Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN... Mệnh đề nào sau đây đúng?. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A.
Trang 1Chuyên đề ⑮
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN
Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Ghi nhớ➊
Phương pháp đổi biến số:
Để tính tích phân
( )d
b
a
I =òf x x
nếu , ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau:
• Bước 1 Đặt t u x= ( )Þ dt u x x= ¢( )d
• Bước 2 Đổi cận:
• Bước 3 Thay vào, ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
u a
u a
I =òg t t G t=
• Dấu hiệu nhận biết và cách đổi biến
☞ Đặt
☞ Đặt
④ Có hoặc biểu thức chứa
☞ Đặt
⑤ Có hoặc biểu thức chứa
☞ Đặt
☞ Đặt
☞ Đặt
☞ Đặt
Trang 2Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
☞ Đặt
Ghi nhớ ❷
• Phương pháp từng phần:
Cho hai hàm số và liên tục trên và có đạo hàm liên tục trên
Khi đó:
a
Một số tích phân các hàm số dễ phát hiện và dv
b a
b a
b a
P x l xdx
∫
Ghi nhớ: đặt theo quy tắc nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ
Câu 1. Tính tích phân
3 0 cos sin d
π
=∫
A
4 1 4
I = − π
B
4
I = −π
C I =0
D
1 4
I = −
Lời giải
Chọn C
Trang 3Ta có:
3 0 cos sin
π
=∫
Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx⇔ − =dt sinxdx
Đổi cận: Với x= ⇒ =0 t 1
; với x= ⇒ = −π t 1
Vậy
( )
1 1
0
t
I t dt t dt
−
−
= −∫ =∫ = = − =
Cách khác : Bấm máy tính
4
0 ( ) =16
∫ f x dx
Tính
2
0 (2 )
=∫
A I =32
B I =8
C I =16
D I =4
Lời giải
Chọn B
Đặt
2x =dx 2
dt
t= ⇒
Đổi cận x= ⇒ =0 t 2
; x= ⇒ =2 t 4
Khi đó ta có
2
0
I =∫ f x dx= ∫ f t dt= ∫ f x dx=
Câu 3. Tính tích phân
2 2 1
I =∫ x x − dx
bằng cách đặt
2 1
u x= −
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A
3
0 2
I = ∫ udu
B
2 1
I =∫ udu
C
3
0
I =∫ udu
D
2 1
1 2
I = ∫ udu
Lời giải
Chọn C
2 2 1
I =∫ x x − dx
;đặt
u x= − ⇒du= xdx
Đổi cận x= ⇒ =1 u 0
;x= ⇒ =2 u 3
Nên
3
0
I =∫ udu
Trang 4Câu 4. Cho
=
∫6 0 ( ) 12
f x dx
Tính
=∫2 0 (3 )
I f x dx
A I =6
B I =36
C I =2
D I =4
Lời giải
Chọn D
Ta có:
=∫2 = ∫2 = ∫ = =
6
(3 ) (3 ) 3 ( ) 12 4
I f x dx f x d x f t dt
2
2
0
x
xe dx
∫
, nếu đặt
2
=
u x
thì
2
2
0
x
xe dx
∫
bằng
A
2
0
2 e d∫ u u
4
0
2 e d∫ u u
2
0
1
e d
2∫ u u
4
0
1
e d
2∫ u u
Lời giải Chọn D
Đặt
2
u x u x x x x u
Đổi cận
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy
2
1
e d e d
2
=
Câu 6. Tính tích phân 1
ln
e
I =∫x xdx
:
A
1 2
I =
B
2 2 2
e
I = −
C
2 1 4
e
I = +
D
2 1 4
e
I = −
Lời giải
Chọn C
Trang 51 ln
e
I =∫x xdx
Đặt
2
1 ln
2
=
=
du dx
dv xdx x
v
x
+
Câu 7. Biết
4
2 3
d
ln 2 ln 3 ln 5,
x
+
∫
với a b c, , là các số nguyên Tính S a b c= + +
A S =6
C S = −2
D S =0
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
x x= x x = −x x
Khi đó:
2
4
d ln ln( 1) (ln 4 ln 5) (ln 3 ln 4)
3 1
4ln 2 ln 3 ln 5
x
Suy ra: a=4,b= −1,c= −1.
Vậy S =2
1
2 ln d
e
x x x ae be c
∫
với a b c, , là các số hữu tỉ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A a b+ = −c
B a b+ =c
C a b− =c
D a b− = −c
Lời giải Chọn C
Ta có
1
với 1
ln d
e
I =∫x x x
Trang 6Đặt
ln
v x x
=
=
2
1
2
x x v
=
⇒
=
1
e
2
1
1
e
e
1
; 2 4 7 4
c
= =
⇒
= −
⇒ − =a b c
1
2 0
d
ln 2 ln 3
+
∫ x x a b c x
với a, b, c là các số hữu tỷ Giá trị của 3a b c+ +
bằng
A −2
Lời giải Chọn B
2 2
d
2
+ −
+
∫ x x ∫ x x ∫ x ∫ x
x
1 1 1
0
0
ln 2 2 ln 3 ln 2 1 ln 2 ln 3
−
+
−
x x
Vậy
1
3
= − = − = ⇒ + + = −
2 2 1
I =∫ x x − dx
và
2 1
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A
3
0
2 3
I = u u
2 27 3
I =
3
0
I =∫ u ud
2
1
I =∫ u ud
Lời giải
Ta có : du=2 x dx
Trang 7
Đổi cận : x= ⇒ =1 u 0
; x= ⇒ =2 u 3
3
0
I =∫ u du = 23u u 30 2 27
3
=
2 3
=
Câu 11. Tính
3 2 2
d 1
x
x
=
−
∫
A K =ln 2
1 8 ln
2 3
K =
C K =2 ln 2
8
ln 3
K =
Lời giải
3 2 2
d 1
x
x
=
−
2 2
1 1
2 x 1 x
−
ln 1
2
2 x
= − 1ln8
2 3
=
Câu 12. Tích phân
1
2 3
0
5
I =∫x x + dx
có giá trị là
A
4 10
3 − 9
B
4 10
3 − 9
C
4 10
3 − 9
D
2 10
3 − 9
Lời giải : Chọn A
1
0
Câu 13. Biết f x( )
là hàm liên tục trên ¡
và
( )
9 0
d 9
f x x=
∫
Khi đó giá trị của
4 1
3 3 d
f x− x
∫
là
A 0 B 27 C 3 D 24
Lời giải
Đặt u=3x−3
, suy ra du=3dx
Đổi cận: x=1
thì u=0
; x=4
thì u=9
Ta có:
f x− x= f u u= f u u= f x x= =
Trang 8
Vậy
4
1
3 3 d 3
f x− x=
∫
Câu 14. Cho F x( )
là một nguyên hàm của hàm số
( ) ln x
f x
x
= Tính F( )e −F( )1
A I =e
1 2
I = C I =1
1 e
I =
Lời giải Chọn B
Ta có
( ) ( ) e e ( ) 2
e
1
x
x
4 3
I =∫x x − dx
Bằng cách đặt
4
4 3
u= x −
Khi đó I bằng
A
5 1
4∫u du
5 1
12∫u du
5
u du
∫
5 1
16∫u du
Lời giải Chọn D
Đặt
16
u= x − ⇒du= x dx⇒x dx= du
Suy ra:
5 1 16
I = ∫u du
Câu 16. Cho tích phân
1 3 0
1 d
I =∫ −x x
Với cách đặt
31 d
t= −x x
ta được
A
1 3 0
3 d
1 2 0
3 d
1 3 0
d
I =∫t t
1
0
3 d
I = ∫t t
Lời giải
Đặt
t= −x x⇒ = − ⇒t x t t= −dx
