/1632593617065392/

Page live: https://www.facebook.com/chinhphucdiemcao/

Trang 2

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555 1.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M

axby c 0

z a bi z c di

Đường thẳng :axby c 0 Đường trung trực đoạn AB vớiA a b B c d  ,  , ,  

2 2 0

Trang 3

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R 0 z z  0 R Tìm

Max Min

z , z Ta có Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a; b  bán kính R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a bi R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R z a bi  R

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2a , a c Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z là Elip:

2 2

yx

Trang 4

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555 TQ2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z 1  z z 2 2a

Trang 5

Suy ra

min

55

Gọi z x yi với ;   x y

Ta có 8 z3  z3  z  3 z 3  2z  z 4

Trang 6

3; 0 , 0, 38

M m

Cách 3: Tổng quát

Cho số phức z thỏa mãn z c  z c 2 ,a a c ta luôn có   

Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip

2 2

2  2 2 1



y x

Theo giả thiết x2 2 y32 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm

Trang 7

Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 13 1

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn nhất của w  z 1 i

Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z a bi   z a bi 

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt 2

iz Mệnh đề nào sau đây đúng?

Ta chứng minh  

2 2

12

Trang 8

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5

  i A

A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax 5; Mmin 2

C Mmax 4; Mmin 1 D Mmax 4; Mmin 2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là1

2, xảy ra khi z 2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng

Trang 9

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555 Cách 1: Gọi z x yi; x;y z 2i x y2i Ta có: z 1 2i 3x1 2 y22 9 Đặt x 1 3 sin ; t y  2 3cos ; t t 0; 2.

13.4

Trang 10

Đặt x 1 2 sin ;t y  2 2 cos ; t t 0; 2

Trang 11

Lúc đó: z2 1 2 sin t 2  2 2 cost2  9 4 sint8 cost 9 428 sin2 t  ;  

Trang 12



.9



.2



xy

Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt z x iy x y  Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được ,   x2 y2 9

Đặt x3 cos , t y3 sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Trang 13

Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i  5 và biểu thức M z22 z i đạt  2

giá trị lớn nhất Tính môđun của số phức z i

Trang 14

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555 Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 Số phức z i có môđun nhỏ nhất là:

A 5 1 B. 5 1 C. 5 2 D. 5 2

Hướng dẫn giải

y

x 1

1

O

I M

z i x y IM , với I2; 2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn Khoảng cách này

ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm N0;1Oy I, 2; 2 với đường tròn

Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z2i1  z i Tìm số phức z được biểu diễn 

bởi điểm Msao cho MA ngắn nhất với A1, 3

Hướng dẫn giải

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức  ,  z x yi x y R  ,  

Gọi E1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1 2 i

Gọi F0, 1  là điểm biểu diễn số phức i

Trang 15

Ta có : z2i1  z i  MEMF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục

Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1  2 Tìm giá trị lớn nhất của T z i  z 2 i

A maxT8 2 B maxT4 C maxT4 2 D maxT8

Trang 16

Ta có a1 2 1b2 sint3 2  cost22 sin2t6 sint 9 cos2t4 cost4

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  2  2 2 2 2 

6 sint4 cost  6 4 sin tcos t

6 sin 4 cos 2 52 6 sin 4 cos 52 2 13 14 2 13

Trang 17

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng

Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z4 z4 10 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là

1

25 9 

y x

Vậy max z OA OA ' 5 và min z OB OB ' 3

Câu 26: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Biết rằng số phức   z x yi , x y,  

Dấu " " xảy ra x2y2 Vậy P2222 8

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng

Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 3 1 1

A max z 1 B max z 2 C max z  2 D max z 3

Trang 18

Câu 28: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1i z  1 7i  2 Tìm max z

A max z 4 B max z 3 C max z 7 D max z 6







z i A

iz Mệnh đề nào sau đây đúng?

Vậy môđun của A x2y2 1

Câu 30: Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1z2  8 6i và z1z2 2 Tìm giá trị lớn nhất của

Trang 19

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  2 2

Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn z1 3

z Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là

Trang 20

Lời giải

Ta có

2 2

24

2



Lời giải Cách 1 Từ giả thiết, ta có 1 2 i z  10  2 i 1 2 i z   2 i 10

Trang 21

Giải ra ta có c 1 mà c0 nên c1 hay z 1 Do đó 1 3

2 z 2

Câu 35: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M M Số phức (4 3 ),  z  i và số phức

liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N N Biết rằng ,  M M N N là bốn đỉnh của hình chữ nhật , , , Tìm giá trị nhỏ nhất của z4i5

A 1

2

1

4.13

 x  y  x  y  x y  y  x y  x yKết hợp với   , ta được T 2x2y2 6 2 x2y  2x y 2 2 2 x y  

Trang 22

2018 2

Câu 39: Cho các số phức z1  2 i z, 2 2i và số phức z thay đổi thỏa mãn z z 12  z z 22 16 Gọi

Mvà m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức M2 m bằng 2

Lời giải

Chọn D

Gọi Mlà điểm biểu diễn của z

Gọi A2; 1, B2;1 Gọi I0;1 là trung điểm AB

Trang 23

Câu 41: Gọi số phức z x yi x y; ,   thỏa điều kiện z22 z22 26 và z2 5i lớn nhất Tính 

Trang 24

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C tâm là gốc tọa độ O, bán kính

2  5  nên điểm 9 N2; 5 thuộc đường tròn  C

Gọi M x y là điểm thuộc  ;   C , khi đó    3  2

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 4 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của z 2 i Tính giá trị của tổng SM2m 2

