Các dạng toán cơ bản và nâng cao lượng giác 11 (bài tập tự luận và trắc nghiệm) phần 1

Vài dòng mở đầu Chương trình “Dại số uà giải tích” lớp 11 gồm hai phan: Phan 1.. Hàm số lượng giác - Phương trình uà hệ phương trình lượng giác.. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.. Tập s

LÊ HẢI CHÂU

LE HAI CHAU

Cac dang toan

co ban & nang cao

LUGNG GIAC 11

BAI TAP TU LUAN VA TRAC NGHIEM

Vài dòng mở đầu

Chương trình “Dại số uà giải tích” lớp 11 gồm hai phan:

Phan 1 Hàm số lượng giác - Phương trình uà hệ phương

trình lượng giác

Phân 3 Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Giới hạn, hàm số

mu va ham sé légarit

Tập sách “Cac dang todn co ban uà nâng cao” lớp 11 được

biên soạn thành hai cuốn:

- Lượng giác lop 11

c) Gợi ý phương pháp giải - Giải

d) Bài toán tự giải (chỉ có dap số)

e) Bài tập trắc nghiệm

Ngoài ra cuối một số dạng toán còn có mục “Bạn có biết?” gồm những mẩu chuyện toán học uừa nâng cao hiểu biết, mở rộng tầm mắt, uừa có tính chất giải trí

Hì uọng, cũng như cuốn “Các dạng toán cơ bản uà nông cao”,

bồi dưỡng đạt số lớp 10 đã xuất bản, cuốn sách này sẽ giúp ích

thiết thực cho đông đảo các em học sinh (uà cả các bậc phụ

huynh) để nâng cao trình độ toán học của mình uươn lên học giỏi môn Toán

LÊ HẢI CHÂU

Dạng toan I

CAC HAM SO LUONG GIAC

A KIEN THUG CAN NAM VONG

Góc và cung lượng giác

1) Dé do cae géc ta dung don tị “độ”:

Nếu ư = 1 thì / = R: Cung cé sé đo 1 radian là cung có độ đài

bằng bán kính của đường tròn mang cung đó.,

3) Góc bà cung lượng giác

Với hai tỉa Ox, Oy cho trước có vô số góc lượng giác cùng kí hiệu

3) Dường tròn lượng giác

1ó là đường tròn định hướng có bán kính bằng đơn vị độ dài (R = 1).

Muốn biểu diễn cung ơ trên đường tròn lượng giác chỉ căn xúc định điểm ngọn của cung này Nếu œ là một số thực cho trước thì

Truc tung còn gọi là (rực sin, trục hoành còn gọi 1a truc cosin

Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt như sau:

cos” a

1

sin? a 1+cot? a=

tana.cota = 1

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

1) Cung doi nhau: ava (-@

3) Cung hơn kém mœ ava (a+ n)

sin(a + n) =— sina cos(a + m) =— cosa tan(a + 7m) = tana

Hàm số lượng giác ngược

1) Xét hàm số y = sinx trong đoạn 1 với điều kiện -1<y <1

Trong đoạn này chỉ có một cung duy nhất x = arcsiny ma sin

bằng y Hàm số này gọi là hàm số ngược của hàm số y = sin x

Hàm số y = arcsinx có miền xác định là [ —-1; I] và tập hợp các

giá trị của nó là đoạn I-š3] (đọc là: y là cung có sin bằng x)

Ham số y = arccosx có miễn xác định là | -1; 1] và tập hợp các

giá trị của nó là đoạn [0:z|(đọc là: y là cung có cosin bằng x)

Đồ thị hai hàm số này như sau:

Hàm số y = arccotx có miền xác định là R và tập hợp các giá trị

của nó là đoạn [0:z] (đọc là: y là cung có cotang bằng x)

a) sin (aresinx) = x; cos (arccosx) = x

tan (arctanx) = x; cot (arccotx) =x

B DE BAI

Bai 1 Trong phao binh, mot li gige = ——~ woe day Hor:

6000

a) Mot li gide bang bao nhiéu do, bao nhiéu radian?

h) 1 radian bang may li gidc, mot dé bang mAy li gide?