Đối cận: x= ⇒ =0 t 1;x= ⇒ =1 t 0
Lúc đó:
.3 d 3 d
I = −∫t t t = ∫t t
Trang 9
Câu 17. Tích phân
e
1
ln d
x x x
∫
bằng
A
1 2
2
e 1 2
−
2
e 1 2
+
1 2
−
Lời giải
Ta có
∫ x x ∫ x x x x
Câu 18. Biết rằng
( )
2 1 2 0
d 2
xe + x= e −e
∫
với
, ,
Giá trị của a b c+ +
bằng
A 4
Lời giải
Ta có:
1
0
xe + x= e + x + = e + = e −e
Nên a=1
, b=3
, c=2
Vậy a b c+ + =6
Câu 19. Cho
1
2
1 d 3
f x x
−
− + = −
∫
Giá trị của
1
0
d 1
f x− x
∫
bằng
A −2
3 2
−
Lời giải Chọn B
Ta có tích phân không phụ thuộc vào biến số nên
+ = − ⇒ + = −
Đặt: x− = + ⇒1 t 1 dx dt=
Đổi cận:
= ⇒ = −
= ⇒ = −
Trang 10Khi đó
−
−
( )
5
1
d 26
I =∫ f x x=
.Khi đó
( )
2
2
0
1 1 d
J =∫x f x + + x
bằng
A 13 B 52 C 54 D 15
Lời giải
Chọn D
Ta có:
J =∫x f x + + x=∫xf x + x+∫x x= +A
Xét
( )
2 2
0
1 d
A=∫xf x + x
Đặt
2
t=x + ⇒ =t x x⇒x x= t⇒ =A ∫ f t t= ∫ f x x= ⇒ =J
3
2 1
ln
d ln 3 ln 2 1
b
+
∫
với a b c, , ∈¥*
và phân số
a b
tối giản Giá trị của
a b c+ +
bằng
Lời giải
Chọn A
Đặt
d
d
1 1
x
x x
v x
=
+ = − + =
Ta có ( )
3
3
1
d ln ln 3 ln 1 ln 3 ln 4 ln 2 ln 3 ln 2
1
+
3
4 1
a b c
=
=
=
a b c+ + =8
Trang 11Câu 22. Tích phân
1
2 0
2 e dx
x− x
∫
bằng
A
2
5 3e
4
− −
B
2
5 3e
4
−
C
2
5 3e
2
−
D
2
5 3e
4 +
Lời giải
Đặt
2 2
d d 2
1 e
d e d
2
x x
u x
u x
v
=
= −
⇒
Suy ra
0
0
x
−
= − + − = − + − + = − + =
Câu 23. Cho
( )
2 1
f x x= −
∫
và
( )
3 2
d 4
f x x=
∫
Khi đó
( )
3 1 d
f x x
∫
bằng
Lời giải
( )
3
1
d
f x x
∫ 2 ( ) 3 ( )
f x x f x x
=∫ +∫ = − +3 4=1
Câu 24. Cho hàm số f x( )
liên tục trên ¡
và
( )
6
0
10 d
f x x=
∫
, thì
( )
3
0
2 d
∫
bằng
A 30 B 20 C 10 D 5
Lời giải Chọn D
Đặt t=2x→dt=2dx
Đổi cận
= → =
= → =
Trang 12
Khi đó
Câu 25. Cho hàm số y= f x( )
liên tục trên tập ¡
và
( )
5 3
d 12
f x x=
∫
Giá trị tích phân
2
1
2 1 d
I =∫ f x+ x
bằng
A 8 B 12 C 4 D 6
Lời giải
Xét
2
1
2 1 d
I =∫ f x+ x
đặt
1
2
t= x+ ⇒ x= t
, đổi cận x= ⇒ =1 t 3
, x= ⇒ =2 t 5
Vậy
t
I =∫ f t = ∫ f t t= ∫ f x x=