sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học s

MỤC LỤC

Trang

Phần 1 MỞ ĐẦU

1- Mục đích của sáng kiến

2- Đóng góp của sáng kiến

Phần 2 NỘI DUNG

Chương 1: Cơ sở khoa học của sáng kiến 1.Cơ sở lý luận của sáng kiến

2.Cơ sở thực tiễn của sáng kiến

Chương 2: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến đề cập đến

Chương 3: Những giải pháp mang tính khả thi………

Phần 3 KẾT LUẬN

1- Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập

2- Hiệu quả thiết thực của sáng kiến

3- Kiến nghị với các cấp quản lý

Phần 4 PHỤ LỤC

- Tài liệu tham khảo

SÁNG TẠO BÀI TOÁN TÍCH PHÂN MỚI TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CƠ BẢN

Phần 1 MỞ ĐẦU:

1 Mục đích của sang kiến:

Trong chương trình Toán phổ thông ,Tích phân là một trong những phầnquan trọng của môn Giải tích lớp 12 Các bài toán tích phân rất đa dạng vàphong phú, thường có mặt trong các kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học vàCao đẳng Đây là những bài tập gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đếntâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặctrưng bộ môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện của từng lớp học; bồidưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ năngvận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứngthú và trách nhiệm học tập của học sinh”

Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao được tính tích cực,chủ động và sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng phát hiện

ra những bài toán mới từ những bài toán đã có; cần khơi dậy và phát triển tiềmnăng sáng tạo còn tiềm ẩn trong mỗi học sinh

Bài viết này tôi xin đưa ra một biện pháp được áp dụng trong khi dạy chủ

đề tự chọn Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 là “sáng tạo bài toán tích phân mới

từ một số bài toán tích phân cơ bản”, nhằm giúp các em học sinh có kiến thức

sâu, rộng về tích phân; có thêm nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng, và giúp họcsinh phát triển tư duy sáng tạo

2 Đóng góp của sáng kiến trong thực tế giảng dạy tại trường THPT Yên Phong số 2:

- Học sinh lớp 12 trường THPT Yên Phong số 2 hứng thú hơn với làmtoán về tích phân và tích cực sáng tạo các bài toán tính tích phân làm phong phúthêm hệ thống bài tập.

- Học sinh nắm vững kiến thức về Nguyên hàm và Tích phân; nâng cao

kỹ năng tìm Nguyên hàm và tính Tích phân

-Giải pháp giúp học sinh lớp 12 làm tốt các bài kiểm tra, bài thi phần câuhỏi tìm nguyên hàm, tính tích phân

2 Cơ sở thực tiễn:

Chương 2: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến đề cập đến.

1) Thực trạng việc dạy của giáo viên:

Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưngthường dừng lại ở mức độ nhỏ lẻ như khai thác những bài toán tương tự, tìm vàgiải bài toán tổng quát

2) Thực trạng việc học của học sinh:

Đa số học sinh chỉ biết giải các bài tập tích phân tương tự với những bài

mà mình đã giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán tích phân mới Nhiều học sinhkhông hề có chút suy nghĩ tìm lời giải khi gặp những bài toán tích phân mới

Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2011-2012:

3) Sự cần thiết của đề tài:

Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên,tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giớithiệu những kinh nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả dạytích phân cho học sinh lớp 12

Chương 3: Những giải pháp mang tính khả thi:

a) Vấn đề được đặt ra:

Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực, chủ động

và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện Để phát huy điều đó, chúng

ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho họcsinh có hứng thú trong học tập, để đem lại kết quả trong học tập tốt hơn, và hiệuquả giảng dạy cao hơn

b) Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều trathực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch; Tiến hànhnghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài

c) Các bước sáng tạo bài toán tính tích phân mới từ một số bài toán tính tích phân cơ bản:

Trước tiên ta bắt đầu từ bài toán tích phân của một hàm số thường gặp màkhông có trong bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp của sách giáo khoaGiải tích 12:

Bài toán 1: Tính tích phân :

0

I  x  x dx;

2 4

ln(tan )cos

dx x

2 1

log ( 1)

I x x  dx;

2

2 6

cos log (sin )





2

2 6

sin log (cos )



3 2 2 6

log (tan )cos

Do học sinh không được làm quen với cách đặt x a cost hoặc x a sint

trong những bài toán giải phương trình vô tỉ có chứa biểu thức a x , a x

và a2  x2 nên còn khó hiểu khi giải bài toán sau đây:

Bài toán 2 Tính các tích phân sau: (Bài tập SGK)

Sau khi giảng giải cho học sinh hiểu một cách tường minh bài toán trên làtại sao lại chọn cách đặt đó mà không lựa chọn cách đặt khác Thì ta có thể bắtđầu với các bài toán mới như sau :

