Chương 1 Giải phương trình đại số

Chương 1 Giải phương trình đại số 1 1 Giới thiệu 1 2 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm 1 3 Một số phương pháp lặp giải phương trình 1 4 Giải bài toán cơ cấu bốn khâu bản lề Chương 1 Giải phương trình đạ.

Chương 1: Giải phương trình đại số

Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM

Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí

ThS Hồ Thị Bạch Phương

Thông tin về các sai số xấp xỉ.

Phương pháp số: Các giải thuật được dùng để đạt giải pháp sốcủa một vấn đề toán học

Tại sao cần phương pháp số ?

1 Không có giải pháp giải tích để giải bài toán

2 Một giải pháp giải tích thì khó khăn để có được hoặc không thực tế

Giải các phương trình phi tuyến

Nghiệm giải bằng pp giải tích

Một vài phương trình đơn giản có thể được giải bằng pp giảitích:

Nhiều các pt khác không thể giải bằng pp giải tích:

Các phương pháp lặp để giải các phương trình phi tuyến.

- Phương pháp Bisection (Phương pháp chia đôi)

- Phương pháp Newton-Raphson (hay còn gọi là pp Newton – pp tiếp tuyến)

- Phương pháp Secant (Phương pháp cát tuyến, dây cung)

Độ chính xác

Độ chính xác có liên quan đến sự gần với các giá trị thực

Có thể được tính nếu giá trị thực được biết:

Định nghĩa sai số – Sai số thực

Sai số thực tuyêt đối

Phần trăm sai số tương đối

Sai số ước tính

Khi giá trị thực không được biết:

Sai số tuyêt đối ước tính

Phần trăm sai số tương đối

Ea = |Giá trị ước tính hiện tại – Giá trị ước tính trước|

εa = {| Giá trị ước tính hiện tại – Giá trị ước tính trước|/| Giá trịước tính hiện tại |}*100

Et = |Giá trị thực – Giá trị xấp xỉ|

εt = {|Giá trị thực – Giá trị xấp xỉ|/|Giá trị thực|}*100

Tìm nghiệm phương trình

Những vấn đề này được gọi là tìm nghiệm phương trình

Cho trước một hàm liên tục f(x), tìm giá trị r sao cho f(r) = 0

Nghiệm của phương trình

Một số r thỏa mãn một phương trình được gọi là nghiệm của

Pt có 2 nghiêm đơn -2 và -1 và 1 nghiệm kép 3 (lặp lại 2 lần)

Khoảng phân ly nghiêm: Khoảng [a,b] được gọi lã khoảng phân ly

nghiêm của phương trình nếu nó chứa 1 và chỉ một nghiệm của phươngtrình đó

Lập luận

 Bất kỳ thứ tự đa thức bậc n có đúng n zero (Zero có thể gồm : sốthực và phức và có thể lặp nhiều lần)

 Bất kỳ đa thức với bậc lẻ có ít nhất một zero thực

 Nếu 1 hàm có 1 zero ở x = r với lặp lại m lần khi đó hàm và đạohàm (m-1) đầu tiên là zero ở x = r và đạo hàm lần m ở r thì

Phương pháp số

Nhiều phương pháp có sẵn để giải phương trình phi tuyến Trong

môn học này chúng ta sẽ học 3 phương pháp:

 Phương pháp Bisection

 Phương pháp Newton

 Phương pháp Secant

Tiêu chuẩn hội tụ

Một chuỗi x1, x2, …., xn, được xem

là hội tụ tới x nếu mỗi ε > 0 tồn

tại N sao cho

n

x     x  n N

Các tiêu chuẩn hội tụ

n 1 n

n 1

2 n

n 1

p n

Tốc độ hội tụ

• Chúng ta có thể so sánh các phương pháp khác nhau về tốc độ hội tụ của chúng

• Hội tụ bậc hai là nhanh hơn so với tụ tuyến tính

• Một phương pháp với hội tụ bậc q hội tụ nhanh hơn so với một phương pháp với hội tụ bậc p nếu q> p