Bài 2 Xác định dấu của:

a) thy l b) cos(sin 2)

Bai 3 Néu 0<x ae thì đấu của các tích sau là đấu gì:

T, = cos{ +x].sin SE x cot +x)?

2 (2

T; =sin(x + x).cos| a tan(a—x)?

Bài 4 Với giá trị nào của ở thì ta có đẳng thức sau:

Bài 5 Tích sin(1,5x - J).cos(0,5m + [).eot(x +3) với 0<[}< 0,5x

là dương hay âm?

Bài 6 Với giá trị nào của ƒ) thì ta có các đẳng thức sau:

a) sinp= been ~ A088 (mzn, mvà n đều dương)?

2mn

b) sinj I*cosfl 1—cosp 11 no Tacs Dix =f BO v v + cot* 3 2n)9

Bài 7 Rút gọn các bicu thức sau:

sin* a sina + cosa

sinœ-€osœ tan? a@-1

b) N =(1+cosa)(1+ cosP)(1 + cosy) = (1 —cosa)(1 —cosB)( —cos y)

Bai 8 Tinh gid tri cua tong sin! [}+cos'B nếu:

a) sina, cosa, tana néu cot a =- jg “2 Sina > cosa;

b) tan?a+cot”« néu tanu — cota = 3;

a) sina +cosa.cota+sina.tana + cosa =

sin + eosj3- 1+ 2cos? B — 2

sinB-cosB cos” p(tan? 8-1) 1+tanB'

b)

Bai 12 Rut gon:

taal 5 = x), cos(2n — x) sin(x - x)

d)(sinz + tanz) (cosz+ cotz)

Bai 13

: 3đsing cco§ứử v, mua

a) Tinh —— , biết tanu = -7 và -«<d«<m

€oSŒ Ssinest 2

;

b) Tinh sing = voor" u-cos* a biết sinớơ= 0,75 và x« œ< 2n

Bài 14 Chứng minh răng: ˆ

sinh y+eosÌy-l —= 2 b) sin” y ~ tan® Y _ tan? —— —s— =tan”y

a) sin®y+cos'y-1 5 6 3” 3 cos” y ~cot” y

cos(x + p).cos{8 -2}- tan( 5+ p}.cot( 2 +0))

dì Ốc pines - pee joni fags

l+sina Y1-sina }| V1l+cosa Y1-cosa }

Bai 16

‘a) Tinh giá trị của biểu thức:

cos@cot g — SIn (0 tan ợ wah 3

Pe = ae, bist singcos@ =p

sing - €os 0 b) Tính giá trị của biểu thức

Q = tan® p+ cot? ~,biét tang + cose =q

Bai 17

a) Bién ddi hiéu: 1-(sin® ~ + cos® y) thanh một tích

b) Tính tổng sinŠ ọ + cosŠ ọ, biết sin @ + cosọ = m

Bai 18 Chung minh rang trong tam giác DIEF ta có các hệ thức sau a) sin a =m ;

3sin?(2x~ ơ) 7sin d(u -ủ +3=0

b) Tinh tan B biết:

HAM SO LUGNG GIÁC NGƯỢC

Bai 21 Tính giá trị của:

a) cos Sai.” : b) tan | areeos|=Ÿ |

d) cos arecos| Ý2 of)

{ \ 2 2)

T

€) arcsin Ga §

Bai 22 Ching minh rằng:

a) arcsina +arcuosa =— (với~1sơ <1);

NIA pla

b) arctanB + arccot {t=

a) :làm số này xác định trong khoảng nào? Có nhận xét gì nếu thay x= va x.?

b) 2o chu kì của nó cũng là chu kì của sinx nên chỉ cần xét nó troag đoạn [2:3 ua là 2m)

a) Với tan ta có Belen nên tan < 0;

b) Vì -1<sin2<l1 nên - 5% sin2 < 5 d6 cos(sin 2) > 0

Bài 3

Với 0<x<5 thì:

e cos{ Z+ x} <0,sin{ 2 x) <O,eot6n +x) »0,do dé T, >0;

