41 hsg h 20 nhu thanh

Tìm điều kiện của x để A có nghĩa và rút gọn biểu thức A.. Tìm số tự nhiên lẻ n nhỏ nhất sao cho n2 biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các số chính phương liên tiếp.. Gọi Ax , By là

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 2019

Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:

: 2

A

1 Tìm điều kiện của x để A có nghĩa và rút gọn biểu thức A

2 Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 2

3 Tính giá trị của biểu thức A tại 3  3 3 2 1

3 2 1

3

Câu 2: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình ẩn x sau: 2

0

x

x x x  

2 Giải hệ phương trình 2 ẩn x, y:

2





Câu 3: (2,0 điểm)

2x 4y xy xy2x12 8 x 2

2 Tìm số tự nhiên lẻ n nhỏ nhất sao cho n2 biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các số chính phương liên tiếp

Câu 4: (2,0 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R (R  , 0 R là hằng

số) Gọi Ax , By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn,

tiếp tuyến này cắt các tia Ax , By lần lượt tại C , D Gọi I là trung điểm

của đoạn thẳng CD

1 Tính số đo góc COD ; Chứng minh CD2OI và OI vuông góc với AB

2 Chứng minh AC BD R.  2

3 Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất, khi đó

hãy chứng minh diện tích của hình thang này cũng nhỏ nhất

Câu 5: (2,0 điểm)

Với các số thực dương a , b , c thỏa mãn a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất1 của biểu thức:

 

1 2018

3

P

 

-HẾT -LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 2019

Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:

: 2

A

1 Tìm điều kiện của x để A có nghĩa và rút gọn biểu thức A

2 Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 2

3 Tính giá trị của biểu thức A tại 3  3 3 2 1

3 2 1

3

Lời giải

1 ĐKXĐ: x  ; 0 x  1

: 2

A

: 2





1

x

     







2 2

x





2 1

x x



 

Vậy

2 1

A

x x



  với x  ; 0 x  1

2 Ta có

2

1

A

x x

(vì x  1 0 với x)

Vậy x  thì 0 A 2.

3 Ta có : 3  3 3 2 1

3 2 1

3

3  3 32 1

3 2 1

3

 3 3 3 3 2 1

3

 3 3 3  3 2 1

3 3 3 2 2 1

3

 3 3 3  3 

 3 3  3 3  3 

3 2 1 2 2 1 2 1

x

 3 3 3 3 2 

x

 

 

3

4 /

x t m

Thay x  thỏa mãn ĐKXĐ vào 4 A ta được

7

4 4 1

Vậy

7

4 4 1

  với 3  3 32 1

3 2 1

3

Câu 2: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình ẩn x sau: 2

0

x

x x x  

2 Giải hệ phương trình 2 ẩn x, y:

2





Lời giải

1 ĐKXĐ: x  ; 0 x  1

 

   

   

       

2 2

3 2

3

4

x

    

3

x

    

3

x

2

(thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm

2

x 

2 ĐKXĐ:

5 0

x y

y x











   



2







Ta có phương trình (1) x3 y3xy2 yx2x2 y22x 2y 0

x y x  2 xy y2 xy x y  x y x y   2x y 0

   2 2 

2 0

x y x y x y

 

0

          

0

x y

   vì

0

x y

Thay xy vào phương trình (2) ta được

2

5 y y 3y 1 y 3y 1

5 y 2 y 1 3y 1 2 y 3y 4

   

   

1 0

y

   (vì

4 0

5 y 2 y 1 3y 1 2 y



1

y

  (thỏa mãn ĐKXĐ)

1

x

  (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y ;  1;1

Câu 3: (2,0 điểm)

2x 4y xy xy2x12 8 x 2

2 Tìm số tự nhiên lẻ n nhỏ nhất sao cho n2 biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các số chính phương liên tiếp

Lời giải

1 Phương trình 2x24y2xy xy 2x12 8x 2

2x 4y x y 2x y 12xy 8x 16 0

x xy 42 x 2y2 0

2

2 2





2

2; 1 1

4; 2 2

x y

y

y









    





 



Vậy các cặp số 2;1 và  4; 2

là nghiệm của phương trình đã cho

2

+) Xét n2   a  1 2  a2   a  1 2,  a  1  (Tổng của 3 số chính phương)

2

3 a 2

  (Loại vì số dư của số chính phương khi chia cho 3 không thể là 2)

+) Xét n2   a  2 2   a  1 2  a2   a  1  2 a  2 2 (Tổng của 5 số chính phương)

5 a 2 1 2

=5  a 2 2 

Mà a2 có số dư là 0 hoặc 1 khi chia cho 5 nên a  2 2 5.

