(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán tìm min, max của môđun số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1 *Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock; ** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMFont Times New Roman,

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1

(*Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock;

** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN TÌM MIN, MAX CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

(Font Times New Roman, cỡ 16-18, CapsLock, đậm)

Người thực hiện: Vũ Đoàn Kết Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

(Font Times New Roman, cỡ 15, đậm, đứng; mục Đơn vị công tác chỉ ghi

đối với các SKKN thuộc các bậc MN, cấp TH và THCS, các cấp/bậc khác

không ghi)

THANH HOÁ NĂM 2022

2

giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Từ năm 2017 đến nay, đã có 5 năm môn Toán được Bộ Giáo dục vàĐào tạo tổ chức thi THPT Quốc gia và thi Tốt nghiệp THPT bằng hình thứctrắc nghiệm Trong 5 năm qua, thầy và trò trên cả nước đã dần làm quen vàthích nghi với đề thi trắc nghiệm môn Toán Trong quá trình học tập và giảngdạy, các thầy cô và các em học sinh đã gặp rất nhiều khó khăn khi gặp phảinhiều bài toán trắc nghiệm hay, lạ và khó, đa dạng về hình thức, phong phú

về nội dung, khai thác sâu nhiều khía cạnh của toán học phổ thông Một trongnhững bài toán khó xuất hiện gần đây là bài toán về tìm min, max của môđun

số phức, bài toán này có vai trò như bài bất đẳng thức trong đề thi tự luậntrước đây Rất hứng thú và yêu thích những bài toán này, vì vậy hôm nay tôi

xin trao đổi cùng đồng nghiệp qua đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải

bài toán tìm min, max của môđun số phức bằng phương pháp hình học”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm tòi và đúc rút kinh nghiệmhướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán tìm min, max của môđun số phứctrong các đề thi chính thức của Bộ Giáo dục và đào tạo cũng như trong các đềthi thử của các Sở Giáo dục và các trường THPT trên cả nước

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài tập trung vào nghiên cứu các dạng toán và lời giải một số bàitoán về tìm min, max của môđun số phức

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi chủ yếu sử dụng phương phápkhảo sát thực tế, thu thập thông tin và phương pháp thống kê, xử lý số liệu

Cụ thể các bước nghiên cứu được tiến hành như sau:

Bước 1: Tìm hiểu, thu thập thông tin về các bài toán tìm min, max củamôđun số phức có trong các đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng như các

đề thi thử của các Sở Giáo dục và của các trường THPT trên toàn quốc

Bước 2: Hướng dẫn cho học sinh các phương pháp giải

Bước 3: Xây dựng nguồn đề và cho học sinh lớp 12 luyện tập

Bước 4: Tổ chức thực nghiệm và kết luận về tính hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Khái niệm “số phức” và “môđun của số phức” đã được học trongchương trình Đại số và Giải tích lớp 12, vì vậy các em học sinh lớp 12 có thểtính được môđun của một số phức, và cũng đã hiểu được môđun của số phứcchính là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức đó trong hệtrục tọa độ

Bên cạnh đó, kiến thức về hệ trục tọa độ Oxy , về véc tơ, về phương

trình đường thẳng, đường tròn, Elip học sinh cũng đã được trang bị từ lớp 10

Vì vậy về cơ sở lý thuyết, các em học sinh lớp 12 đã có đủ kiến thức căn bản

để giải các bài toán về tìm min, max của môđun số phức bằng phương pháp

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi khảo sát học sinh lớp 12 về môđun số phức và các bài toán liênquan thì kết quả thu được rất đáng báo động Nhiều em không hiểu khái niệmmôđun của số phức, nhầm lẫn giữa môđun và trị tuyệt đối, và hầu hết gặp khókhăn khi giải các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao về tìm min,max của môđun số phức

Kết quả khảo sát 42 học sinh lớp 12B1 và 44 học sinh lớp 12 B9trường THPT Triệu Sơn 1 như sau:

Nội dung câu hỏi

Số học sinh trả lời đúng

Qua đây cho thấy việc hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập lại lý thuyết

và luyện tập kỹ năng giải các bài toán về tìm min, max của môđun số phức làhết sức cần thiết và cấp bách Chính vì vậy tôi đã đề xuất với tổ chuyên môn

và bản thân là người tiên phong trong việc biên soạn và sưu tầm một số dạngtoán về tìm min, max của môđun số phức bằng phương pháp hình học đểgiảng dạy cho học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp trung học phổ thông

2.3 Các sáng kiến đã áp dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hướng dẫn học sinh ôn lại những kiến thức về môđun số phức.