° n<ntxcon nén sin(n +x) <0, Sx<Sm4x<On nén

cos(n +x) >0,F<n-x<n nên tan(x~— x)<0, do đó T; >0

Bài 4

a) Ta có đẳng thức sinơ =-V1-cos°œ, dow1-cos°œ là căn số học

nén sina <0, ma sina <Okvck œ tận cùng trong góc phần tư thứ

ba hoặc thứ tư tức là với (2k - 1)m < œ < k.2r (k =0,+1,32, )

b)_ Đẳng thức cosơ =cos(2x -œ) đúng với mọi ơ

c) Dang thie tan 2 =—"" dung voi moi a, tri a =(2k + 1)

Bài 6

a) Ta có:

m“+2mn:n"-2mn (tm-nÌ sinl=-—————, = - -

nên dang thức này không thể xây ra

b)_ Ta có: A oe = L_?- | a Ề J2 -

1+cos{} 1-cosfs \1-cos”j Vsin2p |sinBl

Do đó vế trái của đẳng thức đã cho bằng:

+1 >1, Nhưng [sinB|<1

Muốn trong dấu ngoặc cuối này trở thành 2+cot?Ð thì

|sinBlE-sinj tức là sinj)<0 Thật thế, trong trường hợp này

biểu thức trong ngoặc sẽ là 1+ aay Brent! B Thé thi vdi

sina+cosa cos a(sina+cosa) cos" a

Do đó biểu thức đã cho có thể viết:

b)_ Nhân cả hai vế với tích (1 + cosœ)(1 + cos[)(1 + cosy) được:

N= [a +cosa)(1 + cosB)(1 + cos py = (1 —cos? œ)(1 — cos” B)(1 - cos” ),

hay

NÑ =sin? œ.sin? B.sin? y

Biểu thức (1 + cosœ)(1 + cosj))(1 + cosy) không âm với mọi œ, B, y

(vì | cos œ |< 1) nên ta có:

N = lsinøl.lsinBl Isinyl

sin’ B+ cos’ B= (sin? B+ cos? (3)? - 2sin? Boos? (3

sin’ S+ cos’ B=1-2sin? Boos” [} (*).Lai cé (sin + cos)” =m",

+sin” x + cos” x-2sinxcosx =14+1=2

sin’ y —cos! y + cos” y = (sin? y + cos” y)(sin” y — cos? y) + cos” y =

= sin? y —cosẼ y + cos” y = sin y

4 +e Ác 3? y = cos? y(cos? y +sin2 sả p2 se —

cos” y + sin” y + sin” y cos” y = cos” y(Cos” y + sin” y) + sin” y =

= €0S“ ÿ + sin“ y =1

Thừa số thứ nhất có thể viết:

tanz+cotz tanz-cotz (tanz+cotz)® -(tanz—cotz)* _

tanz—cotz tanz+cotz tan? z- cot? z

4tanz.cotz 4” 4 _ 4 sin® zcos”z

b) Néu tanu — cotu = 3 thi (tana —cota)? =9, hay

tan” ơ + cot? œ -2tanacota =9,ma tanacota = 1 nén

Néu sinu + cosa = thì (sina + cosa)” = Thay 14+2sinacosa =<

Do dé Đgingeosg =2 —1=~Š Vậy tana + cota =—5

a) Biến đổi vế trái:

: costa sin? a sin?a+cos?a sin? a+cos?a

tanB+1_cos*B —_ (tanB+1)" -tan*B-3 _

_AtanB-1) 2 "— ý nhải

Bai 12

a) Biéu thie da cho c6 thé viét gon nhu sau:

` GOE X.€08 X.SI1 X —=l,vì tan( 2 - x] = cot x, cos(2m — x) = cosx, ` Lẻ

COS X COS X

sin(t - x) =sinx, sin 3 =|" cosx, cos(-x) =cosx

b) Biểu thức đã cho có thể viết:

(cost —sint)(cost + sin t) =cos” t - sin” t

ce) Bién déi tử:

1-sin’ y -cos’ y =1-(sin* y+ 2sin? y cos? y + cos" y) + 2sin? y cos? y

= 1-(sin? y + cos? y)? + 2Qsin? y cos? y =1-14 2sin? ycos” y

=2sin? y cos” y

Vậy biểu thức đã cho trở thành:

2sinÊ ycos y _ sin? y

a

1 =9tan? y

cos” y cos” y

d) Biéu thitc da cho cé thé viét:

sinzcosz + cosz + sinz + 1 = cosz(sinz + 1) + (sinz + 1)

(sin® y + cos” y)* —2sin? y cos” y-l

(sin? y+ cos” y)(sinÏ y —sin? ycos” y + cos’ y)-1 7

_ ~9sin” y cos” y 2 sin” y cos? y _2

(in? y+cos” y)“ ~3sin? ycos? y —1 _~8sin? ycos? y 3

dung bang vé phai

b) Biến đổi vế trái:

sin® vụ = = cos” y =tan? 4 1 2 Akan?! ld y_ 4 y_ tan® 7

cos? [1 ay 1-1-cot“y cot*y

sin’ y đúng bằng vế phải

b) Do cos( 2 + p| =-sinf: sin(x+)=—sinÐ; cos(t— ) =—cosf;

sin(-J) = —sinJ; cos(x + B) =—cosj; cos|B - 4 =sinB,va

tan (5 + p| =cot Bi cot + ) =-tan; nên biểu thức đã cho có

B=sinBsin Ji + cosf}sin [}—cos[ssin [} — cot Btan [} =

=sin?B~—1 = ~cos j

ce) Do |sinơ|<1và [cosœ|<1nên tất cá biểu thức dưới đấu căn đều

không âm, do đó:

Tương tự ta có:

1-cosa@ 1+cos«u 2cosa

l+cosa 1—€o§ứư |sin ở Ï 4sin œcosœ cosa sing

Vậy Œ=—————————=Á4 .—T :

|eosơœ | |sinœ| leosa| |sina|

Với cung tận cùng trên nửa đường tròn lượng giác phía trên thi sina > 0 nén lsinơl = sinơ, với cung tận cùng trên nửa dường

tròn lượng giác phía dưới thì sinư < 0 nén Isinu! = -sinu

Với cung tận cùng trên nửa đường tròn lượng giác bên phải thì

Icosal = cosa, vdi cung tận cùng trên nưa đường tròn lượng giác

bên trái thì leosœ|l =—cosœ Vậy, cuối cùng ta được:

4 nếu k.2n< œ< = +k.2m (góc phan tu 1D

-4 nếu at k.2m< œ< (3k + 1)m (góc phần tư II)

C=

4 nếu (2k + 1)x ` +k.2n (góc phần tư IIU)

—4 nếu gnt kiên cứ <Đ(k + 1)x (góc phần tư IV)

Bai 16

a) Trước hết ta biến đổi P sao cho xuất hiện được tích sinocoso như sau:

cos” Q sin? 0

P= “sing _ cosy _ cosŠ = sin 9 _singoos@

by Ta e6: Q= (anes cotoitan? o- tan@eot g + cot? o)

= qq? —2-1)= qlq? -3) Bai 17

=(cos? @ + sin“@)— 3äeos” @.sin“ =1 — 3cos? ọ.sin? Q f 5 9

Tu d6 ta cé ngay: 1—(sin® » + cos" @) = 3sin? @.cos” ọ

b) Ta cd: sin? @+cos 9 =

= (sing +cos@)(sin? ¢ -sin® ocos¢ + sin? cos? ¢ — sing cos® g + cos* @)

=(sing +cos @)| (sin! e+ cos? @)-sin gers (sin? ọ + cos? g) + sin? ọcos2 | (*)

