Chuyên đề : NHẬN DẠNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN ÔN TỐT NGHIỆP THPT Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SÔ CAÁP THƯỜNG GẶP.. NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ ĐĂC BI[r]
Trang 1Chuyên đề : NHẬN DẠNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN ƠN TỐT NGHIỆP THPT Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP
THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ
1
2
2
1
ln
6 cos sin
7 sin cos
cos
sin
x x
x
dx
x
a
a
dx
x C x
dx
x C x
1
ax ax
2
ax 1
1 1
ax
1
1
ln 1
6 cos ax sin ax
1
7 sin ax cos ax
1
cos ax
b b
kdx kx C
b
a dx
a a
a
a dx
b
2
1
C
dx
Học thật kĩ các cơng thức chú ý rằng các cơng thức ở cột hai cĩ được từ cơng thức cột thứ nhất bằng cách thay x bằng biểu thức bậc nhất ax + b do đĩ kết quả nguyên hàm ta sẽ nhân thêm
a
1
I
os
sin
+
a
1
Ví 2; 1:
1
3 0
(3x1) dx
0
x
e dx
1
3
2x 1dx
2 2 0
1
x dx
1
2
2
4
Trang 29 3 3 10 11 12
1
(x 1)dx
0
(6x 4 )x dx 1
0
( x 2)
e dx
2 0
(3 cos2 ).x dx
II 7 tích hai 8! 7 khác nhau
và
'( )
f x
( ) ( )
b
a
P x f x dx
os
( ).sin ( )
( ) ( )
b
a b
a
P x f x dx
P x c f x dx
( )
( ) .
b
f x
a
P x e dx
a
P x f x dx
+ N f'( )x N P(x)
. u = f x( )
+ N f'( )x N P(x)
.
( )
( )
u P x
dv f x dx
+ N f '( )x N P(x) . u = f x( )
+ N f '( )x N P(x) . ( )
sin ( ).
u P x
dv f x dx
+ N f'( )x N P(x) . u = f x( )
+ N f'( )x N P(x) . ( ) ( )
.
f x
u P x
dv e dx
+ . u = f x( )
*
sau.
a
a x dx
2 2
. xasint
a
a x dx
2 2
. xa tan t
a
x a dx
2 2
. x sina
t
* Chú ý:
a
P x f x dx
+ %&! P x( ) thì 5. u = lnx
x
1
( ).
u f x
dv P x dx
a
F e dx
ue
3 b ( ) ta xét
a
A x dx
Trang 3Ví 2; 2:
4
1
2
x dx
2 1
x
xe dx
1
1 ln
e
x dx x
1
0 ( 1)
x x dx
2
2 0
4 x xdx
0
cos (1 sin )
x dx x
0
.
2
dx x x
0
2
3 3
8
0
cos sin 4 1
e x x dx
1
) ln 3 (
1
0 2 x
x
e
dx
2 1
3
x x dx
2
0
(2 sinx 3) cosxdx
x
x
e dx
e
0
2 cos 2x xdx
0
(x1)e dx x
3
2
2 ln(x x1)dx
0 2
cos
x
2 1
ln xdx
x
1
(x 3)e dx x
1
ln ) 2 1
0 2
cos
x
xdx
2 1
2 ln
e
x dx x
1
ln x
dx x
1
ln
e
x xdx
0
1 xdx
0
3
1
2 0
1 x dx
2
1
x dx
0
x x dx
2 sin 0
.cos
x
e x dx 1 3
0
x
x e dx
0
1
1
ln
e
x dx 5x x dx
2
.ln(2 )
0
2 1
5 (x 1) 3dx
ò
III
in x.cos
b
a
x dx
os x
.
b
a b
a
dx
c dx
2
2
in x
os x
.
