Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

Bài toán cơ bản của líthuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút ngẫunhiên, chẳng hạn tính trơn của tập hút, đánh giá số chiều của tập hút,nghiên cứu sự phụ thuộc l

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS Cung Thế Anh

Hà Nội - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫncủa PGS.TS Cung Thế Anh Các kết quả được phát biểu trong luận án làhoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một côngtrình nào khác

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Văn Thành

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, các thầy cô và cácanh chị đồng nghiệp công tác tại Tổ Tự nhiên, Trường THPT Chuyên Ngoạingữ, đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu.

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, đặc biệt là người vợyêu quý và hai bên nội ngoại, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viêntác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Một số kí hiệu dùng trong luận án 6

MỞ ĐẦU 7

1 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 7

2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 10

3 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 15

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 17

5 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 18

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 19

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 21

1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 21

1.1.1 Không gian Sobolev 21

1.1.2 Không gian Sobolev có trọng 22

1.1.3 Không gian các hàm của biến thời gian 23

1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 24

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản 24

1.2.2 Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên 26

1.2.3 Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert 27

1.2.4 Công thức Ito trong không gian Hilbert 30

1.3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN VÀ TẬP HÚT NGẪU NHIÊN 31

1.4 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 33

1.4.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 33

1.4.2 Một số bổ đề quan trọng 35

Chương 2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIẾN NGẪU NHIÊN 37 2.1 TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT NGẪU NHIÊN 37

2.1.1 Đặt bài toán 37

2.1.2 Sự tồn tại của tập hút ngẫu nhiên trong không gian L p(O) 41 2.1.3 Sự tồn tại tập hút ngẫu nhiên trong không gian D1 0(O, σ) 56 2.2 ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM DỪNG BẰNG NHIỄU NGẪU NHIÊN NHÂN TÍNH 63

2.2.1 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình tất định 64

2.2.2 Ổn định hóa nghiệm dừng bằng nhiễu ngẫu nhiên nhân tính 68

Chương 3 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKES-VOIGT NGẪU NHIÊN 74

3.1 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM 74

3.1.1 Đặt bài toán 74

3.1.2 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm 77

3.2 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NGHIỆM DỪNG 97

3.2.1 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của hệ

phương trình Navier-Stokes-Voigt tất định 97

3.2.2 Ổn định mũ bình phương trung bình 99

3.2.3 Ổn định mũ hầu chắc chắn 103

3.3 ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM 0 BẰNG ĐIỀU KHIỂN CÓ GIÁ ĐỦ LỚN BÊN TRONG MIỀN 105

3.3.1 Đặt bài toán 105

3.3.2 Sự ổn định của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên 106

3.3.3 Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi có giá đủ lớn bên trong miền 108

Chương 4 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ KELVIN-VOIGT-BRINKMAN-FORCHHEIMER NGẪU NHIÊN 112

4.1 Đặt bài toán 112

4.2 Tính ổn định mũ của nghiệm dừng 113

4.2.1 Ổn định mũ bình phương trung bình 113

4.2.2 Ổn định mũ hầu chắc chắn 117

KẾT LUẬN 121

1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 121

2 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 122 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 123

TÀI LIỆU THAM KHẢO 124

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

hệ Navier-Stokes-Voigt, Forchheimer

| · |p chuẩn trong không gian L p(O), p ≥ 1

(·, ·), | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H

((·, ·)), ∥ · ∥ tích vô hướng và chuẩn trong không gian V

A, B các toán tử dùng để nghiên cứu hệ

Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer

dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B

L2(K0, H) không gian tất cả các các toán tử tuyến tính

Hilbert-Schmidt từ K0 vào H.

