LVH TOÀN tập MAX MIN MODUN số PHỨC FULL GIẢI

 Tóm tắt lí thuyết  Phân Dạng Bài Tập  Bài Tập Minh Họa  Bài Tập Tự Luyện Giải chi tiết Tài liệu nội bộ lớp live 9+ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC... 85 Dạng 6: Quỹ tích các điểm biểu diễn

 Tóm tắt lí thuyết  Phân Dạng Bài Tập  Bài Tập Minh Họa

 Bài Tập Tự Luyện (Giải chi tiết)

Tài liệu nội bộ lớp live 9+

MAX MIN MODUN

SỐ PHỨC

MỤC LỤC NỘI DUNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 05

Dạng 1: sử dụng các bất đẳng thức đại số, khảo sát 05

Ví dụ minh họa 05

Bài tập vận dụng 32

Đáp án 44

Dạng 2: Quỹ tích các điểm biểu diễn là đường thẳng 45

Dạng 3: Quỹ tích các điểm biểu diễn là đoạn thẳng 58

Dạng 4: Quỹ tích các điểm biểu diễn là đường tròn 65

Dạng 5: Quỹ tích các điểm biểu diễn là elip 85

Dạng 6: Quỹ tích các điểm biểu diễn là Parabol,Hypebol,miền,các đường khác 92

Bài tập vận dụng 113

Đáp án 128

Lời giải chi tiết 129

CĐ4: MAX MIN MODUN PHỨC

Tài liệu nội bộ lớp live 9+ thầy Lương Văn Huy

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi    R  0 z z   0  R  Tìm

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi    R  z a bi    R(Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

     , (Chia cả hai vế cho z0 )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c   z c   2a , a   c  Khi đó ta

có

Quỹ tích điểm M x; y   biểu diễn số phức z là Elip:

2 2

y x

TQ2: (Elip không chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z  1  z z  2  2a

Thỏa mãn 2a  z1 z2

Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ)

Ta có

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z 1  z z 2 2a , z 1z2 2avà z , z1 2   c, ci )

Tìm Max, Min của P  z z  0

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Gọi z1a bi , z2  c di, a b c d, , , ,i2  1 Theo giả thiết, ta có

1

|z | 1 a b 1

2 2 2

Ví dụ 2: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1z2  4 3i và z1z2 2, tìm giá trị lớn nhất

của A z1  z2

Lời giải Cách 1:

Gọi z1 a bi,a b, , z2  c di c d, ,   Theo giả thiết ta có

A    a  b  c  d     A  Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 29 Dấu bằng sảy ra khi

 2  2

43

2 2

292

A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax5; Mmin 2.

C Mmax4; Mmin 1 D Mmax4; Mmin 2

Lời giải Cách 1:

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa z  2 Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

thức  z iP

z .

A.3

2.3

Vậy, giá trị nhỏ nhất của Plà1

2, xảy ra khi z 2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng

32

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cách 4: Hình học (các em xem ở phần hình học nha nha nha ^_^)

Ví dụ 9 : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z24 2 z Khẳng định nào sau đây là

2 2 2

Đặt zx iy x y  ,   Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2y2 9

Đặt x3 cos , t y3sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Ví dụ 13: Cho các số phức ,z w thỏa mãn z 2 2i  z4 ,i wiz1 Giá trị nhỏ nhất của

iz Mệnh đề nào sau đây đúng?

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  2 2

24

Ví dụ 17: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 4 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của z 2 i Tính giá trị của tổng 2 2

A S82 B S34 C S68 D S36

Lời giải Cách 1: (Phương pháp đại số)

Công cụ cơ bản: z1  z2  z1z2  z1  z , với mọi số phức 2 z , 1 z Áp dụng, ta có: 2

A P4 B P 2 2 C P2 D P 2 2.