*> Khái niệm môđun của số phức

Môđun của số phức z a bi  ( ,a b R ) là số thực không âm a2 b2 và

được kí hiệu là z [1]

Cho số phức z a bi  , ta có điểm biểu diễn số phức đã cho là M a b( ; ).

Min Min

là chân đường cao hạ từ O xuống đường thẳng 

Dạng 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di , tìm z Min

Cách giải: Ta biến đổi đưa về dạng 1.

Ta có z a bi   z c di  z a bi   z c di .

Dạng 3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi  iz c di  tìm z Min

Cách giải: Ta biến đổi đưa về dạng 1.

- Bước 2: Suy ra z m ni  Min d I AB ,  với I m n , khi đó  ;  M là hình

chiếu của I m n lên đường thẳng  ;  

Dạng 5: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di . Tìm giá trị

+) Nếu C m n D p q ; ,  ;  nằm cùng phía so với  thì ta lấy 'C đối xứng với

C qua , lúc này ta có: S MC MD MC   'MD C D '  Smin C D' khi

đó M sẽ là giao điểm của đường thẳng  và đoạn thẳng ' C D

Ví dụ 1 Cho số phức z thoả mãn z 2 3 i  z i Tìm giá trị nhỏ nhất của

Khi đó z 2 3 i  z i  x 2  y3i  x  y 1i

x 22  y 32 x2  y 12 x 2y 3 0

Do đó tập hợp điểm biểu diễn của z là đường thẳng : x 2y 3 0

Ta có min z dO, Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với 

D

310



Bài 2 Cho số phức z thỏa mãn : z  z 2i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 5 Cho số phức z thỏa mãn z z  z z 4 Gọi M, m lần lượt là giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2 i Đặt A M m  Mệnh đề nào

Từ z a bi  R ta có quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường

tròn ( )C có tâm I a b ;  và bán kính R Với O0;0 là gốc tọa độ.

Min Min

Min Min

Dạng 4 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi  R.Tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất của z hoặc của z m ni 

Cách giải: Biến đổi đưa về Dạng 1, Dạng 2 như sau:

Dạng 5 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện c di z a bi    R

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z hoặc của z m ni 

Cách giải: Biến đổi đưa về Dạng 1, Dạng 2 như sau:

Đến đây ta áp dụng cách giải của Dạng 1, Dạng 2

Ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn z 1 2i  5 Giá trị lớn nhất của1

z i bằng

A 5 B 5 2 C 20 D 2 5

Lời giải

Đặt z x yi x y R  , ,   thì từ điều kiện ta có: x 12  y22  5

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn cho z và A   1; 1 là điểm biểu diễn cho số

phức 1 i  , khi đó z  1 i AM với M thuộc đường tròn  C tâm

1; 2

Dễ thấy A C , do đó AM 2R2 5

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 2 i 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

z i

A 5 2 B 5 1  C 5 1  D 5 2 Lời giải: Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn hình học của số phức z

Từ giả thiết z 2 2 i 1 ta được: x 2  y 2i 1

Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn z 2 4 i  5 Gọi a và b lần lượt là giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức a2  b2 bằng

A 40 B 4 5 C 20 D 2 5

Lời giải: Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z x yi  với x y R, 

Ta có z 2 4 i  5  x 22y 42   tập hợp điểm biểu diễn số5

phức z là đường tròn có tâm I2;4 và bán kính R  5.

Kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm O và I cắt đường tròn tại 2 điểm M và N

như hình vẽ Ta có OI  22 42 2 5; IM IN R  5

Từ hình vẽ ta thấy zmin OM OI IM  2 5 5 5 b

Lời giải: Gọi M a b ;  là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo giả thiết ta có: z 4 3 i  5  a 42 b 32   Tập hợp5

điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I4;3 bán kính R  5

Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn  C còn điểm B nằm ngoài đường

tròn  C , mà MA MB AB   17 Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm

của đoạn AB với  C .

P a b khi z 1 6i  z 7 2 i đạt giá trị lớn nhất.

A P  B 3 P  C 3 P 1 D P  7Bài 3 Cho các số phức z z z thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau:, ,1 2





Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z Khoảng cách nhỏ

nhất giữa hai điểm M và I  3;4 (khi a thay đổi) là

5

i

 

và 5w2i z   4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2i  z 6 2 i

A 7 B 2 53 C 2 58 D 4 13

2.3.2.3 Bài toán 3: Giả thiết cho quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường

Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2 ,a a c   Tìmgiá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z

Min Min

Cách giải: Từ giả thiết ta suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một

Elip có phương trình không chính tắc Vì vậy ta phải thực hiện phép biến đổi

để đưa phương trình Elip về dạng chính tắc

1 2 0

22

z  lớn nhất Tính S  x y

A S  11 B S  5 C S  D 3 S  5

Oxy

Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z  6 0i là A6;0; z a bi  là

, F2 5 ;0

, vì 5 3 nên tập hợp các điểm M biểu

diễn số

phức z thuộc elip có

2 2 2

3

45

a

b a c c

Đường thẳng d song song với  có dạng d: 5x 4y c 0, c 20.

d tiếp xúc với  E khi và chỉ khi

2a 2 3, độ dài trục nhỏ 2b  và phương trình chính tắc của 2  E là

 x2 3 3 3  x2 2y32  y 3 1 

(Bất đẳng thức tamgiác)

3 3

x y

y x

Bài 1 Cho số phức z x yi x y R  ,   thỏa mãn z 2 i  z 4 i 10.Tìm tổng giá tị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

Bài 4 Cho hai số phức z và w x yi  thỏa mãn z 5  z 5 6;

đa dạng hơn

Về phía học sinh nhất là các em học sinh khá giỏi, thì đa số các em rấthứng thú với chuyên đề này; vì đây là một nội dung khó và được đề cập rất íttrong sách giáo khoa nhưng lại xuất hiện nhiều trong các đề thi thử và đề thichính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo

Sau khi áp dụng đề tài này cho 86 học sinh lớp thực nghiệm 12B1,12B9, tôi đã cho các em làm một bài kiểm tra 90 phút với 30 câu về các dạngtoán đã đề cập đến trong đề tài với cấu trúc mức độ đề là 5-3-2-1 thang điểm

10 thì kết quả thu được như sau:

Mức điểm đạt được Số lượng học sinh đạt được Phần trăm

Sau 4 lần nhà trường tổ chức khảo sát thì điểm môn Toán của lớp 12B1,12B9 như sau:

3.2- Kiến nghị.

Trên đây là sáng kiến của tôi đã áp dụng cho lớp chủ nhiệm 12B1, 12B9của trường THPT Triệu Sơn 1 trong năm học 2021-2022 và bước đầu đã cókết quả rất khả quan, rất mong được sự quan tâm của đồng nghiệp

Rất mong các cấp lãnh đạo của nhà trường, của ngành tổ chức thêm cácbuổi chuyên đề để giáo viên trao đổi về các phương pháp giảng dạy hay nhằmnâng cao chất lượng giáo dục học sinh trong thời gian tới

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Người viết

Vũ Đoàn Kết

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]- Đại số và Giải tích lớp 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

[2]- Đại số và Giải tích lớp 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

[3]- Đại số lớp 10 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

[4], [5]- Nguồn đề thi của Bộ GD&ĐT.

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Vũ Đoàn Kết

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán– trường THPT Triệu Sơn 1

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại

khi học giới hạn và đạohàm

Sở GD&ĐT

lớp 10 khi học phương pháptọa độ phẳng

sử dụng đồ thị hoặc bảngbiến thiên để giải bài toán

về nghiệm của phương trìnhchứa hàm số hợp