Slide 1 Chương 6 Phương trình đạo hàm riêng

Slide 1 Chương 6 Phương trình đạo hàm riêng IUH 2022 Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí ThS Hồ Thị Bạch Phương Phương trình đạo hàm riêng 2 Một phương trình đạo hàm riêng (PDE) là.

Chương 6: Phương trình đạo

hàm riêng

IUH - 2022

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM

Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí

ThS Hồ Thị Bạch Phương

Phương trình đạo hàm riêng

Một phương trình đạo hàm riêng (PDE) là một phương trình mà bao gồm hàm và đạo hàm riêng của nó

Chú ý

2

2

u(x, t) u(x, t)

Ví dụ:

PDE bao gồm 2 hoặc hơn nhiều biến độc lập (trong ví dụ trên x và t

là các biến độc lập)

2

2 xt

u(x, t) u

x u(x, t) u

x t











 

PDE tuyến tính : Phân loại

Một PDE là tuyến tính nếu nó là tuyến tính trong hàm và đạo hàm của nó

Ví dụ của PDE tuyến tính

 2

2 u u 3 u 0

u 2 u 3u 0

2 u 2 u u 3u 0

Ví dụ của PDE phi tuyến

Phân loại PDE

PDE tuyến tính bậc hai là tập hợp các phương trình được sử dụng để mô hình hóa nhiều hệ thống trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật

Phân loại quan trọng là bởi vì :

 Mỗi thể loại có liên quan đến các vấn đề kỹ thuật cụ thể

 Phương pháp khác nhau được sử dụng để giải quyết các loại này

PDEs tuyến tính bậc hai

Một PDE tuyến tính bậc 2 (2- biến độc lập)

A, B và C là các hàm của x và y

D là 1 hàm của x, y, u, ux, và uy được phân loại dưa trên (B2 – 4AC) như sau:

A u  B u  C u   D 0

2 2 2

B 4AC 0 Elliptic

B 4AC 0 Parabolic

B 4AC 0 Hyperbolic

PDE tuyến tính bậc 2

Ví dụ:

x

xx yy



2

0

Phương trình Laplace

Pt Laplace là Elliptic

Một giải pháp có thể

2 2 2

u(x, t) u(x, t)

A c 0, B 0, C 1 B 4AC 0

PDE tuyến tính bậc 2

Ví dụ:

2

2

2

u(x, t) u(x, t)

0





Phương trình nhiệt

Phương trình parabolic

Phương trình sóng

Phương trình hyperbolic

Điều kiện biên cho PDEs

 Để giải cho PDE, một tập hợp điều kiện biên được cần

 Điều kiện biên thông thường và không thông thường thì có thể

2

2

u(x, t) u(x, t)

u(0, t) 0

u(1, t) 0











Vùng biên quan tâm

x 1

t

PT nhiệt

Các phương pháp giải cho PDEs

 PP giải tích là có thể duy nhất cho trường hợp đơn giản và đặc biệt.

 Để sử dụng tính chất của các phương trình, các phương pháp khác nhau được sử dụng để giải quyết các loại khác nhau của PDEs

 PP thảo luận ở đây dựa trên phương pháp sai phân hữu hạn

2

2

T(x, t) T(x, t) :

T(0, t) T(1, t) 0

T(x,0) sin( x) 





x

PT nhiệt

PT parabolic vì B2 – 4AC = 0

Các điều kiện biên cần để giải

Phương pháp sai phân hữu hạn

 Chia khoảng x thành các khoảng nhỏ, mỗi khoảng có bề rộng h

 Chia khoảng t thành các khoảng nhỏ, mỗi khoảng có bề rộng k

 Một lưới điểm được dùng cho giải pháp sai phân hữu hạn

Ti,j được biễu diễn T(xi, tj)

 Thay thế các đạo hàm bằng công thức sai

x

i, j 1 i, j i, j 1 i, j

T(x, t)



Phương pháp sai phân hữu hạn

Thay thế các đạo hàm bằng công thức sai phân hữu hạn

Công thức sai phân trung tâm hữu hạn cho 2

2

T : x





2

i 1, j i, j i 1, j i 1, j i, j i 1, j

T(x, t)

T : t





Công thức sai phân thuận hữu hạn cho

Phương pháp giải

2

2

2

2

2

T(x, t) T(x, t)

T(x, t k) T(x, t) T(x h, t) 2T(x, t) T(x h, t)

k T(x, t k) T(x, t) T(x h, t) 2T(x, t) T(x h, t)

h k

h T(x, t k) T(x h, t) (1 2 ) T(x, t) T(x h, t)







Định nghĩa

T(x, t  k)   T(x  h, t) (1 2 ) T(x, t)      T(x  h, t)

T(x-h,t) T(x,t) T(x+h,t)

T(x,t+k)

Phương pháp giải

Làm thế nào chúng ta tính ?

nghĩa là:

Hội tụ và ổn định

Hội tụ:

Các giải pháp hội tụ nghĩa là giải pháp đạt được dùng phương pháp sai phân hữu hạn tiệm cận tới giải pháp đúng khi các độ dài bước Δx và Δt tiệm cận zero

Ổn định:

Một giải thuật ổn định nếu sai số mỗi bước tính thì không tăng trong quá trình tính toán

T(x, t+k) có thể được tính trực tiếp dùng:

T(x, t  k)   T(x  h, t) (1 2 ) T(x, t)      T(x  h, t)

Có thể không ổn định, để bảo đảm ổn định :

2

(1 2 ) 0 k

Điền này nghĩa là k phải nhỏ hơn nhiều h dẫn đến tính toán chậm

Ví dụ: Pt nhiệt

2

2

2

u(x, t) u(x, t)

0

u(0, t) u(1, t) 0

u(x,0) sin( x)

k

4 h







 

Giải PDE

Dùng h = 0.25, k = 0.25 để tìm u(x,t) cho x ϵ [0,1] và t ϵ [0,1]

x

t

1

1

0

Nhiệt độ

   

2

2

2

0

0

t=0

t=0.25

t=0.5

t=0.75

t=1.0

x=0.25 x=0.5

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

sin(0.25π) sin(0 5π) sin(0.75π)

9497

0 )

2 / sin(

4 )

4 / sin(

7 0

) 0 , 5 0 ( 4 )

0 , 25 0 ( 7 )

0 , 0 ( 4 )

25 0 , 25 0

(





















u u

u u

t=0 t=0.25 t=0.5 t=0.75 t=1.0

x=0.25 x=0.5

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

sin(0.25π) sin(0 5π) sin(0.75π)

Bài tập: Hoàn thành các giá trị còn thiếu trên bảng

Chú ý:

2

k

0.4 h

  

Các kết quả đạt được khả năng chưa đạt độ chính xác bởi vì:

1 - 2λ = -7

Cho kết quả chính xác: 1 - 2λ ≥ 0

Chúng ta cần chọn k:

h (0.25)

Ví dụ chọn k = 0.025 khi đó

) , (

4 0 )

, ( 2 0 )

, (

4 0 )

, ( x t k u x h t u x t u x h t

t=0

t=0.025

t=0.05

t=0.075

t=0.10

x=0.25 x=0.5

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

sin(0.25π) sin(0 5π) sin(0.75π)

t=0.025

t=0.05

t=0.075

t=0.10

x=0.25 x=0.5

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Sin(0.25π) Sin(0 5π) Sin(0.75π)

0.5414 )

2 / sin(

4 0 )

4 / sin(

2 0 0

) 0 , 5 0 ( 4 0 )

0 , 25 0 ( 2 0 )

0 , 0 ( 4 0 )

025

0 , 25 0

(



















u u

u u

Bài tập: Hoàn thành các giá trị còn thiếu trên bảng