• Phương pháp hội tụ bậc p> 1 được cho là có sự hội tụ siêu tuyến tính

Phương pháp Bisection : Giới thiệu

- Phương pháp Bisection là một trong những phương pháp đơn giảnnhất để tìm zero của một hàm phi tuyến

- Để sử dụng phương pháp này chúng ta cần biết khoảng nghiệm banđầu mà được biết đến có chứa zero của hàm

- Phương pháp này làm giảm một cách hệ thống các khoảng phân lynghiệm này Nó làm điều này bằng cách chia khoảng này thành haiphần bằng nhau, thực hiện một thử nghiệm đơn giản và dựa trên kếtquả của các thử nghiệm, một nửa trong khoảng này được bỏ đi

- Quá trình này được lặp đi lặp lại cho đến khi kích thước khoảngphân ly nghiệm mong muốn thu được

 Để hàm f(x) định nghĩa trên khoảng

phân ly nghiệm [a,b]

Nếu 1 hàm là liên tục và f(a) và f(b)

trái dấu (i.e f(a)*f(b) < 0) khi đó hàm

có tối thiểu 1 zero trong khoảng [a,b]

Nếu hàm là liên tục trên [a,b] và f(a), f(b) trái dấu, phương pháp

Bisection đạt 1 khoảng phân ly nghiệm mới mà còn lại chỉ một nữacủa khoảng phân ly nghiệm hiện tại, và các dấu của hàm tại các điểm cuối của khoảng phân ly nghiệm khác nhau

Điều này cho phép chúng ta lặp quá trình Bisection để giảm khoảngnghiệm mong muốn

Các giả định:

 Cho trước khoảng phân ly nghiệm [a,b]

 f(x) liên tục trên [a,b]

 f(a) và f(b) trái dấu với nhau (i.e f(a)*f(b) < 0 )

Những giả định này bảo đảm tồn tại tối thiểu 1 zero trên [a,b] vàphương pháp bisection có thể được dùng để đạt một khoảng

nghiệm nhỏ hơn mà chứa zero

3 Nếu (If) f(a)*f(c) < 0 (then) khi đó

khoảng mới [a, c]

Nếu (If) f(a)*f(c) > 0 (then) khi đó

khoảng mới [c, b]

Kết thúc vòng lặp

a

b f(a)

f(b) c

Phương pháp Bisection

a 0

b 0

a 1 a2+ + -

+ -

+ +

-Sau mỗi lần lặp khoảng phân ly

nghiệm sẽ giảm 1 nữa

Sơ đồ của pp Bisection.

Bắt đầu: Cho trước a,b

xét (b-a) /2<ε Đúng

Đúng

Sai

f(x) thì liên tục trên khoảng [0, 2] và f(0)*f(2) = 1*3 = 3 > 0.

Giả định không thỏa mãn

Ước tính tốt nhất và sai số

Các ước tính tốt nhất cho zero của hàm f (x) sau lần lặp đầu tiên của phương pháp bisection là điểm giữa của khoảng nghiệm ban đầu:

f(b) c

Hai tiêu chuẩn dừng thông thường

1 Dừng sau 1 số lần lặp cho trước

2 Dừng khi sai số tuyệt đối nhỏ hơn 1 giá trị cho

trước

Sai số

Tóm tắt

 Khoảng phân ly nghiệm ban đầu: [0.5,0.9]

 Sau 5 lần lặp: Khoảng nghiệm: [0.725, 0.75]

 Ước tính cho nghiêm: 0.7375 và |Sai số | < 0.0125

a=.5; b=.9;

u=a-cos(a);

v=b-cos(b);

for i=1:5 c=(a+b)/2 fc=c-cos(c)

if u*fc<0 b=c ; v=fc;

else a=c; u=fc;

end end

c = 0.7000

fc = -0.0648

c = 0.8000

fc = 0.1033

c = 0.7500

fc = 0.0183

c = 0.7250

fc =

Một chương trình Matlab của pp Bisection

Ví dụ: Tìm nghiệm của f(x) trong khoảng [0,1]:

