Slide 1 Chương 5 Phương trình vi phân IUH 2022 Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM

Slide 1 Chương 5 Phương trình vi phân IUH 2022 Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí ThS Hồ Thị Bạch Phương Mục tiêu của chương  Giải phương trình vi phân (Ordinary Differential Equa.

Chương 5: Phương trình vi phân

IUH - 2022

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM

Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí

ThS Hồ Thị Bạch Phương

Mục tiêu của chương

 Giải phương trình vi phân (Ordinary Differential Equations ODEs)

 Sự quan trọng của phương pháp số giải ODEs

 Đánh giá độ tin cậy của các phương pháp

Đạo hàm

dt dv

Phương trình đạo hàm riêng

Gồm 1 hoặc nhiều đạohàm toàn phần củacác hàm ẩn số

u

3

Phương trình vi phân (Ordinary differential equation ODE)

Bậc của 1 phương trình vi phân

dx(t)

x(t) e dt

Bậc 2 ODE

Ví dụ:

5

ODE tuyến tính

t

2

2 2

3 2

2

dx(t)

x(t) e dt

ODE tuyến tính

ODE phi tuyến

ODE phi tuyến

Ví dụ:

ODE phi tuyến

Một phương trình ODE là phi tuyến nếu

Nếu hàm và đạo hàm của nó xuất hiện lớn hơn 1 Có tích giữahàm và/hoặc đạo hàm của nó

Ví dụ:

7

Giải phương trình vi phân bằng pp số



b x

a x

t

x dt

t x d

(

) 0

(

0 )

( 4

)

(

22



Để có thể giải pt vi phân bậc n chúng ta cần n điều kiện.

ODE bậc 2

2 điều kiện cần để giải

Là nghiệm của pt vi phân

Tất cả các hàm với x(t) = cos(2t) + c

là nghiệm của pt vi phân trên với c

là hằng số

Điều kiện phụ (Auxiliary Conditions)

Điều kiện biên

 Các điều kiện thì không ở 1 điểm của biến độc lập

Điều kiện ban đầu

 Tất cả điều kiện là ở 1

điểm của biến độc lập

Điều kiện phụ

9

Bài toán giá trị biên và giá trị ban đầu.

Bài toán giá trị biên

 Các điều kiện thì không ở 1 điểm của biến độc lập

 Giải bài toán này khó hơn bàitoán giá trị ban đầu

5 1 )

2 ( ,

1 )

0 (

e x

x

Bài toán giá trị ban đầu

5 2 )

0 ( ,

1 )

0 (

e x

Phân loại pt vi phân ODEs

Các pt vi phân có thể được phân loại theo các cách khác nhau:

 Bậc : ODE bậc 1; ODE bậc 2; ODE bậc n

 Tuyến tính: ODE tuyến tính; ODE phi tuyến

 Điều kiện phụ: Các bài toán giá trị ban đầu; Các bài toán giá trị

biên

Phương pháp giải tích để giải ODEs thì có sẵn cho ODEs tuyếntính và các loại đặc biệt cho ODEs phi tuyến

Phương pháp số

 PP số được dùng để đạt 1 đồ họa hoặc 1 bảng của hàm

 Hầu hết pp số dùng để giải các pt vi phân dựa trên trực tiếp hoặcgián tiếp dựa trên khai triển chuỗi Taylor

11

Phân loại phương pháp

PP số cho giải ODE

PP nhiều bước (Multiple-Step

Methods)

Ước tính nghiệm ở 1 bước cụthể dựa trên các thông tin của nhiều hơn 1 bước trước

PP bước đơn (Single-Step

Methods)

Ước tính nghiệm ở 1 bước

cụ thể dựa trên các thông

tin của bước trước

Phương pháp chuỗi Taylor

), 3

( ),

2 (

), ( x0 h y x0 h y x0 h

0

0 ) (

), ,

(

)

(

y x

y y

x

f dx

x

PP chuỗi Taylor bậc 1 được biết như pp Euler

Sai số bởi dùng chuỗi Taylor là bậc O(h2)

Bài toán để được giải quyết với pt vi phân bậc 1:

PP chuỗi Taylor bậc 1 (PP Euler)

0 0

i i

Phương pháp Euler

Bài toán:

Cho trước pt vi phân:

Với điều kiện ban đầu:

Nội suy của pp Euler.

y0

y1

y2

Nội suy của pp Euler.