b
a b
a
dx
c dx
3
3
x
x
tan
cot
b
a b
a
dx
dx
2
2
inAx.cosBx
b
a
dx
+
. u = sinx
+
. u = cosx
Dùng CT N
os
sin2x 1 c 2x
os
c 2x 1 2
Tách 5 9
N hai và N
công 7
os os
sin
sin
x c x
1 1
Dùng công 7
os
tan x
c x
2
2
1 1
cot
sin
x
x
2
2
1 1
Dùng CT
1
2
1
2
1
2
* Chú ý: %&! tích phân có 7 tanx hay cotx thì ta 5 9 sinx và cosx
s
Trang 4Ví 2; 3:
4
0
s in3 cosx xdx
0
cos 2xdx
0
5 sin 7 sin
xdx x
3 2 0
sin 3xdx
0
tan xdx
0
sin 3 cos x x dx
0
cos xdx
0
sin xdx
IV
( ) ( ) .
b
a
f x g x
dx
x
a
b dx d
a
dx
b cx d
a
A
dx
ax bxc
2
b
a
b dx
ax bx c
2
Ta
hai tích phân
( ) ( ) .
b
a
f x g x
dx
x x
Ta
b
a
B
d
Ta tích phân
b
a
dx
Ta
b
a
A
dx
b cx d
.
u = ax2bxc
Ví 2; 4:
1
0
2
x
dx x
1
2
x x
dx x
x
x x
1 2
2
3 5 2
dx x
x
1
0 4 3 2
1
2
0
1
x dx
x x
0
1
x x
dx x
x
2 1
2
2 -1
x x
1 2 0
1
1
2 0
(2 1)
x dx
x x
+
0
1
5 6dx
x x
4 2 3
1
x x
dx x
IV
a.
( )
b
a
S f x dx
b. f x1( ) , x = a, x = b, y f x2( )
b
a
c.
R; Ox
2 ( ).
b
a
Trang 5Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1
; x =2
Giải
Diện tích hình phẳng cần tìm
= -çç - ÷÷ +çç + ÷÷ = + =
Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó
quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x
Giải
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là :
S x x dx x x x dx
5
2
1
4
x
x x
5
* Bài
1/ Tính
a y2xx2,y 2 x
b yx312,yx2
c y ,y
x
2
2 1
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y = yx34x23x và trục hoành.
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y lnx và các đường thẳng có phương trình x = 1, x = e và y=0
4/ Tính th8 tích c" Dh trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
a y 2 x2,y1 quanh Ox
b y x2 2x y, x quanh Ox
5/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox:
a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x =
4
b/ y = sin 2 x ; y = 0 ; x = 0 ; x =
c/ y = 2 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1
x
xe
6/ TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y = e x +1 , R; hồnh , x = 0 và x = 1
7/ TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y = sinx , R; hồnh , R; tung và x = 2
Trang 6
8/ Tính
a
0
2 3
y
x x
y
b
1
; 2 0
3
x x
y
x y
c
4
; 0
6 3
2 2
2 2
x x
x x y
x x y
d
x x
y
x x
y
; 0 3
cos 2 sin
e
x
y e
y
x
2 1
9/ TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra khi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau : y = 0, y =
, x = 0, x =
x
x sin
2
10/ TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay xung quanh trôc Oy cña h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = , y = 2, y = 4 vµ x = 0.
2
2
x
11/ Cho y4 x y2; x2 2.Tính 8 tích Dh tròn xoay 5Y K nên
do D quay quanh R; Ox
12/ Cho 2 và y = 2x + 4 Tính 8 tích Dh tròn xoay 5Y K nên
do D quay quanh R; Ox
13/ Cho
e x x y
x x y
; 1 0
ln
hết
-Chúc các em học tốt !
... hai Ncông 7
os os
sin
sin
x c x
1
Dùng công 7
os...
2
1
2
* Chú ý: %&! tích phân có 7 tanx hay cotx ta 5 9 sinx cosx
s
Trang...ax bx c
2
Ta
hai tích phân< /b>
( ) ( ) .
b
a