Bài tập

1 Tìm nghiệm phương trình:

f(x) = -0.5x2 + 2.5x + 4.5

Dùng 3 lần lặp với phương pháp Bisection Giá trị ban đầu x0 = 5

và x1 = 10 Tính sai số sau mỗi lần lặp

2 Tìm nghiệm phương trình với phương pháp Bisection :

f(x) = 5x3 - 5x2 + 6x – 2

Giá trị ban đầu x0 = 0 và x1 = 1 Lặp cho đến khi sai số dưới 1%

3 Xác định nghiệm dương ln(x2) = 0.7

Dùng 5 lần lặp với pp bisection với giá trị ban đầu x0 = 0.5 và x1 =

2 và tính sai số sau mỗi lần lặp

Phương pháp Newton-Raphson

(Còn được biết như là pp Newton)

 Cho một nghiệm dự đoán ban đầu x0, phương pháp

Newton-Raphson sử dụng thông tin về hàm và đạo hàm của nó tại điểm

đó để tìm một nghiệm dự đoán tốt hơn

Giả định:

 f(x) liên tục và đạo hàm f’(x) được biết

 Cho trước giá trị đoán ban đầu x 0 sao cho f’(x 0 ) ≠ 0

Nếu giá trị nghiệm ban đầu là x i,

khi đó tiếp tuyến tới hàm của x i là

f’(x i ) được kéo xuống đến trục x

để cung cấp một ước tính của

nghiệm ở x i+1

Độ dốc

Phương pháp Newton

Cho trước: Một nghiệm dự đoán (giá trị) ban đầu của f(x) = 0

Làm thế nào để ước tính nghiệm tốt hơn cho lần lặp sau?

Lý thuyết Taylor: f(x + h) ≈ f(x) + f’(x)h

Tìm h sao cho f(x + h) = 0

→ h ≈ -f(x)/f’(x)

Một giá trị mới của nghiệm : xi+1 = xi - f(xi)/f’(xi)

Công thức Newton - Rapshon

X X

FP

X FP FP

function

X X

F

X F F function

* 6 2

^

* 3

) ( ]

[

1 2

^

* 3 3

^

) ( ] [

for i 0 :n

f (x )

x x

f '(x ) end

F X

X

i for X

PROGRAM MATLAB

) ( /

) (

5 : 1 4

Giá trị thể hiện trong bảng

Ví dụ

Dùng pp Newton đề tìm nghiệm của f(x) = x3 – x - 1

Dùng giá trị ban đầu: x0 = 1

Ví dụ

Dùng pp Newton đề tìm nghiệm của f(x) = e-x – x

Dùng giá trị ban đầu: x0 = 1 Dừng nếu

• Pp Newton hội tu tuyến tính gần các zero kép { f(r) = f’(r) =0 }

Trong trường hợp này, thuật toán sửa đổi có thể được sử dụng để lấy lại sự hội tụ bậc hai

(x  x

f

3

) (x x

Không hội tụ : pp Newton

Các ước tính của nghiệm thì đi

Pp Newton cho hệ phương trình phi tuyến.

Ví dụ

 Giải hệ phương trình sau với 2 lần lặp:

2 2

1 5

5 2

1 1

2 '

, 5

5

0

0 2

2

X x

y x

x F

y xy

x

x

x

y F

Giá trị ban đầu:

Lần lặp 2:

1 2

,14

2

11

2'

,2

1

0 2

2

2

X y

x

x F

y y

x

x x

y F

Giá trị ban đầu:

Giải hệ pt sau với 5 lần lặp:

Lần lặp

Xem lại Pp Newton

Nếu xi và xi-1 là 2 điểm ban đầu

Các giả định: Cho 2 điểm ban đầu xi và xi-1 sao cho f(xi) ≠ f(xi-1)

(x x )

x   x  f (x )  



PP Secant - Sơ đồ

1

; ) (

) (

)

( )