Binh phuong dang thuc da cho sing +cos@=m, duge:

bị DoD+E+F=xnênD+Ex+2F=x+E Do đó:

cos (D + E + 2F) = cos (xn + F) = -cosF

hay cosF = —cos (D + E + 2F)

Như vậy biểu thức đã cho trở thành: 3sin”œ +7cos¿ + 3= Ú,

hay 3cos2œ—7cosœ- 6 =0 Giải phương trình bậc hai mà ân là

2

cosa nay được hai nghiệm cosơi = 3>1(löại) và cosơa = =

b)_ Do sin(2w-B) = sin(-B) =~sin [3

cos(x — }) =—cos fs sin( 58 = ) =~cosj

nên biểu thức đã cho trở thành: sincosjf + cos” 0 - sin“[) = 0

Chia cả hai vế cho cos2ƒ' được:

tanD+1—tanˆ0=0, hay tan?j'—-tanB—1 =0

Giải ra được tanB= a

- Bài 20

Trước tiên ta biến đổi vế trái như Šau:

sina _ sinơŒ+cosœ) _ sina(1+cosa@) _ 1+ cosu

l-cosa (1-—cosa)(1+ cosa) 1-cos* u sing —

"Thay BA = sinu, BỊ = Ì - cosu,

BE = 1 + cogu vào (2) được hằng đăng thức ở đề bài:

Sins ] + cosa 1—cose sim ứ

aresin{ cos =arcsin0O = 0

d) Dat t= so a có cost = = (wig <t<®)

Lại có: eos mes-Š }"Ÿ]* cos[+t~5 ]=sint),nên

sin? t=1-cos* t,ttr dé sint =

Thay gid tri cua sint vao (*) duge:

-#)-Ÿ

23

Bài 22

a) Dat s = arcsinx, ta cé x = sins [si -

t = arccosx ta có x = cost (với 0 < t< n)

Suy ra: sins = sint hay sins= sin| 5 3) (*)

:Do -—<s+t<—nên Œ) cho: s=——t 0-588 9 ne (*) cho h hay s+t=— ay s+t=>

Vậy arcsin x + arccos x = >

b) Tacé: tan{ — arccot x| = cot(arccot x) =x

Bài 24

Với x > 0 thì rõ ràng arctans = areeotx

Néu x < 0 thi arctanx = — arctan (—x)

Nếu ta thay x =5 thi:

Nếu +k2nex< 5 +k.2n thi y =(n-x)+k.2n

Đồ thị hàm sẽ nư ở hình dưới đảy (hình 5)

Bai 28 Tính giá trị của biểu thức sau:

a) siny + sin2y + sui9y khi y= 5

2

b) 2sin{45° + z)4 Scos(1a0° - 22z)—~ 4eot(902 —z) khi z= 459

Eải 29 Tìm giá trị của ( để ta có các đẳng thức sau:

1 = 1+ cot? p: b) asin? ~=1-cos(?

a)

Bai 30 Rút gọn các biểu thức sau:

a) sin’ a +cos* a + 2(2 + sin” ơ cos” gi

b) 2(sinP œ+ cos? u) ~ 3(sin’ «+ cost a) +1

Bai 31

a) Tìm giá trị nhỏ nhat cda | tana + cotal;

b) Tim giá trị lớn nhất cúa |sinB + cosB!

Bài 32 Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

27

sin® x + cos? x

a) —— —=1-sinxcosx:

sin xX +.cosx:

1-cos°y — cos” y 1-gin? =~ $ L—sin® sir y 2

b) Sg BS —P ~(tan y —cot y)* + => mse =3'— tans:

a) Ysin? a(14+ cota) + cos? a(1+ tana) néu n<a< =

- cot?| œ+ = cos” œ< 3) 8 2 ‘i

cot? Ẹ - 4 —cos” [« + “| 1—tan2(a—180°) cot(180° +u) `

Bai 34

a) Khir B tt x =tan?B va y =sin” p

b) Tính tan! + cot” B biết tan + cot.=m

BẠN CÓ BIẾT?