Lời giải Cách 1:

Từ giả thiết có a2b21b2  1 a2 0 với a  1; 1 và z z 1

Ta có z3 z 2  z2 z1 22

z z

22

21;13

z z  cos 3x i sin 3x  cosx i sinx2

cos 3 cos 2 sin 3 sin 

cos 3 cos 2 2 sin 3 sin 2

21;13

Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min

Ví dụ 20: Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn 2z i  2iz , biết z1z2 1 Tính giá trị của

2 2

x y   z   z  z + Sử dụng công thức: z z1, 2  ta có 2 2  2 2

Mặt khác

 4x8y8 2 4x8y722 5.80 4x8y8 2 4x8y7220Suy ra P20

410

Dấu bằng xảy ra khi

252

z

1ax

Ví dụ 27 : Cho số phức zx yi với x y là các số thực không âm thỏa mãn, 3 1

P z z i z z z i z i Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất ,

và giá trị nhỏ nhất của P Môđun của M mi là

Từ bảng biến thiên ta thấy max 3 5 1 5

Ví dụ 29: Trong các số phức z thỏa mãn 2zz  z i Tìm số phức có phần thực không âm

sao cho 1

z đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Điều kiện: z 4 Gọi z a bi a, b,a0 thì z a bi

a

a a

z z

z z

Ví dụ 35: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

P z i z i

Lời giải

Gọi z x yi, ;x y  

Ta có  2 2  2 2 2 2

z   x  y   x y  x y  x  * Lại có

Gọi z x yi, x y   , 

Ta có z 2 2i 2 x22y22 2

Lại có P z  1 i z 5 2i  x12y12  x52y22

Hàm số nghịch biến trên 5;5, suy ra

P đạt giá trị lớn nhất khi x  5, khi đó P 34

P đạt giá trị nhỏ nhất khi x 5, khi đó P 16

BẤM MÁY TÍNH

Dùng máy tính Casio 580VNX để tìm GTLN-GTNN của P

Bước 1:

Bấm Menu 8 (Bảng giá trị ) Nhập biểu thức 3 29 4 x 109 12 x=

Nhìn vào bảng giá trị ta thấy

P đạt giá trị lớn nhất khi x  5, khi đó P 34

P đạt giá trị nhỏ nhất khi x 5, khi đó P 16

Vậy giá trị lớn nhất của P là 34 và giá trị nhỏ nhất của P là 16

Vậy số phức z thỏa mãn bài toán là z  , từ đó ta có 1 i z   1 i 2

Ví dụ 40: Cho số phức z thỏa mãn (z2)i 1 (z2)i  Gọi 1 6 M m lần lượt là giá trị lớn ,

     Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 41: Cho số phức z thỏa mãn z  2 i z 4 7i 6 2 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn ,

nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z  Giá trị của tổng 1 i SM m là

kết quả của bài toán

Ví dụ 42: Cho số phức z thoả mãn z 1 Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

BÀI TẬP RÈN LUYỆN – CÓ ĐÁP ÁN Câu 1: (Max min số phức - D01 - LVH) Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn

z  i z i là đường thẳng có phương trình là

A x3y 1 0 B x3y 1 0 C x2y20 D x2y 2 0 Câu 2: (Max min số phức - D01 - LVH) Biết rằng z là số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn

Tính giá trị nhỏ nhất của z

z

2

1

Câu 6: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho các số phức z13i, z2   1 3i, z3m2i Tập

giá trị tham số m để số phức z3 có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là

A  5; 5 B  ; 5  5; C   5; 5

  D  5; 5

Câu 7: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho hai số phức z1,z2 khác 0 thỏa mãn z1z2 2021

và z1ki z ,2 k   Đặt P z1  z2 , tìm tất cả các giá trị của kđể P đạt giá trị lớn nhất

1

k k

Câu 13: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa mãn z  1 i z 1 2i Biết

modul của số phức w3 4 i z  5 10i đạt giá trị nhỏ nhất bằng a b

c , với a b c, , là các

số nguyên dương và b là số nguyên tố Khi đó tổng a2b3c bằng

Câu 14: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa z 2 2i  17 Gọi M, m lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z  2 i 2 z  6 3i Tính M m

Câu 18: (Max min số phức - D01 - LVH) Giả sử z là số phức thỏa mãn iz   Giá trị lớn 2 i 3

nhất của biểu thức 2z  4 i z 5 8i bằng

Câu 19: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức zabi (a , b  ) thỏa mãn z 1 Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức A z22z2

Câu 26: (Max min số phức - D01 - LVH) )Cho z và w là các số phức thỏa mãn các điều kiện

Câu 34: (Max min số phức - D01 - LVH) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z3i  z 2 i.