MỞ ĐẦU

1 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên xuất hiện trong nhiều quá trìnhcủa vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn trong quá trình truyền nhiệt hoặckhuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các mô hình quầnthể trong sinh học khi mà sự tác động của ngoại lực là liên tục và ngẫu nhiên.Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoahọc và công nghệ Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm củanhiều nhà khoa học trên thế giới

Một trong những vấn đề định tính quan trọng khi nghiên cứu những lớpphương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên có ứng dụng là xét tính đặt đúng củabài toán và sau đó nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian

t → ∞ Đây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì nghiệm của phương trình

đạo hàm riêng ngẫu nhiên thường mô tả trạng thái của các mô hình thực tế

Do đó, khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xu thếphát triển của hệ trong tương lai và đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thíchhợp để đạt được kết quả mong muốn Về mặt toán học, điều này làm nảy sinhmột hướng nghiên cứu mới, được phát triển mạnh mẽ trong khoảng vài thập

kỉ gần đây là lí thuyết về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trìnhđạo hàm riêng ngẫu nhiên

Hai hướng nghiên cứu cơ bản về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phươngtrình đạo hàm riêng ngẫu nhiên:

• Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ động lực ngẫu nhiên

bằng cách sử dụng lí thuyết tập hút ngẫu nhiên Bài toán cơ bản của líthuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút ngẫunhiên, chẳng hạn tính trơn của tập hút, đánh giá số chiều của tập hút,nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của tập hút vào tham số,

• Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình đạo hàm riêng ngẫu

nhiên Nói riêng là nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệmdừng của hệ tất định tương ứng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên.Trong trường hợp nghiệm dừng này không ổn định, nghiên cứu bài toán

ổn định hóa nghiệm dừng bằng cách sử dụng nhiễu ngẫu nhiên phù hợphoặc sử dụng điều khiển phản hồi có giá trên biên hoặc bên trong miền.Dưới đây chúng tôi điểm qua một số kết quả tiêu biểu của hai hướng nghiêncứu nghiên cứu này, liên quan đến nội dung của luận án

Khái niệm tập hút ngẫu nhiên là một sự mở rộng của khái niệm tập húttoàn cục của hệ động lực tất định, được giới thiệu bởi H Crauel, A Debussche,

F Flandoli trong [29, 30] Từ khi ra đời đến nay, hướng nghiên cứu về tập hútngẫu nhiên và tính chất của nó đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhàtoán học trên thế giới Sau hơn hai thập kỉ phát triển, sự tồn tại và các tínhchất cơ bản của tập hút ngẫu nhiên đã được nghiên cứu cho một lớp khá rộngcác phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Nói riêng, trong [29, 30] các tácgiả đã xét lớp phương trình phản ứng khuếch tán với nhiễu ngẫu nhiên cộngtính dạng

ở đó số hạng phi tuyến f (u) tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức, và đã chứng

minh sự tồn tại tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi phươngtrình Tiếp tục phát triển vấn đề này, trong những năm gần đây, nhiều nhàtoán học đã quan tâm nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút ngẫunhiên cho lớp phương trình parabolic với nhiễu cộng tính∑m

j=1 hj (x)dW j hoặc

nhiễu nhân tính ∑m

j=1 b j c(x)udW j, trong miền bị chặn (xem [11, 23, 54, 55])

và miền không bị chặn (xem [16, 71, 75])

Một hướng khác để tìm hiểu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phươngtrình ngẫu nhiên là nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm và trongtrường hợp nghiệm không ổn định ta có thể ổn định hóa bằng điều khiển phùhợp Ổn định hóa phương trình tiến hóa bởi nhiễu ngẫu nhiên được bắt đầu

từ những năm 60 của thế kỉ trước với các kết quả đầu tiên cho hệ hữu hạnchiều và hiện nay là cho các hệ vô hạn chiều Có khá nhiều công trình nghiêncứu ổn định hóa về 0 của lớp phương trình vi phân hữu hạn chiều (xem, chẳnghạn, [10, 38, 61]) và vô hạn chiều (xem [25], bài báo tổng quan [24] và cuốnchuyên khảo [53]) Nói riêng, bài toán ổn định và ổn định hóa đã được nghiêncứu cho một số lớp phương trình parabolic và một số lớp phương trình trong

cơ học chất lỏng Tiêu biểu, năm 2000, T Caraballo, J Langa và J Robinson(xem [23]) đã xét tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình khuếch tán