Do dai day cua~roa véi hai rong roc

Co hai rdng roc tam O va O" ban kinh R va r (với OO’ = đ) và một

dây cua-roa có dé dai la:

AB: ĐỀ :CD + ÔA,

(AB, CD là độ đài của tiếp tuyển)

Để tính độ dài cua—roa ta tinh riéng từng phần của nó (hình 6)

Hình 6 Xét tam giác O'KO vuông tại K ta có:

O'K = AB = vd? —(R-r)?,AOB - BO'G - KO'Ø

Goi AOE =a ta tinh duge:

R-r

-sina= Biét sina dung bảng số ta tính được góc œ rồi tinh:

BC = 2 90 Vậy độ dài đây cua-roa bằng:

SG - 2P cu SỀ cu 7a

90 90

=2Vd? -(R-r)? +r(R +) + 2 (R-2)

29

E CAU HOI TRAC NGHIEM

Mỗi câu hỏi có 3 đáp án A, B, C hãy trả lời đáp án đúng -

1 Cho góc a 2 +k.2x Tinh géc « sao cho |u| <2z:

4 Nếu x là góc nhọn và sinx =3 thì biểu thức j= SOs tes

cotx—tanx

gid tri bing:

5 Trong khoảng (0, 2m):

a) Tich sinx.cosx có giá trị dương khi x có giá trị là:

A 0<x<= hoặc men wel

B 0<x<= hoặc “«<x<n

C m<x<2n

b) Tích tany.siny có giá trị âm khi y có giá trị là:

A m<y<2n hoặc 0<y<m

B .<y<" hoặc x<y <<

C.0<y<— hoặc + 2 a TL y<s -n< =

10

11

12

18

Gọi œ, [Ì và 7 la ba goe cua mot tar gic tong sina +sinf+siny có:

A Dau duong 3 âu ấm CC Bang 0

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biêu thức:

sin 450° cos180° + tan 405” cot 765” + cos315°sin 4059

3

Sau khi rút gọn biểu thức:

tan(2702 — œ)sin 130^sin 2702 cos 320°

cot(180° — «) cos 50° sin 220° cos 360°

A cot? 50° B -cot? 50°C —cot? 40°

tan(90° - @)cos(360° - ;p)sin(180° — @) khô hụ thuộc và 6

1Ö: Đáp án A

12 Đáp án A _14 Đáp án C

16 Đáp án B

18 Dap an A

20 Đáp án A

Dạng toán 2

CONG THUC LUONG GIAC

A KIEN THUC CAN NAM VỮNG

Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số lượng giác

1)

2)

3)

Một hàm số fx) xác định trên tập hợp gọi là fuản hoàn nếu

tồn tại một số đương T sao cho với mọi x e Gta cd:

Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng (9; và nghịch biến

trên khoảng ¬ in)

Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0; : );

Hàm số y = cotx nghịch biến trên nửa khoảng [0; 5)

1-tan“a 3) Công thức hạ bậc

4) Céng thitc tinh sina, cosa, tana theo t= tan >

5) Công thức biến đổi tích thành tổng

sinasinb = gi eosta ~b)—cosÍa + b)]

cosacosb = g[cos(a -b)+cos(a + b)]

sinacosb = sisinta ~b)+ sin(a + b) ]

6) Công thức biến đổi tổng thành tích

Ta có: sin(a + bb) + sin(a — b) = 2sinacosb

sin(a + b) — sin(a — b) = 2cosasinb cos(a + b) + cos(a — b) = 2cosacosb cos(a + b) — cos(a — b) = -2sinasinb

B ĐỀ BÀI

Công thức cộng

Bai 1 Tinh cosi5° va sin lS

Bai 2 Cho cosx = = cosy = 5 và

aoe <n, 2s <y <2z, tinh cos(x + y) và cos(x — y)

