Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a .Gọi I là trung điểm của cạnh AB.. Điểm H thuộc cạnh DI sao cho AH vuông góc với DI 1 Chứng minh rằng ∆CHD cân 2 Tính diện tích ∆CHD.. Câu 5:
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TRIỆU PHONG NĂM HỌC
2019-2020 Câu 1: (4,0 điểm)
1) Cho A n n
4 10 2 9
Với mọi số nguyên n lẻ , chứng minh A chia hết cho 384
2) Tìm các số nguyên a b, thỏa mãn: a b a b
2 − 2 + =
Câu 2: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
( x y) x y x x y y
B
x y
x x y y x y
2
.
−
a) Rút gọn B
b) So sánh B và B
Câu 3: (6,0 điểm)
1) Biết x y x y
2 + 2 = +
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của C x y= −
D= 4− 10 2 5− − 4+ 10 2 5− + 2 2+ 3+ 14 5 3− ÷
Chứng minh D là nghiệm của phương trình D D
2 − 14 + 44 0 =
3) Cho x y z, , là ba số dương Chứng minh rằng:
x yz y zx z xy xy yz zx
2
Câu 4: (4,0 điểm)
Trang 2Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a Gọi I là trung điểm của cạnh AB Điểm H thuộc cạnh DI sao cho AH vuông góc với DI
1) Chứng minh rằng ∆CHD cân
2) Tính diện tích ∆CHD
Câu 5: (2,0 điểm)
Xác định M nằm trong tam giác ABC sao cho tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác đạt giá trị lớn nhất
……….HẾT……….
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRIỆU PHONG - NĂM HỌC 2019 - 2020
1) Cho A n n
4 10 2 9
Với mọi số nguyên n lẻ , chứng minh A chia hết cho 384
2) Tìm các số nguyên a b, thỏa mãn: a b a b
18 2 3
2 − 2 + =
Lời giải
1) Ta có A n n n n n n n n
4 10 2 9 4 2 9 2 9 2 ( 2 1) 9( 2 9)
=(n2 − 1)(n2 − = − 9) (n 1) (n+ 1) (n− 3) (n+ 3)
Theo giả thiết n số nguyên lẻ , nên đặt: n=2k+1(k N∈ ) , ta viết lại:
A=(2k+ 2 2 2) (k k+ 4 2) ( k− = 2) 16(k+ 1) (k k+ 2).(k− 1)
Trang 3Ta nhận thấy rằng: (k+1), ,(k k+2),(k−1) là 4 số nguyên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2.3.4 24=
⇒A (16.24) 384M = Với mọi số nguyên n lẻ
2) ĐK: a Z b Z a b
2 2
, a b 2≠
Ta có: a b a b
2 − 2 + =
, với
(a b ) (a b )
a2 b2
18 2 3 2
−
⇔ −a 9 2b = −(3 18 2) (a2 − 2b2)
⇔ −a 9 2b =(3a2 − 6b2)− 18 2(a2 − 2b2)
⇔(18a2− 36b2− 9b) 2 3 = a2− 6b2−a
Nếu a b b
18 − 36 − 9 ≠ 0
a b a
3 6 2
18 36 9
Vì a b, nguyên nên
18 36 9
⇒ Vô lý vì 2 là số vô tỉ
Vì thế ta có:
thay
b
a 3
2
=
vào a b a
2 2
3 − 6 − = 0
, ta có:
Trang 4
( )
b2 b2 b b2 b2 b b b
4 − − 2 = ⇔ − − = ⇔ − =
b loai
b thoa man
0 ( )
=
⇔ =
Khi b= ⇒ =2 a 3 (thoa man)
Vậy a=3 ,b=2 thỏa mãn điều kiện bài toán
Câu 2: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
( x y) x y x x y y
B
x y
x x y y x y
2
.
−
a) Rút gọn B
b) So sánh B và B
Lời giải
a) x y, >0,x y≠
Ta có :
−
B
x y
2
.