với nhiễu nhân tính một chiều σu(t)dW (t) và hàm phi tuyến dạng đa thức

bậc ba Năm 2002, T Caraballo, J.A Langa và T Taniguchi đã nghiên cứudáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình Navier-Stokes ngẫu nhiên haichiều (xem [26]) Năm 2006, T Caraballo, A M Márquez-Durán và J Realnghiên cứu sự ổn định mũ trung bình bình phương và ổn định hầu chắc chắn

của lớp phương trình LANS-α ngẫu nhiên ba chiều (xem [27]) Xem thêm một

số kết quả gần đây theo hướng nghiên cứu thời sự này trong [58, 63, 64, 65].Tuy nhiên, theo như hiểu biết của chúng tôi, vẫn còn ít công trình nghiên cứu

ổn định hóa các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến trong không gian vôhạn chiều với trường hợp nghiệm dừng khác 0

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêngngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng, đặc biệt là các phương trình kiểu Navier-Stokes, cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới(xem, chẳng hạn, [13, 19, 20, 28]) Tuy nhiên, đối với nhiều lớp phương trình

ngẫu nhiên quan trọng trong cơ học chất lỏng, tính đặt đúng vẫn là vấn đề mởcần được nghiên cứu.

Bên cạnh những kết quả đã đạt được ở trên, vẫn còn ít kết quả liên quanđến dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình parabolic suy biến và một

số lớp phương trình ngẫu nhiên khác trong cơ học chất lỏng như hệ Stokes-Voigt, hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer, Chính vì vậy, chúng

Navier-tôi chọn hướng nghiên cứu "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương

trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên" để làm đề tài cho luận án tiến sĩ của mình.

2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Một trong những lớp phương trình parabolic được nghiên cứu nhiều trong

những năm gần đây là lớp phương trình parabolic suy biến kiểu Musina có dạng

Caldiroli-du + [ −div(σ(x)∇u) + f(u) + λu]dt = gdt + nhiễu ngẫu nhiên, x ∈ O, t > 0,

u |t=0 = u0.

Trong trường hợp tất định, phương trình này có thể xem là mô hình đơn

giản của quá trình khuếch tán nơtron (điều khiển phản hồi của phản ứng hạt

nhân) (xem [33]) Trong trường hợp này, u và σ tương ứng chỉ thông lượng nơtron và hệ số khuếch tán nơtron Các điều kiện về lớp trọng σ được đưa ra bởi Caldiroli-Musina trong bài báo [21]; nói riêng, hệ số khuếch tán σ là hàm

không âm, đo được và có thể bằng không tại hữu hạn điểm Một ví dụ điển

hình là σ(x) = |x| α , α ∈ (0, 2), trong trường hợp miền bị chặn Trong công

trình [21], Caldiroli và Musina đã giới thiệu không gian năng lượng tự nhiên

D1

0(O, σ) được định nghĩa là bổ sung đủ của C ∞

0 (O) đối với chuẩn

∥u∥ D1 (O,σ) :=

(∫

O σ(x) |∇u|2dx

)1/2

và chứng minh một số định lí nhúng tương ứng Dựa trên những kết quả này,trong những năm gần đây, đã có nhiều kết quả nghiên cứu về dáng điệu tiệmcận nghiệm của lớp phương trình này.

• Năm 2005 và 2006, các tác giả N.I Karachalios và N.B Zographopoulos

đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận thông qua sự tồn tạicủa tập hút toàn cục của nghiệm bài toán Cauchy-Dirichlet đối với lớp

phương trình trên trong trường hợp đặc biệt f (u) = −λu+|u| 2γ u, g(x) =

0 với 0 ≤ γ ≤ 2− α

N − 2 + α (xem [40], [41]).

• Năm 2008, các tác giả C.T Anh và P.Q Hưng (xem [4]) đã chứng minh

sự tồn tại tập hút toàn cục đối với bài toán Cauchy-Dirichlet trong trường

hợp dữ kiện ban đầu u0 ∈ D1

0(O, σ), g ∈ L2(O) cho trước và f thỏa mãn

điều kiện Lipschitz địa phương và tăng trưởng kiểu Sobolev Kết quảnày mở rộng đáng kể các kết quả trước đó của N.I Karachalios và N.BZographopoulos

• Trong các năm từ 2010 đến 2013, các tác giả C.T Anh, N.D Bình, T.