Bai 3 Cho sina a gpg tsa yd mca cK O<b<,

Bài 10 Chứng minh rằng biểu thức:

sin(x+ y +2)

tanx+tany +tanz— —-—-— ——

COS X COS Y COS Z

bang tich tanx.tany.tanz

Công thức nhân đôi

Bài 11 Chứng minh các hằng đẳng thức:

cosa + sina 1

a) —————=tan2œ+————;

cosa — sin a& cos 24

b) tan2(45° —p) = 2 Sin 14+ sin 2p 2B

Bai 12 a) Chứng minh rằng:

l1+sin2ơœ _ l+tanơ = = tan(45° + œ);

cos2œ l-tana

b) Tinh sin? 26 neu b+ 4» 4, 4g, tan°B cot” sin*{} cos* {3

Bài 13 Rit gon; Ltn Btanp | cotB+ tanB

ˆ

Bài 14 Chứng minh rằng nếu A + B + © = z thì -

: cotAcotB + cotAcot€ + cotBeotC = 1

Bài 15 Chứng minh rằng:

1+tana+cota , cota

5 - 5 5 =SIndCog:

(1+tan*a)+tana (1+cot”œ)+ tan” œ - cot” œ

Bai 16 Tinh sin3a, cos3a va tan3a

Công thức hạ bậc

Bài 17 Tìm sin 2Œ 22,59), cos và tan” g

Bai 18 Cho cosa =š (270° <a < 360°), tim tang -

Bai 19 Cho Shnf= và 90° <x <135", tìm sinx, cosx và tanx

Bài 20 Chứng minh hằng đẳng thức:

Công: thức tính sina, cosa, tana theo t= tan

Bai 25 Tinh gid tri ca sinc, cosa va tana biết tan =0,8

3sinơ +cosœ , a 3

——————— biết tan—=—

cosa —3sin 2 4

Bài 26 Tính giá trị của biểu thức

Bài 27 Cho tan =4 tan, chứng minh rằng:

y-x_ đsinx

2 5-8cosx `

tan

Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích

Bài 28 hiến đổi tổng sau thành một tích:

sina + sin2œ + sin3a

Bài 29 Tính tổng sau:

39

cosx + cos2x + cos3x + cos4x + +cosnx

luén bing 2cosx

Bài 33 Chứng minh rằng: ˆ

PB

sinơ +sin[jÌ+ siny= 4cos 5 cos 5 cos 5 nếu œ + + y =180”

Bài 34 Chứng minh rằng nếu cos(œ + J3) = 0 thì

‘ sin(a + 2B) = sina

Bài 35 Ching minh rang néu 2a + 2B + 2y = 360° thi

tan2a + tan2(} + tan2y = tan2a tan2p tan2y

Bai 36 Chứng minh rằng nếu a+B+y=180° thi

sin? bu sin? Es sin? 1-1= sin sin’ sin t

2

Bài 37 Chứng minh hing dang thu:

tana + tanb + tanc = tana tanb tanc

Bài 39 Chứng minh tich sinji sin2!} sin3}} không thể bằng 1 với mọi |) Bài 40 Tinh tong: cos + cos* Yu + cos” 8a + cos” det + cos” ne

Bai 41 Cho tana = m, tan|!=a, tany = p voi m,n, p là những số

đương và œ, Ð y là ba góc nhọn Tìm điều kiện cần va du dé tổng

T=o + +y là một góc nhọn

Bai 42 Khong dung bang hay tinh:

a) sin3° va cos3", b) sin i2” vA cos12°

Bai 43 Chứng tỏ biểu thức sau luôn bằng 0:

tan( 3 tan| =mx- p |.cos| 6 TH øị <z— # Ñ

P =cos«.cos 2a cos 4 cos 2" a

Từ đó suy ra các giá trị của P:

a) Khi œ= man

b)œ=1;œ=2

Bai 46

Không dùng bảng hãy tính tích:

= tan20” tan 40” tan 60” tan 80

Bài 47 Tìm biểu thức để tính cos va sin = (xuất phát từ