=
x y x xy y x xy y B
2
+
=
B
x xy y. x y
Trang 5
xy B
x xy y
=
b) Vì x y, > ⇒0 xy>0 và
2 3
0 , , 0
Nên B 0> với mọi x y, thỏa mãn điều kiện đã cho
Lại có: ( x− y)2≥ ⇔ + − 0 x y xy≥ xy
x y xy xy
+ −
x y xy xy 1
+ −
Dấu “ = “ không xảy ra vì x y≠
Vậy 0< <B 1 , nên B B>
Câu 3: (6,0 điểm)
1) Biết x y x y
2 + 2 = +
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của C x y= −
D= 4− 10 2 5− − 4+ 10 2 5− + 2 2+ 3+ 14 5 3− ÷
Chứng minh D là nghiệm của phương trình D D
2 − 14 + 44 0 =
3) Cho x y z, , là ba số dương Chứng minh rằng:
x yz y zx z xy xy yz zx
2
Trang 6Lời giải
1) Ta có:
( )
C x y x y y
x y y
x y
2 2
2 2
2 2
= − = + −
Dấu “ = “ xảy ra x=0 ,y=1
Vậy giá trị nhỏ nhất của C= − ⇔ =1 x 0;y= −1
Lại có:
( )
( )
C x y x x y
x x y
2 2
2 2
2
Dấu “ = “ xảy ra x=1,y=0
Vậy giá trị lớn nhất của C= ⇔ =1 x 1;y=0
2) Ta có:
D= 4− 10 2 5− − 4+ 10 2 5− + 2 2+ 3+ 14 5 3− ÷
D= 4− 10 2 5− − 4+ 10 2 5− + 4 2 3+ + 28 10 3−
D= 4− 10 2 5− − 4+ 10 2 5− + 3 1 5+ + − 3
D 6− = 4− 10 2 5− − 4+ 10 2 5− , với (D 6 0− < )
⇔(D− 6)2= − 8 2 16 10 2 5 − +
⇔(D− 6)2= − 8 2 5 1( + = −) 6 2 5
Trang 7⇔(D− 6)2=( 5 1 − )
⇒ − = −D 6 1 5hay D= −7 5
Ta có: D D
2 − 14 + 44 0 =
( ) (2 )
7 5 14 7 5 44 0
⇔54 14 5 98 14 5 44 0− − + + =
Vậy bài toán được chứng minh
3) Ta có:
yz
x yz x yz
xyz
x yz x yz
2
2
2
2 2
+
Tương tự, ta cũng có:
zx xyz
y2 zx y zx
2 2
+
;
xy xyz
z2 xy z xy
2 2
+
Mà:
y z yz
yz
xyz xyz2 xyz
+
Tương tự, ta có:
zx z x xyz xyz
+
≤
;
xy x y xyz xyz
+
≤
Từ đó suy ra:
y z z x x y
x y z xyz xyz xyz xyz
x yz y zx z xy
dpcm
xy yz zx
2
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ = =x y z
Câu 4 :(4,0 điểm)
Trang 8Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a Gọi I là trung điểm của cạnh AB Điểm H thuộc cạnh DI sao cho AH vuông góc với DI
1) Chứng minh rằng ∆CHD cân
2) Tính diện tích ∆CHD
Lời giải
1) Gọi K trung điểm của AD ; E là giao điểm của CKvà DI Xét ∆ADI và ∆DCK có:
90 ( )
CDK DAI gt
; CD AD gt= ( ) ; 2 2
AB CD
AI DK
Suy ra: ∆ADI = ∆DCK (c .c)g
⇒ADI DCK· =· ; mà DCK DKC· ·
0 90
Suy ra: ·ADI DKC·
0 90
(1)
⇒KC DI⊥
- Lại có: HK là đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền AD
⇒HK KD (2)=
Từ (1) va(2) suy ra : KC là đường trung trực
của DH
⇒CH CD= ⇒ ∆CHD cân tại C
Trang 92) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông , ta tính được :
a
DI 5
2
=
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADI, đường cao
AH ta có:
DH DI AD DH
DI a
2 2
.
2
AI AD a a a
AH DI AI AD AH
DI
2
Mà EK là đường trung bình của ∆AHD
a
EK 1AH
2 2 5
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DKC, đường cao
DE
ta có:
KE CK KD CK
KE
2 2
4 2 5 2
Suy ra:
Diện tích ∆CHD là:
CHD
a a a
S CE DH
2
(đvdt)
Câu 5: (2,0 điểm)
Xác định M nằm trong tam giác ABC sao cho tích các khoảng
cách từ M đến các cạnh của tam giác đạt giá trị lớn nhất
Lời giải
Trang 10Đặt AB c BC a AC b= , = , =
Gọi D E F, , lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh BC AC AB, ,
và đặt MD ME MF, , lần lượt là x y z, ,
Ta có:
ABC MAB MBC MAC
xaybzc
xa yb zc
ABC
abc abc
3
3
(luôn là hằng
số không đổi)
Vậy tích các khoảng cách từ M đến 3 cạnh của ∆ABC đạt GTLN bằng
ABC
S
abc
3
8
27
Dấu “ = “ xảy ra ⇔xa by cz= = ⇔S MAB=S MBC =S MAC
Hay : M là trọng tâm của ∆ABC