Q Bảo và L.T Thúy đã chứng minh được sự tồn tại và tính trơn của tậphút, đánh giá số chiều fractal của tập hút của lớp phương trình parabolicsuy biến trên khi số hạng phi tuyến tiêu hao và tăng trưởng kiểu đathức, trong cả hai trường hợp ngoại lực không phụ thuộc và phụ thuộcthời gian (xem [1, 2, 3]) Xem thêm các kết quả liên quan gần đây trong[18, 48, 49, 50]

Trong trường hợp ngẫu nhiên, đối với phương trình parabolic suy biến ngẫu

năm 2011, các tác giả M Yang và P.E Kloeden đã chứng minh được sự tồn

tại tập hút ngẫu nhiên trong L2(O) với O là một miền bị chặn (xem [72]) Một

số vấn đề về tính trơn của tập hút ngẫu nhiên, sự tồn tại nghiệm dừng, tính

ổn định và ổn định hóa của nghiệm dừng đối với lớp phương trình (1) vẫn còn

là vấn đề mở và sẽ được chúng tôi nghiên cứu trong luận án này

Tiếp theo, một lớp phương trình trong cơ học chất lỏng được nhiều nhà

toán học nghiên cứu trong những năm gần đây là hệ phương trình Stokes-Voigt có dạng

Navier-d(u − α2∆u) + [ −ν∆u + (u · ∇)u + ∇p]dt

= f (x, t)dt + nhiễu ngẫu nhiên, x ∈ O, t > 0,

u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0, u(x, 0) = u0(x), x ∈ O,

trong đó O là một miền bị chặn với biên ∂O trơn.

Trong trường hợp tất định, hệ phương trình này được giới thiệu bởi Oskolkov

trong [62] để mô tả chuyển động của chất lỏng loại Kelvin-Voigt không nén

được, nhớt, đàn hồi (với tham số đặc trưng cho tính đàn hồi α) Chú ý rằng khi α = 0, hệ Navier-Stokes-Voigt trở thành hệ Navier-Stokes cổ điển và khi

ν = 0 ta được mô hình Bardina dạng đơn giản hóa, mô tả chuyển động của các

chất lỏng không nhớt Hệ (2) đã được E.S Titi và các cộng sự sử dụng như

là một chỉnh hóa của hệ Navier-Stokes ba chiều, khi α nhỏ, giúp mô phỏng số

trực tiếp nghiệm của hệ Navier-Stokes trong cả trường hợp điều kiện biên tuầnhoàn và điều kiện biên Dirichlet (xem [22]) Thực tế, hệ Navier-Stokes-Voigt

thuộc lớp α-mô hình trong cơ học chất lỏng (xem [39] cho các trường hợp khác

của mô hình này)

Trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệmcủa hệ Navier-Stokes-Voigt ba chiều tất định thu hút được sự chú ý của nhiềunhà toán học (xem [8, 36, 42, 44, 62, 74]) Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệmđược chứng minh đầu tiên bởi A.P Oskolkov trong [62] Sau đó, khi ngoại lực

g không phụ thuộc vào biến thời gian, V.K Kalantarov đã chứng minh sự tồn

tại của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ này (xem [42]) Trong cáccông trình [43, 44], V.K Kalantarov và cộng sự đã phát triển kết quả trên,đánh giá được số chiều fractal của tập hút toàn cục, chứng minh được tínhdetermining modes và tính chính quy Gevrey của tập hút toàn cục (xem thêm[31]) Trong trường hợp ngoại lực phụ thuộc thời gian, năm 2013 các tác giảC.T Anh và P.T Trang đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm và sựtồn tại tập hút lùi hữu hạn chiều khi miền xét phương trình có thể không bịchặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré (xem [8]), kết quả này mở rộngkết quả trước đó trong [36] khi miền xét phương trình là bị chặn

Trong trường hợp ngẫu nhiên, năm 2012, H Gao và C Sun đã chứng minh

sự tồn tại và đánh giá số chiều Hausdorff của tập hút ngẫu nhiên đối với lớp

phương trình này với nhiễu ngẫu nhiên dW (t) (xem [37]) Năm 2013, T.Q Bảo

đã chứng minh tính trơn và tính liên tục của tập hút ngẫu nhiên với nhiễu

ngẫu nhiên dạng εh(x)dW (t) (xem [17]).