2.1) Qua bài toán trên ta thấy xuất hiện các biểu thức lượng giác sin t và cost

thay thế vị trí của biến x và a2  x2 ; và bài toán tích phân hàm số vô tỉ đượcchuyển thành bài toán tích phân hàm số lượng giác Chính vì thế mà ta nghĩngay đến việc thay thế các biểu thức sin t và cost trong các bài toán tích phânhàm số lượng giác đơn giản bởi biến x và a2  x2 để được các bài toán tíchphân mới, ví dụ:

I ; b)

1

2 0

I ; b)

1

2 0

14

21

2012

0

11

2013 2012

0

I  x  x dx;

Theo cáchtrên ta đã đưa rađược một loạt các bài tập tương tự với bài toán đã cho (bài toán 2) Ta tiếp tụcvới việc tìm kiếm bài toán ẩn chứa trong đó (bài toán 2) như sau:

2.2) Vì hàm số f x( ) a2  x2 là một hàm số chẵn nên ta nghĩ ngay đến bài

(Chứng minh xem bài toán 5), và chọn một số hàm số chẵn đơn giản có chứa

biểu thức a2  x2 để tạo ra các tích phân mới :

2 2

x a x a

x e

1 ln(

)

f x

(với   0, f (x) làhàm số lẻ trên đoạn [  ; ])(Chứng minh xem bài toán 5.7), ta chọn một số hàm

số lẻ đơn giản có chứa biểu thức a2  x2 , ta được các tích phân mới :

11

2.5) Từ các bài toán tích phân 2.4) ta đưa ra các bài toán tích phân có chứa một

trong các biểu thức a x , a x nhưng giải được theo phương pháp đặt

t a x ( hoặc t  a x ) , để ghép vào như :

11

11

11

12

d) 2

0

12

12

31

35

31

35

b a

4

b a

 

2

b a

 

ví dụ :

3 x 6.3x 5

I     dx

2.12) Từ việc quá quen thuộc với cách giải đối với bài toán tích phân có chứa

biểu thức a2  x2 ở trên nên ta đưa ra các bài toán tích phân mới có chứa biểuthức a2  x2 nhưng giải được theo phương pháp đổi biến khác (đặt

x a x dx a x

x dt

2 2

2 2 2

1 (

(2 5 )

(2 5 ) (1 2 ) (1 2 )

2 5

5

2 2

a a

0

1

I  x  dx;

5 2 2

0

4

I  x  dx;

5 2

3.4) Từ các bài toán 3.1), 3.2) và 3.3) ta đưa ra những bài toán tích phân có chứa

một trong các biểu thức x2 a2 và x2  a2 nhưng được giải theo phươngpháp khác (đặt t x2 a2 hoặc t x2  a2 ), ví dụ:

2

J  x  x dx;

vdu v

u udv ( ) , ta xem tích phân trong bài toán 3.1) và

5 3

2 25 9

I  

1

0

2 2

1 2

2 1

ln(1 ln )

a

vdu v

u udv ( ) , ta xem tích phân trong bài toán 4) là

2

ln(1 )

  , v ta có thà ta có thể chọn một trong các giá trị của cận tương ể chọn một trong các giá trị của cận tương

ch n m t trong các giá tr c a c n tọn một trong các giá trị của cận tương ột trong các giá trị của cận tương ị của cận tương ủa cận tương ận tương ươngng ng trong b ng ứng trong bảng ảng

2 (

2 4

) ( dx f x dx

a

x f

x f dx x f dx a

x f a dx a

x f

x x

x

) ( )

( 1

) ( 1

) (

) (

a

x f

) (

dx x f dx a

x f

e e

x x

; c) 

 2

2 1 cos





dx e

1 1

11





dx e

x x

1 1

a

vdu v

u udv ( ) , ta xem các tích phân trong bài 5.1) là

) 1 (

) (

dx e

e x x

2

2 ) 1 ( sin





dx e

x e

dx e

e x

x e

x

; c)

2 2

2

( 1)cos

1

x x

1 1

11

x x

x x

5.5) Từ các bài toán 5.1) và 5.3) ta rút ra bài toán sau:

Cho f (x) là hàm số chẵn trên đoạn [   ; ].Chứng minh rằng:

a

f x dx a

a

vdu v

u udv ( ) , ta xem các tích phân trong bài 5.3) là

2

) 1 ln(

sin





dx e

5.7)Từ các tích phân trong bài 5.6) ta có bài toán tổng quát :

Cho f (x) là một hàm số lẻ trên đoạn [  ; ] Chứng minh rằng :

1 ln(

Cho f (x) là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1].Chứng minh rằng:



1

0 1

) ( )

1 ln(

)

x

dx x

x

I

1

) 1 ln(

x x

5.10) Từ bài toán 5.7) thay x cos t, ta có bài toán sau:

Cho f (x) là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1].Chứng minh rằng:

1

0 0

ln(

) (cos

5.12) Từ bài toán 5.7) thay x sint, ta có bài toán sau:

Cho f (x) là một hàm số lẻ trên đoạn [1;1] Chứng minh rằng :



1

0 2

2

ln(

) (sin

x x

Chương 4: Kiểm chứng các giải pháp đã triển khai của sáng kiến:

Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến

bộ qua tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 12A1

Đối tượng học sinh 12A (2008-2009) có trình độ ngang nhau (đối chứng)với 12A (thực nghiệm)

Còn ở lớp thực nghiệm, đa số các em giải toán đạt đô chính xác cao

Với những biện pháp đã áp dụng, sau khi thực nghiệm và đối chứng đề tài

ở lớp, tôi thu được kết quả sau:

lượng

Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu

Ghi chú Số

Số

Số

12A 50 29 58 21 42 Thực

nghiệmVới kết quả trên, tôi thấy học sinh có tiến bộ qua kiểm tra Nhiều em giảitoán tích phân đạt kết quả chính xác cao Tạo điều kiện cho tôi tiếp tục áp dụngkết quả đạt được cho những năm học sau

Phần 3 KẾT LUẬN:

Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp học

sinh hiểu sâu kiến thức về tích phân, có nhiều bài tập cho các em rèn luyện kỷnăng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12A trường THPT YênPhong số 2, Tôi nghiên cứu tìm hiểu thêm ở các lớp khác, ở các tài liệu chuyênmôn khác, sử dụng các hình thức so sánh đối chiếu trong giảng dạy

1 Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập đến của sáng kiến:

Qua thử nghiệm đã nêu ở trên, tôi thấy kết quả thu được cao hơn giờ dạyđối chứng Điều đó chứng tỏ rằng để học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo vàhiệu quả trong học tập ; người giáo viên cần sử dụng linh hoạt và nhuần nhuyễncác biện pháp giảng dạy, phát huy được tính sáng tạo của mình trong giảng dạy;song song đó cần tích cực nghiên cứu sách vở và trau dồi năng lực chuyên môn

Khi nghiên cứu đề tài “Sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản”, tôi nhận thấy bản thân mình đã trở thành một con người

sáng tạo, kiến thức mở rộng thêm

Bên cạnh những mặt đạt được cũng còn những hạn chế, một số học sinhyếu không nắm được nguyên hàm của các hàm số thường gặp nên chưa tiếp cậnđược cách khai thác bài toán tích phân mà tôi đã đưa ra Tôi cố gắng tìm ra biệnpháp để nâng cao hiệu quả trong những năm sắp tới Mong các đồng nghiệp vàcác bạn giáo viên trong tổ, trong trường hỗ trợ nhiều cho tôi về phương pháp

dạy học “Sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản”

Trong khi viết đề tài này, bản thân không tránh khỏi những sai sót, rấtmong Sở Giáo dục và các anh chị đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi rút kinhnghiệm cho những năm sau viết tốt hơn.

2 Hướng phổ biến áp dụng đề tài:

Đề tài đã được thực hiện có hiệu quả ở lớp 12A ; sẽ được phổ biến trongkhối 12 của trường THPT Yên Phong số 2, và các lớp khối 12 trung học phổthông

Khai thác thêm các bài toán tích phân cần phải sử dụng kết hợp cả haiphương pháp( phương pháp đổi biên và phương pháp từng phần) để giải Bổsung vào đề tài và thực nghiệm thêm nhiều lớp khối 12 trường THPT YênPhong số 2

3 Kiến nghị với các cấp quản lý

Yên Phong, ngày 30 tháng 11 năm 2013 Người viết

Ngô Bá Giang

Tài liệu tham khảo

1.Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên) và các tác giả: Hướng dẫn thực hiện chương

trình, sách giáo khoa lớp 12- NXBGD,2008.

2.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Vũ Tuấn (chủ biên) và các tác giả: Giải tích

12 – NXBGD,2008.

3 Bộ Giáo dục và Đào tạo :Đề thi tuyển sinh – Môn Toán - NXBGD,1996.

4 Trần Văn Hạo (Chủ biên) và các tác giả: Chuyên đề luyện thi vào đại học

Giải tích – đại số tổ hợp-NXBGD,2002

5 Bộ Giáo dục và Đào tạo :Tạp chí Toán học& Tuổi trẻ-NXBGD.

Nhận xét , đánh giá xếp loại của Hội đồng khoa học trường THPT Yên Phong số 2: