Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC c Gọi I là giao điểm của AH và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác BCIlà tam giác đều ?.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2013-2014
(Thời gian: 150 phút) Bài 1 (3 điểm)
Rút gọn biểu thức :
A
Bài 2 (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) ( ) (4 )4
2008 2010 2
b)
1 2 2 3 3 4
x− − x− + x− =
Bài 3 (3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
3 6 10
2 3
B
=
Bài 4 (3 điểm) Giải bất phương trình:
−
Bài 5 (7 điểm)
Cho tam giác ABC(cân tại A) vẽ đường cao AH, đường cao BK
a) Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ?
b) Cho AH =10cm BK, =12cm
Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC c) Gọi I là giao điểm của AH
và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để
tam giác BCIlà tam giác đều ?
Trang 2ĐÁP ÁN Bài 1.
Điều kiện: a≠0;a≠ −1;a≠ −2;a ≠ −3;a≠ −4;a ≠ −5
A
a
+
Bài 2.
a) ( ) (4 )4
2008 2010 2
(I) Đặt
2009
y x= −
ta có:
2 2
2 12 0
0 2009 0 2009
y y
b)
1 2 2 3 3 4
x− − x− + x− =
(II) +Nếu x<1
ta có ( )II ⇔ − + = ⇔ =2x 6 4 x 1 (ktm)
+Nếu 1≤ <x 2
ta có: ( )II ⇔0.x+ =4 4
, Phương trình nghiệm đúng với 1≤ <x 2
+Nếu 2≤ <x 3
ta có: ( )II ⇔ − = − ⇔ =4x 8 x 2
(thỏa mãn) +Nếu 3 x≤
ta có: ( )II ⇔2x=10⇔ =x 5
(thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình ( )II
là x=5
hoặc 1≤ ≤x 2
Bài 3.
Trang 3Ta có: ( )
2
2
B
Mà ( )2
2 2
1 2
x
Vậy giá trị lớn nhất của B
là
7
1
2⇔ = −x
Bài 4
−
Với a≠0
ta có
( ) (III a 2) x 2( )*
a
2
x
a a
⇔ >
+
nếu a> −2
và a≠0
2
x
⇔ >
−
đúng với mọi xnếu a = −2
2
x
a a
⇔ <
+
nếu a< −2
Bài 5.
Trang 4a) Các cặp tam giác vuông đồng dạng là :
(Vì có
BAH CAH=
(vì có
ABH = BCK
(vì cùng đồng dạng với
)
ABH
∆
b) Từ
10 5
12 6
AB
BH
(H là chân đường cao, trung tuyến)
Ta lại có:
AB −BH = AH
(Định lý Pytago) 2
5
c) Chỉ ra được ∆BIC
cân tại I
Trang 5∆
cân tại I trở thành tam giác đều khi
· 600
IBC =
Mà
· · · 600 · 120 0
IBC HAB= ⇒HAB= ⇒BAC=
Vậy để ∆BIC
là tam giác đều thì ∆ABC
phải cân tại A và
µ 1200
A=