Tuy nhiên, số hạng ngẫu nhiên trong các bài báo này còn khá đơn giản, nóchỉ là nhiễu cộng tính hữu hạn chiều Do đó, sự tồn tại và duy nhất nghiệmcủa mô hình này là đơn giản bởi vì nó được suy ra từ kết quả của phương trìnhtất định tương ứng sau một phép biến đổi phù hợp Tuy nhiên, khi nhiễu ngẫunhiên là quá trình Wiener vô hạn chiều thì vấn đề nghiên cứu sự tồn tại vàduy nhất nghiệm khó khăn hơn nhiều Khó khăn gặp phải khi nghiên cứu (2),trước hết là sự xuất hiện của số hạng −α2∆u t , làm mất đi tính chất parabolic

(giống như hệ Navier-Stokes ban đầu) của hệ phương trình và áp dụng côngthức Ito cũng khó khăn hơn Cụ thể, nghiệm của hệ không trơn hơn điều kiệnban đầu, tương tự tính chất của phương trình hyperbolic và hệ quả là hệ độnglực tương ứng chỉ có tính chất tiêu hao yếu Tiếp theo, do xét lớp phươngtrình đạo hàm riêng ngẫu nhiên nên các bổ đề compact Aubin-Lions không sửdụng được và do đó các phương pháp thường dùng cho hệ phương trình tất

định không còn thích hợp nữa Để khắc phục, chúng ta cần sử dụng kĩ thuậtđánh giá tiên nghiệm bằng các bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy, cácbất đẳng thức phi tuyến và quá trình dừng.

Một số vấn đề về hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên mà chúng tôi quantâm nghiên cứu trong luận án này là:

• Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm.

• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng của hệ tất định tương ứng,

dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên (với giả thiết nghiệm dừng nàyvẫn là nghiệm của hệ ngẫu nhiên)

Một lớp hệ liên quan đến hệ Navier-Stokes-Voigt ở trên là hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trong miền O ⊂ R3 với biên

trơn ∂ O

d(u − α2∆u) + [ −ν∆u + (u · ∇)u + f(x, u) + ∇p]dt

= g(x)dt + nhiễu ngẫu nhiên, x ∈ O, t > 0,

u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0, u(x, 0) = u0(x), x ∈ O,

ở đây u = (u1, u2, u3) là hàm vectơ vận tốc, p = p(x, t) là hàm áp suất cần tìm, ν > 0 là hệ số nhớt, α > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng, u0 là vận tốc ban đầu, f (x, u) là hàm phi tuyến và nhiễu ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian H Ngoài những khó khăn do sự xuất hiện của

toán tử −α2∆u t như khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt, sự xuất hiện của

số hạng phi tuyến f (x, u) cũng làm việc nghiên cứu hệ (3) trở nên phức tạp

hơn Lúc này, trong hệ phương trình xuất hiện cùng lúc hai số hạng phi tuyến

(u · ∇)u và f(x, u) cần xử lí, đòi hỏi chúng ta phải kết hợp khéo léo các kĩ

thuật đánh giá Chú ý rằng khi f ≡ 0 ta có hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên

tương ứng, và khi α = 0 ta có hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu (xem [45]).