Trang 25

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát

Cho tam giác ABC, đặt AB c , ACb, BCa, khi đó ta có

Trang 26

Áp dụng bài toán trên ta có P36 2, chọn B

Ta có thể chứng minh bài toán   trên bằng ngôn ngữ số phức

Gọi tọa độ các điểm A B C M trên mặt phẳng phức là , , ,, , , u v w x khi đó  a v w ,  b w u , 

Trang 27

Gọi điểm biểu diễn của z là M Khi đó M nằm trên đường tròn tâm I0; 1 ,  R1 Gọi tọa độ các điểm A 2 ; 1 ,  B 2; 3  do đó:

; 12

P z  z OA OB   Dấu bằng xảy ra khi OA OB

Câu 47: Giả sử z z1, 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz 2 i 1 và z1z2 2 Giá trị lớn nhất của z1  z bằng 2

Trang 28

Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1 z i 2 1 1

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M, N là điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 là đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta

Trang 29

37

Gọi z x yi x y ;  ,M x y là điểm biểu diễn số phức z  ; 

Do z  1 i 2x1 2 y12 4 suy ra M thuộc đường tròn tâm I1; 1 , bán kính R2 Đặt A2;1 , B2; 3 , E0; 2 là trung điểm của AB Khi đó

Câu 50: Cho các số phức z1   2 i z, 2   và số phức z thay đổi thỏa mãn 2 i zz12 zz2 2 16 Gọi

M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức M2m2 bằng

Lời giải:

Trang 30

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555 Cách 1:



Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 i |z 3 2 |i  5 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của z2i Giá trị biểu thức 2 2

M m bằng

Trang 31

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555 Lời giải:

Gọi z x yi có điểm M x y( ; ) biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ

M  z i OB , 5min

- GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu A B,

- Một sai lầm thường gặp là đánh giá zmin d O AB ;  nhưng do góc OAB là góc tù nên không

tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho OM  AB

Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ,biểu thức P z22 z i Khi đó modun của số phức  2 w M mi

Trang 32

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555 Cách 3:

Thay x y, vừa tìm được vào f x ta được   0, 2P1,6 3  2 0,1P1,7 4 2 5 0

Ta giải được P33 hoặc P13 Đây tương ứng là GTLN và GTNN của P

Bài toán trở thành tìm điểm M : 8x6y25 0 sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất

Vì 8x E 8y E25 8  x F8y F250 nên hai điểm E F nằm cùng phía đối với đường thẳng ,  Gọi E là điểm đối xứng với E qua 

Đường thẳngEE đi qua điểm E1; 1  và có VTPT    3; 4 

Trang 33



E đối xứng với E qua H nên

117254425

Ta có ME + MF = ME + MF E F

Dấu bằng xảy ra Mlà giao điểm của E F và đường thẳng 

Đường thẳng E F đi qua điểm F2; 3  và có VTPT   31;167

Câu 55: Gọi z z1, 2 là 2 nghiệm của phương trình z 1 2i  z 1 2i thỏa mãn z1z2  2 Biết rằng w là

số phức thỏa mãn w 3 2  i 2 Tìm GTNN của biểu thức P wz1  wz 2

Giả sử A B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho , z z1, 2, ta có z1z2  2 AB 2

Giả sử w a bi a b R và  ,   M là điểm biểu diễn cho số

phứcw , ta có w 3 2  i 2 2 2

 a  b  suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I3; 2

bán kính R2

Ta có PMA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên

trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra

62

Trang 34

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M, N là điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 là đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta

Trang 35

MA MB MJ với J là trung điểm của AB

Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên MJIJR

Vậy đểP Max thìM4; 5 Suy ra 2a b  3

Câu 59: Trong các số phức z thoả mãn z2 4 i 2, gọi z1 và z2là số phức có mô-đun lớn nhất và nhỏ nhất Tổng phần ảo của hai số phức z1và z2 bằng

A 8i B 4 C 8 D 8

Lời giải

Gọi z x yi x y, ,   và M x y là điểm biểu diễn số phức z  ; 

Theo giả thiết z2 4 i 2  x yi 2 4 i 2 x2 2 y42 4

Suy ra M  C : x2 2 y42 4

Trang 36

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z2 4 i 2 là đường tròn  C có tâm

B Do OA OB nên điểm A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm

B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất

Câu 60: Xét số phức z a bi (a b,   và b0) thỏa mãn z 1 Tính P2a4b khi 2 z3 z 2 đạt giá trị lớn nhất

A P4 B P2 2 C P2 D P2 2

Lời giải Cách 1:

Từ giả thiết có a2b2 1b2  1 a2 0 với a  1; 1 và z z 1

21;13

1

Trang 37

Suy ra

   1;1

1 13max

z z  cos 3x i sin 3x  cosx i sinx2

cos 3 cos 2 sin 3 sin 

21;13

Bảng biến thiên:

   1;1

Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min

Câu 61: Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn 2z i  2iz , biết z1z2 1 Tính giá trị của biểu thức

Trang 38

Lời giải Cách 1

Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:T z i  z 2 i

A maxT  8 2 B maxT 4 C maxT 4 2 D maxT  8

Trang 39

37

Trang 40

25 86

Trang 41



Lời giải

Ta gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z ;

Trang 42

2

2O

2

MN I

2

2O

2

MN I

Tiêu đề	MAX MIN MODUN Số Phức - Lớp Toán Thầy Huy
Tác giả	Lương Văn Huy
Người hướng dẫn	Thầy Huy
Trường học	Trường Đại học Thanh Trì
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sách giáo khoa
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	54
Dung lượng	1,12 MB