Câu 35: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa mãn z3 z38 Gọi M, m

lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z. Khi đó M m bằng

Câu 36: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt 2

2

z i A

iz





 Mệnh đề nào sau đây đúng?

M và giá trị nhỏ nhất Mmin của biểu thức M z2 z 1 z31

A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax 5; Mmin 2

C Mmax 4; Mmin 1 D Mmax4; Mmin 2

Câu 39: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa z  2

Tìm tích của giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của biểu thức z i

P z



A 3

Câu 42: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa mãn 1i z  6 2i  10 Tìm

Câu 46: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho 2018 phức z thoả mãn z 3 4i  5 Gọi M và

m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z22 z i 2 Tính môđun của 2018 phức wM mi

A maxT 8 2 B maxT 4 C maxT 4 2 D maxT  8

Câu 49: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa mãn z  2 3i  5 Gọi m , M lần

lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P zi2 z22 Tính Am M

A A  3 B A  2 C A 5 D A 10

Câu 50: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho các số phức z thỏa mãn z3 z i Tìm giá trị

nhỏ nhất của P z

Câu 55: (Max min số phức - D01 - LVH) Xét số phức z thỏa mãn 2z 1 3z i 2 2 Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

Câu 61: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho các số phức z , w thỏa mãn z 5 3i 3,

Câu 68: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức

Câu 69: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa mãn z  2 3i  5 Gọi m , M lần

lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P zi2 z22 Tính AmM

Câu 72: (Max min số phức - D01 - LVH) Gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z 1, 2

thỏa mãn z 1 2 5, z 2 5 Biết MON 120, giá trị của z12z22 bằng

A 2

3

Câu 77: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi M và 1 m lần lượt là

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z2 z 1 Giá trị của M m

Câu 78: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức zabi a b   Biết tập hợp các điểm , 

A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn  C có tâm I4;3 và bán kính R  Đặt 3

M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F 4a3b1 Tính giá trị Mm

zw Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  w

A maxT  176 B maxT 14 C maxT 4 D maxT  106

Câu 81: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thoả mãn z  3 4i  5 và biểu thức

Câu 84: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z24 2z Khẳng

định nào sau đây là đúng?

Câu 85: (Max min số phức - D01 - LVH) Gọi zx yi x y  ,   là số phức thỏa mãn hai điều

Câu 86: (Max min số phức - D01 - LVH) Xét các số phức zabi ( a , b   ) có môđun bằng 2

và phần ảo dương Tính giá trị biểu thức S 5a b 22018 khi biểu thức



max

2 57



max

9 510



max

7 510

Câu 91: (Max min số phức - D01 - LVH) Cho số phức z thỏa z 1 Gọi m , M lần lượt là giá trị

nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P z5z36z 2z41 Tính M m

A m   , 4 n  3 B m 4, n  3 C m   , 4 n 4 D m 4, n   4

Câu 92: (Max min số phức - D01 - LVH)Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  Tìm môđun lớn 3

nhất của số phức z2 i

A 26 6 17  B 26 6 17  C 26 8 17  D 26 4 17 

Câu 93: (Max min số phức - D01 - LVH) Gọi zx yi x y  ,   là số phức thỏa mãn hai điều

Câu 96: (Max min số phức - D01 - LVH) Xét các số phức z thỏa mãn z  1 2 Gọi M m, lần

lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z2 2 3z Tổng M m

Câu 100: (Max min số phức - D01 - LVH)Xét hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 2.z1i  z1z12i

và z2  i 10  1 Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z z   a bc a b c Tổng giá trị a b c  bằng