+) Xét n2   a  3 2   a  2 2  a  1 2    a  3 2 (Tổng của 7 số chính phương)

7 a 4

2 72 2 4 7

     (Không xảy ra)

+) Xét n2   a  4 2   a  3 2  a  2 2    a  4 2 (Tổng của 9 số chính phương)

9 a 2.30 3 3 a 20

2 32

n

  (Vô lí) +) Xét n2   a  5 2   a  4 2   a  3 2    a  5 2 (Tổng của 11 số chính phương)

11 a 10

   a  5 

2 112 2 10 11

1 mod11

a

11 1

   , a  5 Thử với a   9,12,20,23  chỉ có a  23 thỏa mãn

77

n

  là giá trị cần tìm

Câu 4: (2,0 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R (R  , 0 R là hằng

số) Gọi Ax , By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn,

tiếp tuyến này cắt các tia Ax , By lần lượt tại C , D Gọi I là trung điểm

của đoạn thẳng CD

1 Tính số đo góc COD ; Chứng minh CD2OI và OI vuông góc với AB

2 Chứng minh AC BD R.  2

3 Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất, khi đó

hãy chứng minh diện tích của hình thang này cũng nhỏ nhất

Lời giải

1 Hai tiếp tuyến CM , CA của  O cắt nhau tại C OC là tia phân giác của MOA

Tương tự ta cũng có OD là tia phân giác của MOB

Mà

MOA MOB  COM DOM    COD COM DOM   

+) Xét COD có COD 90  COD vuông tại O có I là trung điểm

của CD

OI

 là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD  CD2OI

+) Xét tứ giác ABDC có CA DB (cùng vuông góc với // AB)

ABDC

 là hình thang

Ta lại có O và I lần lượt là trung điểm của AB , CD

OI

 là đường trung bình của hình thang ABDC

//

OI CA OI AB

2 Hai tiếp tuyến CM , CA của  O cắt nhau tại C AC MC  (1) Chứng minh tương tự ta có BD MD (2)

Xét COD vuông tại O có OM CD

  (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

2

MC MD R

Từ (1), (2), (3) suy ra AC BD R.  2

3 Chu vi hình thang ABDC là: C ABDC AB BD CD AC   AB2CD

Vì AB2R không đổi nên C ABDC AB2CDnhỏ nhất khi nhỏ nhất khi

CDnhỏ nhất

Ta có CD AB 2R  C ABDC AB2CD2R4R6R

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi CD AB Khi đó CD AB //

M

 là điểm chính giữa nửa đường tròn  O thì chu vi hình thang ABDC đạt giá trị nhỏ nhất.

+) Khi M là điểm chính giữa nửa đường tròn  O ta có CD AB suy ra

4

ABDC

AC BD AB CD AB R R

Vì

2

ABDC

CD AB

nên CDnhỏ nhất thì S ABDC nhỏ nhất

Vì M di chuyển trên nửa đường tròn  O nên CD AB 2R

4

ABDC

   MinS ABDC 4R

 đpcm

Câu 5: (2,0 điểm)

Với các số thực dương a , b , c thỏa mãn a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất1 của biểu thức:

1 2018

3

P

 

Lời giải

2

3

VT

Ta có

2

a a b

bc a

b  c  

Tương tự

2

b b c

ac b

c  a  

2

c c a

ab c

a  b  

 2 2 2 2 2 2

VT ab bc ca a b c

(1)

Mà

2

a b b c c a

a b b c c a

ab bc ca

(2)

Từ (1) và (2)  VT 3a2b2c2

3

a b c

a b c

b c a

Khi đó

1

3

 

1

3

a b c

 

2016 3 2019

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

1 3

a b c  

1 3

a b c  