Trong trường hợp tất định, bài báo [7] của C.T Anh và P.T Trang là côngtrình nghiên cứu đầu tiên về hệ (3), ở đó đã chứng minh các kết quả về sự tồntại duy nhất của nghiệm yếu, sự tồn tại tập hút lùi và tính ổn định mũ củanghiệm dừng Cho đến nay, theo sự hiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quảnào về bài toán này trong trường hợp có nhiễu ngẫu nhiên Trong luận án này,chúng tôi sẽ nghiên cứu ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên lên tính ổn định củanghiệm dừng của hệ tất định

3 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

• Mục đích luận án: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp

phương trình parabolic suy biến ngẫu nhiên và một số lớp phương trìnhđạo hàm riêng ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-Voigt và hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer

• Đối tượng nghiên cứu: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương

trình parabolic suy biến ngẫu nhiên, của hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫunhiên và của hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhiên

• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận thông qua sự tồn

tại và tính chất của tập hút ngẫu nhiên, sự tồn tại và tính ổn định củanghiệm dừng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên và vấn đề ổn địnhhóa nghiệm dừng bằng nhiễu ngẫu nhiên hoặc điều khiển phản hồi phùhợp

◦ Nội dung 1: Phương trình parabolic suy biến ngẫu nhiên

du + [ − div(σ(x)∇u) + λu]dt = [f(x, u) + g(x)]dt + h(x, t, u)dW (t),

(4)trên miền bị chặn O ⊂ R N , N ≥ 2, với biên ∂O trơn, λ > 0.

∗ Trước tiên, chúng tôi xét nhiễu ngẫu nhiên là∑m

j=1 h j (x)dW j (t)

với {Wj } m

j=1 , m ≥ 1, m ∈ N là các quá trình Wiener độc lập hai

phía nhận giá trị trong tập số thực Trong trường hợp này, sự

tồn tại của tập hút ngẫu nhiên trong L2(O) cho hệ động lực

ngẫu nhiên sinh bởi (4) đã được nghiên cứu bởi P.E Kloeden

và M Yang trong [72] Mục đích của chúng tôi ở đây là nghiêncứu tính trơn của tập hút ngẫu nhiên thu được trong [72], cụthể là chứng minh sự tồn tại sự tồn tại của tập hút ngẫu nhiên

trong các không gian L p(O) và D1

0(O, σ).

∗ Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của

nghiệm dừng của phương trình tất định Sau đó, với nhiễu ngẫu

nhiên dạng h(t, u)dW (t), ở đây là W (t) là quá trình Wiener một

chiều nhận giá trị thực, chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng củanhiễu ngẫu nhiên này đối với sự ổn định của nghiệm dừng củabài toán (4) Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng một nhiễu ngẫu nhiênnhân tính với cường độ đủ lớn sẽ ổn định hóa được nghiệmdừng đã cho

◦ Nội dung 2: Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên ba

Voigt ba chiều với nhiễu ngẫu nhiên dạng h(t, u)dW (t) Những nội

dung nghiên cứu của chúng tôi trong phần này gồm:

∗ Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm;

∗ Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng bao gồm ổn định

theo nghĩa bình phương trung bình và ổn định hầu chắc chắn;

∗ Nghiên cứu sự ổn định hóa nghiệm dừng bằng điều khiển có giá

đủ lớn bên trong miền

◦ Nội dung 3: Hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer

ngẫu nhiên ba chiều

Những nội dung trong phần này là sự phát triển các kết quả về tính

ổn định của nghiệm dừng của hệ tất định trong công trình [7] Cụthể, chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên lêntính ổn định của nghiệm dừng

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các

phương pháp và công cụ của Giải tích hàm và Giải tích ngẫu nhiên:phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp hội tụ yếu trong Giải tíchhàm, sử dụng các tính chất của thời điểm dừng, các bổ đề xử lí số hạngphi tuyến và các bất đẳng thức để xử lí nhiễu ngẫu nhiên

• Để nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của tập hút, chúng tôi sử dụng các

phương pháp của lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, nói riêng là phươngpháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận.

• Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm và vấn đề ổn định hóa nghiệm, chúng

tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của Lí thuyết ổn định, Giải tíchngẫu nhiên và các kĩ thuật của Lí thuyết điều khiển

5 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đạt được những kết quả chính sau đây:

• Đối với lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính ngẫu nhiên:

Chứng minh được sự tồn tại của tập hút ngẫu nhiên trong các không

gian L p(O) và D1

0(O, σ) Thiết lập được điều kiện đủ cho sự tồn tại và

tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình tất định, và điều kiện để

ổn định hóa nghiệm dừng bằng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp trong trườnghợp nghiệm dừng này là không ổn định

• Đối với hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên: Chứng minh

được sự tồn tại và duy nhất nghiệm Thiết lập được điều kiện đủ chotính ổn định của nghiệm dừng tất định dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫunhiên và điều kiện ổn định hóa nghiệm dừng bằng điều khiển phản hồi

có giá bên trong miền

• Đối với hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhiên:

Thiết lập được điều kiện đủ cho tính ổn định của nghiệm dừng củaphương trình tất định dưới tác động của nhiễu ngẫu nhiên

Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việchoàn thiện việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trìnhđạo hàm riêng ngẫu nhiên phi tuyến, cụ thể ở đây là phương trình parabolicsuy biến nửa tuyến tính ngẫu nhiên, hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫunhiên và hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhiên

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 04 bài báo khoa họctrên các tạp chí chuyên ngành quốc tế, 01 bài báo hoàn thiện đang gửi đăng

và đã được báo cáo tại:

• Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội;

• Seminar tại Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán, Hà Nội, 21/12/2017;

• Hội nghị toàn quốc lần thứ V, “Xác suất – Thống kê: nghiên cứu, ứng

dụng và giảng dạy”, Đà Nẵng, 23-25/5/2015;

• Hội nghị toán học toàn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 14-18/8/2018.

• International mini-workshop in CIMPA- IMH-VAST research school on

"Recent developments in stochastic dynamics and stochastic analysis",Viện Toán học, Hà Nội, 5-18/3/2018

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danhmục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các khái niệm và

các kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong luận án

• Chương 2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính suy biến ngẫu nhiên Trình bày các kết quả về tính trơn

của tập hút ngẫu nhiên; sự tồn tại, tính ổn định và ổn định hóa nghiệmdừng bằng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp

• Chương 3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên Trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự tồn

tại và tính ổn định của nghiệm dừng theo nghĩa bình phương trung bình

và hầu chắc chắn Ổn định hóa nghiệm dừng bằng điều khiển phản hồi

có giá đủ lớn bên trong miền

• Chương 4 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Forchheimer ngẫu nhiên Trình bày các kết quả về tính ổn định mũ của

Kelvin-Voigt-Brinkman-nghiệm dừng theo nghĩa bình phương trung bình và hầu chắc chắn

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng để nghiêncứu các phương trình trong luận án Chúng tôi cũng trình bày một số kháiniệm và kết quả của Giải tích ngẫu nhiên trong không gian Hilbert, các kếtquả tổng quát về lí thuyết tập hút ngẫu nhiên, và một số kết quả bổ trợ sẽđược dùng trong các chương sau

1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM

1.1.1 Không gian Sobolev

Cho O là một miền bị chặn trong R N với biên trơn ∂ O Sau đây chúng tôi

nhắc lại khái niệm không gian các hàm khả tích bậc p, không gian Sobolev

trên miền O:

• L p(O), 1 ≤ p < ∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả

tích Lebesgue bậc p trên O với chuẩn, kí hiệu là ∥·∥L p(O) hoặc |·|p, đượcđịnh nghĩa như sau:

Chú ý rằng L p(O) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < ∞.

Đặc biệt, khi p = 2, L2(O) là không gian Hilbert với tích vô hướng

chặn hầu khắp nơi trên O với chuẩn

∥u∥L ∞(O) := ess sup

0 (O)) N để xét các hàm vectơ trong không gian N chiều.

1.1.2 Không gian Sobolev có trọng

Cho O là một miền bị chặn trong R N Giả sử α ∈ (0, 2) và σ : O → R là hàm

đo được Lebesgue, không âm và thỏa mãn điều kiện sau (xem thêm [21]):

(H α ) : σ ∈ L1

loc(O) và lim inf

x →z |x − z| −α σ(x) > 0 với mọi z ∈ O.

