Tìm số tự nhiên lẻ n nhỏ nhất sao cho 2 n biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các số chính phương liên tiếp.. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB Ax, By và nửa đường tròn thuộc m
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 2019
1 (2,0 điểm) Cho biểu thức:
: 2
A
1 Tìm điều kiện của x để A có nghĩa và rút gọn biểu thức A
2 Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 2
3 Tính giá trị của biểu thức A tại
3 3 2 1
3 2 1
3
1 Giải phương trình ẩn x sau:
2
0
x
x + +x x =
2 Giải hệ phương trình 2 ẩn x, y:
2
2 2
2x +4y +xy xy+2x−12 =8 x−2
2 Tìm số tự nhiên lẻ n nhỏ nhất sao cho
2
n
biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các số chính phương liên tiếp
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R (R>0
, R là hằng số) Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt các tia Ax, By lần lượt tại C, D Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD
1 Tính số đo góc COD; Chứng minh CD=2OI
và OI vuông góc với AB
2 Chứng minh
2
AC BD R=
3 Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất, khi đó hãy chứng minh diện tích của hình thang này cũng nhỏ nhất
Trang 2Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c+ + =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
1 2018
3
P
+ +
Trang 3
-HẾT -LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 2019
1 (2,0 điểm) Cho biểu thức:
: 2
A
1 Tìm điều kiện của x để A có nghĩa và rút gọn biểu thức A
2 Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 2
3 Tính giá trị của biểu thức A tại
3 3 2 1
3 2 1
3
Lời giải
1 ĐKXĐ: x≥0
; x≠1
: 2
A
: 2
=
(2 1)( 1) 1. 2 1
x
=
−
=
2
2
x
−
=
2 1
x x
=
Vậy
2 1
A
x x
=
với x≥0
; x≠1
2 Ta có
2
1
A
x x
(vì x+ >1 0
với ∀x)
Trang 4Vậy x=0
thì A=2
3 Ta có :
3 3 2 1
3 2 1
3
3 3 2 1
3 2 1
3
( ) ( )3 3
3
3
( )3 3 (3 ) ( 3 )
( )3 (3 ) 3 (3 ) ( 3 )
3 2 1 2 2 1 2 1
x
( )3 3 3 (3 2 )
x
( ) ( )
3
4 /
x t m
⇔ =
Thay x=4
thỏa mãn ĐKXĐ vào A ta được
7
Vậy
7
với
3 3 2 1
3 2 1
3
1 Giải phương trình ẩn x sau:
2
0
x
x + +x x =
2 Giải hệ phương trình 2 ẩn x, y:
2
Lời giải
1 ĐKXĐ: x≠0
; x≠ ±1
Trang 5
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )
2
2
3 2
3 2
3
4
x
3
x
3
x
⇔ + =
35 1 2
⇔ =
(thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm
35 1 2
x= −
2 ĐKXĐ:
5 0
x y
y x
≤
≥
− + ≥
2
Ta có phương trình
3 3 2 2 2 2
(1)⇔ − +x y xy −yx + −x y +2x−2y=0
(x y x) ( 2 xy y2) xy x y( ) (x y x y) ( ) (2 x y) 0
(x y x) ( 2 y2 x y 2) 0
( ) 1 2 1 2 3 0
x y x y
0
x y
⇔ − =
vì
0
+ + + + >
x y
⇔ =
Thay x=y
vào phương trình (2) ta được
Trang 65− +y y+ 3y+ =1 y +3y+1
5 y 2 y 1 3y 1 2 y 3y 4
( 1) 1 3( 1) ( ) ( )
( 1) 1 3( 1) ( )( )
1 0
y
⇔ − =
(vì
4 0
)
1
y
⇔ =
(thỏa mãn ĐKXĐ) 1
x
⇒ =
(thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1
2 2
2x +4y +xy xy+2x−12 =8 x−2
2 Tìm số tự nhiên lẻ n nhỏ nhất sao cho
2
n
biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các số chính phương liên tiếp
Lời giải
1 Phương trình 2x2+4y2+xy xy( +2x−12) (=8 x−2)
2 2 2 2 2
2x 4y x y 2x y 12xy 8x 16 0
2 2 2 16 2 2 8 8 2 4 4 2 0
( ) (2 )2
2 2 2
x y
x y
=
2
2; 1 1
2
x y
y
y
=
⇔ = − = ⇔ = − = −
