6 điểm Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Axvà By cùng vuông góc với AB.. Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳ
Trang 1ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN 8 Ngày thi: 12/04/2014 Câu 1 (4 điểm)
Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên của xđể A
nhận giá trị nguyên
Câu 2 (4 điểm)
a) Chứng minh rằng:
( )2
b) Cho
Tìm tất cả các số tự nhiên nđể P
là số nguyên tố
Câu 3 (4 điểm)
a) Giải phương trình:
9 20 11 30 13 42 18
b) Cho a b c, ,
là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
3
A
Câu 4 (6 điểm)
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB
kẻ hai tia Axvà
By
cùng vuông góc với AB Trên tia Axlấy điểm
C(C ≠ A)
Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC,
đường thẳng này cắt
By
tại D
Từ Ohạ đường vuông góc OMxuống CD (M thuộc CD)
a) Chứng minh
b) Chứng minh tam giác AMB
vuông
Trang 2c) Gọi Nlà giao điểm của BCvà AD Chứng minh MN / /AC.
Câu 5 (2 điểm)
Cho a b c, ,
là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + =1.
Chứng minh rằng: 2
a bc b ca c ab
Trang 3ĐÁP ÁN Câu 1.
a)
2 1 3 2
2 2
A
A
A
+
−
= − −
b) Với x≠0;x≠ ±1
Ta có:
2
x A
Để A∈¢
thì ( x−1)
phải là ước của 2⇒ − ∈ ± ±x 1 { 1; 2}
Xét từng trường hợp tìm x,
đối chiếu điều kiện ⇒ ∈x { }2;3
Câu 2.
a) Ta có:
2
7 36
Do đó A
là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên AM7 ∀ ∈n ¢
b)
2
Trang 4Vì n là số tự nhiên nên ( )2
1 1 2
Như vậy muốn P
là số nguyên tố thì phải
có ( )2
1 1 1
hay ( )2
n− = ⇒ =n
Khi đó P=5
là số nguyên tố
Câu 3.
a) x2 +9x+20=( x+4) (x+5)
x + x+ = x+ x+
x + x+ = x+ x+
TXĐ: x≠ − − − −{ 4; 5; 6; 7}
Phương trình trở thành:
4 7 18
13
13 2 0
2 13;2
x
x S
= −
= −
b) Đặt
b c a x+ − = > c a b y+ − = > a b c z+ − = >
Ta có
, , 0
x y z>
Từ đó suy ra
Trang 5Thay vào ta được 2 2 2
A
= + + =12 x y + x y÷+x z + x z÷+ y z + z y÷
Từ đó suy ra
1
2
Dấu “=” xảy ra ⇔ = =a b c
Trang 6Câu 4.
a) Xét ∆ACO
và ∆BOD
có:
µ µ 900
;
(cùng phụ với
· )
DOB
Nên ∆ACO: ∆BOD g g( ) ⇒ AO AC = BD BO ⇒ AO BO AC BD. = .
nên
b) Xét ∆CMO
và ∆OMD
có:
CMO OMD= = OCM· =DOM·
(cùng phụ với
· )
Mà
( )2
(Do
)
Trang 7Từ (1) và (2) ta có
(cạnh huyền – góc nhọn)
OM OB OA
suy ra ∆AMB
vuông tại M
c) Ta có: AC/ /BD(cùng
)
AB
⊥ ⇒ CN NB = AC BD
(hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Tương tự ta chứng minh : AC CM=
Nên
/ / / /
Câu 5.
Nhận xét có: a bc a a b c+ = ( + + +) bc= +(a b c a) ( + )
Tương tự có: b ca+ = +(b a b c) ( + ) ;c ab+ = +(c a c b) ( + )
Do đó
(a b a c) ( ) (b a b c) ( ) (c a c b) ( )
VT
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
2
2
2
a b
a c
b c
Đẳng thức xảy ra khi
1 3
a b c= = =