(

1

1 1

x f x

f

x

x x

f x

x

i i

i i

i i

i

1 ,

Phương pháp Secant hiệu chỉnh

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Phân tích hội tụ

i 1 i

Tỉ lệ hội tụ của pp Secant là siêu tuyến tính:

Pp này tốt hơn pp Biection nhưng không tốt bẳng pp Newton

Tóm tắt

- Một lần ước tính hàm mỗi lần lặp

- Không cần tính đạo hàm

- Chậm

- Cần biết khoảng phân ly nghiêm [a,b] chứa nghiệm i.e., f(a)*f(b) < 0

- Một lần ước tính hàm mỗi lần lặp

- - Không cần tính đạo hàm.

- Có thể không hội tụ

sao cho f(x0)- f(x1) ≠ 0.

Dùng pp Secant để tìm nghiệm của pt

Hai điểm ban đầu x0 = 1 và x1 = 1.5

_

k xk f(xk) _

Xem xét cơ cấu 4 khâu bản lề :

Góc α = θ4 – π : là thông số đầu vào

Để r1 nằm trên trục x: Phương trình trên được viết

lại theo các thành phần chiếu x và y

Từ 2 pt khử θ3 và với θ2 = Ф và θ4 = α + π, đơn giản ta có pt:

r cos( ) r cos( ) r cos( ) r 0

r sin( ) r sin( ) r sin( ) 0

Khi f(Фa)*f(Фc) < 0 và Фb = Фc cho lần lặp tiếp và giữ nguyên Фa.Tiêu chuẩn hội tụ : |Фa - Фb|≤ 0.000001o cho lần lặp thứ 24 và kếtquả trình bày ở bảng dưới

Thay Фc = 35o vào pt ban đầu

Với R1 = 5/3, R2 = 5/2, R3 = 11/6 và α = 40o, 2 phương trình trên là

Cho lần lặp đầu tiên Ф1 = 30o Khi đó

Bài tập

1 Tìm nghiệm phương trình:

f(x) = -0.5x2 + 2.5x + 4.5

Dùng 3 lần lặp với phương pháp Bisection Giá trị ban đầu x0 = 5

và x1 = 10 Tính sai số sau mỗi lần lặp

2 Tìm nghiệm phương trình:

f(x) = 5x3 - 5x2 + 6x – 2

Dùng 3 lần lặp với phương pháp Bisection Giá trị ban đầu x0 = 0

và x1 = 1 Lặp cho đến khi sai số dưới 10%

3 Xác định nghiệm dương ln(x2) = 0.7

Dùng 3 lần lặp với pp bisection với giá trị ban đầu x0 = 0.5 và x1 =

2 và tính sai số sau mỗi lần lặp

7 Tìm nghiệm của f (x) = 2x3 - 11.7x2 + 17.7x – 5

a) Dùng pp Newton-Raphson với 3 lần lặp, cho x0 = 3

b) Dùng pp secant với 3 lần lặp, cho x0 = 3, x1 = 4

10 Dùng pp secant để giải bài toán 4 khâu bản lề như trong bài giảng

có pt như sau:

Với R1 = 5/3, R2 = 5/2, R3 = 11/6 và α = 40o, và các giá trị cho lần lặpđầu tiên Ф = 30o và Ф = 40o Tính đến 5 lần lặp và sai số mỗi lần lặp

f ( )   R cos( ) R cos( )     R  cos(    )  0

8 Dùng pp Newton-Raphson và pp secant hiệu chỉnh (δ = 0.05)

để tìm nghiệm của f(x) = x5 - 16.05x4 + 88.75x3 - 192.0375x2 +

116.35x + 31.6875 dùng giá trị ban đầu của x0 = 0.5825 và sai

số ε = 0.01% Giải thích các kết quả đạt được

9 Tìm nghiệm của các pt sau bằng pp Newton-Raphson

y = -x2 + x + 0.75

y + 5xy = x2

Các giá trị ban đầu x0 = y0 = 1.2 và thảo luận kết quả