(thỏa mãn) Vậy các cặp số ( )2;1
và (−4; 2)
là nghiệm của phương trình đã cho
Trang 72
+) Xét 2 ( )2 2 ( )2
n = a − + a + a +
, ( a > 1 )
(Tổng của 3 số chính phương)
2
(Loại vì số dư của số chính phương khi chia cho 3 không thể là 2)
n = a − + − a + a + + a a +
(Tổng của 5 số chính phương)
=5 ( a2 + 2 )
Mà
2
a
có số dư là 0
hoặc 1 khi chia cho 5 nên
n = a − + − a + a − + + + a
(Tổng của 7 số chính phương)
(Không xảy ra)
n = a − + a − + a − + + + a
(Tổng của 9 số chính phương)
2 32
n
(Vô lí)
n = a − + − a + − a + + + a
(Tổng của 11 số chính phương)
1 mod11
a
⇒ ≡
, a > 5
Trang 8Thử với a ∈ { 9,12,20,23 }
chỉ có a = 23
thỏa mãn
77
n
⇒ =
là giá trị cần tìm
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R (R>0
, R là hằng số) Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt các tia Ax, By lần lượt tại C, D Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD
1 Tính số đo góc COD; Chứng minh CD=2OI
và OI vuông góc với AB
2 Chứng minh
2
AC BD R=
3 Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất, khi đó hãy chứng minh diện tích của hình thang này cũng nhỏ nhất
Lời giải
1 Hai tiếp tuyến CM , CA của ( )O
cắt nhau tại C ⇒OC
là tia phân giác của ·MOA
Tương tự ta cũng có OD là tia phân giác của ·MOB
Trang 9Mà
MOA MOB+ = COM DOM+ = ° ⇒COD COM DOM= + = °
+) Xét ∆COD
có
COD= ° ⇒ ∆COD
vuông tại O có I là trung điểm
của CD
OI
⇒
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD ⇒CD=2OI
+) Xét tứ giác ABDC có CA DB// (cùng vuông góc với AB)
ABDC
⇒
là hình thang
Ta lại có O và I lần lượt là trung điểm của AB, CD
OI
⇒
là đường trung bình của hình thang ABDC //
OI CA OI AB
( vì CA⊥AB gt( )
)
2 Hai tiếp tuyến CM , CA của ( )O
cắt nhau tại C⇒ AC MC=
(1) Chứng minh tương tự ta có BD MD=
(2) Xét ∆COD
vuông tại O có OM ⊥CD
OM MC MD
(hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
2
MC MD R
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
2
AC BD R=
3 Chu vi hình thang ABDC là: C ABDC = AB BD CD AC+ + + =AB+2CD
Vì AB=2R
không đổi nên
2
ABDC
C =AB+ CD
nhỏ nhất khi nhỏ nhất khi
CD
nhỏ nhất
Ta có CD AB≥ =2R ⇒C ABDC =AB+2CD≥2R+4R=6R
Dấu " "=
xảy ra khi và chỉ khi CD AB=
Khi đó CD AB//
M
⇒
là điểm chính giữa nửa đường tròn ( )O
thì chu vi hình thang
ABDC
đạt giá trị nhỏ nhất
+) Khi M là điểm chính giữa nửa đường tròn ( )O
ta có CD AB=
suy ra
Trang 10( ) 2 2
4
ABDC
AC BD AB CD AB R R
Vì
2
ABDC
CD AB
nên CDnhỏ nhất thì ABDC
S
nhỏ nhất
Vì M di chuyển trên nửa đường tròn ( )O
nên CD AB≥ =2R
4
ABDC
⇒
đpcm
Với các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c+ + =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
1 2018
3
P
+ +
Lời giải
Chứng minh
2
2 2 2
2 2 2 3
a b c
a b c
2 2 2 2
a b c a b b c c a VT
Ta có
4 2
2
a a b
bc a
b + c + ≥
Tương tự
4 2
2
b b c
ac b
c + a + ≥
4 2
2
c c a
ab c
a + b + ≥
VT ab bc ca a b c
(1)
Mà
2
a b b c c a
bc ac ab ab bc ca
a b b c c a
ab bc ca
(2)
Từ (1) và (2) ⇒VT ≥3(a2+ +b2 c2)
Trang 11( )
2 2 2
2 2 2
3
a b c
a b c
b c a
Khi đó
2 2 2
2 2 2
1
3
a b c
+ +
( ) 3 ( 2 2 2) ( 2 2 2) ( 2 2 2)
1
3
a b c
+ +
2016 3 2019
Dấu " "=
xảy ra khi và chỉ khi
1 3
a b c= = =
Vậy Min P=2019
xảy ra khi
1 3
a b c= = =