BẢNG ĐÁP ÁN

11.C 12.C 13.A 14.D 15.A 16.B 17.D 18.D 19.D 20.A 21.B 22.C 23.C 24.B 25.B 26.C 27.B 28.D 29.A 30.C 31.D 32.C 33.D 34.C 35.B 36.A 37.C 38.A 39.A 40.D 41.A 42.B 43.C 44.C 45.A 46.B 47.A 48.B 49.B 50.C 51.B 52.B 53.A 54.A 55.C 56.D 57.D 58.A 59.D 60.A 61.D 62.C 63.D 64.A 65.B 66.C 67.C 68.A 69.B 70.B 71.C 72.B 73.D 74.D 75.A 76.B 77.A 78.B 79.C 80.D 81.B 82.D 83.A 84.B 85.D 86.D 87.A 88.B 89.C 90.C 91.A 92.A 93.D 94.B 95.B 96.D 97.C 98.C 99.A 100.A

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng

Giả sử zx yi x y  ,  

2 2 0

Ví dụ 3 : Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z2i1  z i Tìm số phức 

z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A1, 3

A.3  i B.1 3 i C.2 3 i D. 2 3i

Lời giải

Gọi M x y ,  là điểm biểu diễn số phức z x yi x y R ,  

Gọi E1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1 2 i

Gọi F0, 1  là điểm biểu diễn số phức i

Ta có : z2i1 z i ME MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường

Cách 1: Đặt za bi a b  ,  , khi đó z 2 2ia 2 b2i và z4iab4i Nên ta có  2  2 2  2

 ; 

M x y Khi đó, PME MF Bài toán trở thành tìm điểm M : 8x6y25 0 sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất

Vì 8x E8y E25 8  x F 8y F 250 nên hai điểm E F nằm cùng phía đối với đường ,thẳng 

Gọi E là điểm đối xứng với E qua 

Đường thẳngEE đi qua điểm  E1; 1  và có VTPT    3; 4 

EE

n u nên có phương trình

3 x1 4 y1 03x4y70 Gọi H là giao điểm của EE và  Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 

Ta có ME + MF = ME + MF E F Dấu bằng xảy ra M là giao điểm của  E F và đường thẳng 

Đường thẳng E F đi qua điểm F2; 3  và có VTPT   31;167

210

Ví dụ 7: Gọi z z1, 2 là 2 nghiệm của phương trình z 1 2i  z 1 2i thỏa mãn z1z2  2

Biết rằng w là số phức thỏa mãn w 3 2  i 2 Tìm GTNN của biểu thức P wz1  wz 2

phứcw , ta ców 3 2  i 2(a3)2(b2)2 4suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm

3; 2

I bán kính R2

Ta có PMA MB , gọi  E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ

nhất khi E là trung điểm AB suy ra 6

Ví dụ 8: Cho hai số phức z, thỏa mãn z1  z 3 2i ;    z m i với  m  là tham số

Giá trị của m để ta luôn có  2 5 là:

37

 min

-2 -1 -3 -2 -1 O 1 2 3

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên 

Vì z OM nên z nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên   M trùng H

 x12y12  x22y12  6x4y  3 0

Cách 1:

Do đó, tập hợp điểm M là đường thẳng : 6 x4y  , (thỏa mãn điều kiện:3 0 M  A2;1)

Dễ thấy A không phải là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng 

Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn z2i  z 4 2i và biểu thức P z 2 2i  z 2 i

Biết P đạt giá trị nhỏ nhất khi z x yi,x y,   Tính giá trị của S xy

2; 1

Dễ thấy ,A B nằm cùng phía so với đường thẳng :xy 4 0 (hình vẽ)

Δ: x + y 4 = 0 I

M

A' A

B

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua  : AA:x  y 4 0 Gọi IAA  I0; 4 Suy ra A2; 6

Với mọi điểm M   ta có: MAMBMAMBA B Suy ra MA MB min A B Dấu "" xảy ra khi MA B' mà M   suy ra

x y

Ví dụ 15 : Trong các số phức zthỏa mãn các điều kiện 1 2 11 2

5

i

z  i  z  và z 3 4i 1, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

Từ  1 , ta có M thuộc đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB Phương trình

đường thẳng d đi qua trung điểm 3; 4