149 đề HSG toán 8 huyện 2013 2014

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. 3 điểm Cho tam giác đều ABC gọi M là trung điểm của BC.. 1 điểm Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng s

NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1 (2 điểm)

Cho

P



a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên.

Câu 2 (2 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

 1  2  3  6

P x x x x có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 3 (2 điểm)

a) Giải phương trình: 2 2 2

b) Cho , ,a b c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

3

A

Câu 4 (3 điểm)

Cho tam giác đều ABC gọi M là trung điểm của BC Một góc , ·xMybằng 0

60 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt ,

tại D và E Chứng minh:

a)

2

4

BC

c) Chu vi tam giác ADE không đổi

Câu 5 (1 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và

số đo diện tích bằng số đo chu vi

ĐÁP ÁN

Câu 1.

a)

     

     

Nêu ĐKXĐ: a1;a2;a4

Rút gọn

1 2

a P

a







b)

a

P

 

  ta thấy P nguyên khi a là ước của 3, mà2

(3) 1;1; 3;3

U    , từ đó tìm được a  1;3;5

Câu 2.

a) Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta có a b chia hết cho 3

Ta có:

a   b a b a ab b  a b  a  ab b  ab a b  a b  ab

Vì a b chia hết cho 3nên  2

3

a b  abchia hết cho 3

Do vậy    2

3

  chia hết cho 9

Ta thấy  2 2

Do dó

5

x

x





        

   

   

   

2

2

2

ĐKXĐ: x 4;x 5;x 6;x  7

Phương trình trở thành:

           

       

   

13

2

x

x

 



      

b) Đặt b c a x   0;c a b y   0;a b c z   0

từ đó suy ra 2 ; 2 ; 2 ;

Thay vào ta được

1

A

           

Từ đó suy ra 12 2 2

2

hay A3

Câu 4.

a) Trong tam giác BDM ta có: µ 0 ¶

1 120 1

Vì ¶ 0

2 60

M  nên ta có: ¶ 0 ¶

3 120 1

Suy ra µ ¶

D M Chứng minh BMD : CEM (1)

Suy ra

, Từ đó BD CE BM CM.  .

BC

, nên ta có:

2

4

BC

b) Từ (1) suy ra

1 2,

 :    do đó DM là tia phân giác ·BDE Chứng minh tương tự ta có : EM là tia phân giác ·CED

c) Gọi , ,H I K là hình chiếu của M trên , AB DE AC ,

Chứng minh DH DI EI EK, 

Câu 5.

Gọi các cạnh của tam giác vuông là , ,x y z trong đó cạnh huyền là z

( , ,x y z là các số nguyên dương)

Ta có: xy2 x y z    1 và x2  y2 z2(2)

Từ (2) suy ra 2  2

2 ,

z  x y  xy thay (1) vào ta có:

2 2

2 2

2 2

4

Suy ra z        thay vào 2 x y 2 z x y 4;  1 ta được:

   

4 4 8 1.8 2.4

   

Từ đó ta tìm được các giá trị của , ,x y z là:

 x y z; ;   5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10       