Nội suy của pp Euler.

Nếu độ dài bước KHÔNG bằng nhau lúc đó thay hi = xi – xi-1

Lúc đó chúng ta giải xấp xỉ pt vi phân theo PP Euler như sau:

0 ,

4 ,

1 ,

1 )

, ( x y   x2 x0  y0   h 

Dùng pp Euler để giải pt vi phân ODE:

Tính y(1.01), y(1.02) và y(1.03)

Đk ban đầu

01

0 ,

4 ,

1 ,

1 )

, ( x y   x2 x0  y0   h 

01

0 ,

4 ,

1 ,

1 )

, ( x y   x2 x0  y0   h 

Sai số toàn cục: Sai số tích lũy trên nhiều bước

Sai số làm tròn: Sai số do số lượng hữu hạn các bit được sử dụng trong việc đại diện của các con số

Các loại sai số

Vòng lặp chính

PP Euler Lưu trữ

Viết 1 chương trình Matlab cho pp Euler để giải pt

Lập trình pp Euler

Vẽ kết quả

Lệnh vẽ:

plot(t,v)

Ví dụ 2: PP Euler

 Cho pt vi phân: y’ = 3 – 2x – 0.5y

Điều kiện ban đầu : y(0) = 1

Dùng pp Euler với h = 0.2 để giải pt vi phân trên ở x = 0.2, 0.4, 0.6,0.8, và 1.0 Phân tích sai số biết giải chính xác:

.2

2707

2)

2.0(123

25.06

.023123

.2

123

2)

2.0(87.15.04

.023

87.1

87.1)

2.0(5.15.02

.023

5.1

5.1)

2.0(5.21)

2.0)(

5.00

3(1

4 4

5

3 3

4

2 2

3

1 1

2

0 0

y

y

h f

y

y

h f

y

y

h f

y

y

h f

Phân tích sai số: chinh xac so

2.5 y

Ví dụ 3: Pp Euler

 Cho pt vi phân

Dùng pp Euler với h = 0.1 để giải xấp xỉ pt vi phân trên ở x = 0.1,

0.2, 0.3, và 0.4 Phân tích sai số biết giải chính xác

Bài tập: PP Euler

1 Cho pt vi phân

Điều kiện ban đầu : y(0) = 1

Dùng pp Euler với h = 0.1, 0.05, 0.25, 0.01 để giải pt vi phân trên ở

x = 1, 2, 3, 4, và 5 Phân tích sai số biết giải chính xác

Điều kiện ban đầu : y(0) = 3

Dùng pp Euler với h = 0.2 để giải pt vi phân trên ở x = 0.2, 0.4, 0.6,0.8 và 1 Phân tích sai số biết giải chính xác là:

- Khai triển chuỗi Taylor ở bậc 2 và dùng các qui tắc sai phân số ta sẽtìm được các mối liên hệ giữa α, β, w1,w2 (xem chi tiết trong giáo trình) Khi đó ta có các pt cho mối liên hệ giữa α, β, w1,w2 sau:

Được biết như RK bậc 3

Sai số cục bộ là O(h4) và sai số toàn cục là O(h3)

Tóm tắt

Pp Runge Kutta cho kết quả chính xác mà không cần tính các đạohàm bậc cao

Pp RK bậc 2 có sai số cục bộ O(h3) và sai số toàn cục O(h2)

Pp RK bậc cao sẽ có các sai số trên nhỏ hơn

1 01 1

2 02 2

0

n 0n n

Hệ phương trình vi phân (ODE) bậc 1:

X, Y là 1 véc tơ có chiều dài n.

Pp Euler để giải 1 hệ của n pt vi phân bậc 1.

Các pp cho giải hệ pt vi phân bậc 1 ODEs

Chúng ta mở rộng các pp Euler và RK2 để giải hệ pt vi phân bậc 1

y (0) 0.1 B1: K h F(0, Y(0)) 0.1

y (0.1) 0.1195 B2 : K h F(0.1, Y(0.1)) 0.1

Cách tổng quát để giải pt ODE bậc cao

Pt ODE bậc cao Chuyển

đổi Hệ pt ODEs bậc 1 Giải

ODE bậc 2 2 pt ODEs bậc 1

Pt vi phân bậc cao

Làm thế nào để giải pt ODE bậc cao x" 3x ' 6x 1   

Quá trình chuyển đổi

1. Chọn các biến phụ thuộc

Một cách là để lấy biến phụ thuộc ban đầu và các đạo hàm của

nó đến một bậc thấp hơn đạo hàm cao nhất

2. Viết các phương trình vi phân theo các biến mới

3. Biểu diễn các phương trình dưới dạng ma trận.

Chú ý trong quá trình chuyển đổi

1 Pt vi phân có bậc n bất kỳ được chuyển đổi sang một hệ n pt vi phân bậc 1

2 Có vô số cách để lựa chọn các biến mới Kết quả là, đối với mỗi pt

vi phân bậc cao có một số lượng vô hạn của tập hợp các hệ pt vi phânbậc 1 tương đương

3 Sử dụng một bảng để làm cho việc chuyển đổi dễ dàng hơn

Ví dụ 8: Chuyển đổi pt ODE bậc cao tới ODEs bậc 1

1 Chọn các biến mới: ODE bậc 3 nên cần 3 biến

1 2 3

Giải

Z(0.2) Z(0.1) hF(Z(0.1))

0.1 2.2 2 2( 2.2) 8(0.8) 2.2

x L

q dx

y d

q: tảiL: chiều dài dầm

Điều kiện biên

Ứng dụng giải bài toán độ võng dầm chịu lực phân bố

Giải cho Bài toán giá trị (điều kiện) biên

Dùng lại tính sai phân số chương 3

qx EI

Ty dx

y d

Cho T = 7200N, q = 5400N/in, L = 75 in, E = 30Msi, I = 120 in4

Tính y tại x = 50 in với độ dài bước h = Δx = 25in, dùng công thức saiphân trung tâm

Thay các giá trị đã cho vào:

( 10

5 7 10

2

2

x x

y dx

2

2

) (

2

x

y y

y dx

Điểm 1: x1 = 0, y1 = 0 theo điều kiện biên tựa trên gối

Điểm 2: Viết lai pt (*) cho điểm 2

) 75

( 10

5 7 10

2 )

25 (

2

2 2

7 2

6 2

1 2

3

x x

y

y y

)(

25 ( 10 5

7 0016

0 003202

0 0016

.

y y

y

4 3

( 10

5 7 10

2 )

25 (

2

3 3

7 3

6 2

2 3

4

x x

y

y y

Điểm 4: x4 = 75, y4 = 0 theo điều kiện biên tựa trên con lăn

Ở đây chúng ta không có bảng giá trị cho trước về độ võng

10375

.90

10

00

0016

0003202

00016

.00

00016

.0003202

.00016

0

00

01

4 4

4 3 2 1

y y y y

0

5852

0 0

4 3 2 1

y y y y

y(50)  y(x )  y   0.5852"

Bài tập

5 Dùng pp Euler và RK 2 (pp Heun) để giải pt vi phân sau:

y” - 0.5y’ + y = 0

với y(0) = 2 và y’(0) = 0 Giải cho x từ 0 đến 4 với h = 0.1

6. Dùng pp Euler và RK 2 (điểm giữa) để giải pt vi phân sau

y” + 0.6y’ + 8y = 0

mà y(0) = 4 và y’(0) = 0 giải x = 0 đến x = 5 với h = 0.5