Khi đó ta định nghĩa không gian D1

0(O, σ) là bổ sung đủ của không gian

)1 2

Kí hiệu D −1(O, σ) là không gian đối ngẫu của D1

1.1.3 Không gian các hàm của biến thời gian

Giả sử X là không gian Banach thực với chuẩn ∥ · ∥X và không gian đối ngẫu

của nó được kí hiệu là X ′ Giả sử [a, b] ⊂ R là một đoạn đóng Trong mục này,

ta giới thiệu các không gian hàm sau:

• Không gian L p (a, b; X), 1 ≤ p ≤ ∞, gồm tất cả các hàm đo được u :

[a, b] → X với chuẩn

Khi đó L p (a, b; X) là một không gian Banach và nó là phản xạ nếu

1 < p < ∞ Không gian liên hợp của L p (a, b; X) là L p ′ (a, b; X ′) với

1/p + 1/p ′ = 1.

• Không gian C([a, b]; X) gồm tất cả các hàm u : [a, b] → X liên tục từ

[a, b] vào X với chuẩn

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản

Trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của không gianxác suất, phần tử ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên trong một không gian

Banach tách được X Ta luôn kí hiệu B(X) là σ-đại số Borel trên X, tức là σ-trường được sinh ra bởi các tập mở của X.

Định nghĩa 1.1 Xét (Ω, F, P) là không gian xác suất với không gian mẫu

Ω, σ-trường F và độ đo xác suất P là một σ-hàm cộng tính từ F → [0, 1] Đặt

N = {A : A ⊂ Ω, ∃N ⊂ F, P(N) = 0 và A ⊂ N}

là tập hợp các tập có xác suất 0 Không gian xác suất (Ω, F, P) được gọi là đủ

nếu N ⊂ F Kí hiệu {Ft}t ≥0 là một họ các σ-trường không giảm của F, tức

là

Ft ⊂ Fs , với 0 ≤ t ≤ s

Ft được gọi là liên tục phải nếu Ft = ∩s>tFs với mọi t ∈ [0, +∞).

Trong luận án này, không gian xác suất (Ω, F, P) luôn được giả thiết là đủ

và Ft là liên tục phải

Định nghĩa 1.2 (Phần tử ngẫu nhiên) Một phần tử ngẫu nhiên trong X là

một ánh xạ u : Ω → X đo được Borel, tức là

u −1 (A) ∈ F, với mọi A ∈ B(X).

Nhận xét 1.1 Giả sử u : Ω → X là một phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach tách được X Khi đó ánh xạ chuẩn ∥ · ∥ : Ω → R, ω 7→ ∥u(ω)∥ là

đo được.

Định nghĩa 1.3 (Quá trình ngẫu nhiên) (i) Với mỗi t ∈ [0, T ], ánh xạ u(t) : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong X Khi đó, họ u = {u(t), t ∈ [0, T ]} được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong X.

(ii) Nếu với mỗi t ∈ [0, T ], phần tử ngẫu nhiên u(t) là Ft -đo được, thì u được

Định nghĩa 1.4 (Thời điểm dừng) Một biến ngẫu nhiên τ : Ω → [0, ∞] (có

thể nhận giá trị ∞) được gọi là thời điểm dừng nếu {ω : τ(ω) ≤ t} ∈ Ft với

Với mỗi M > 0, ta xét thời điểm dừng

inf{t ∈ [0, T ] : supt ∈[0,T ] ∥u(t)∥2

X ≥ M} trong trường hợp còn lại.Khi đó, ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.2 [19] Với τ M được định nghĩa như trên, ta có

lim

M →∞ P(τ M < T ) = 0, và lim

M →∞ τ M = T, với ω ∈ Ω, P − hầu chắc chắn.

1.2.2 Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên

Kí hiệu L p (Ω, F, P, X), p ∈ [1, ∞), là tập tất cả các lớp phần tử ngẫu nhiên

tương đương nhận giá trị trong không gian Banach tách được X (với quan quan hệ tương đương u ∼ v ⇔ u(ω) = v(ω), ω ∈ Ω, P-hầu chắc chắn) Theo

cách tương tự phần tử ngẫu nhiên thực, chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra

L p (Ω, F, P, X), p ≥ 1, là một không gian Banach (xem thêm [34]), tương ứng

với chuẩn

∥u∥p = E( ∥u∥ p)1/pvà

∥u∥ ∞ = esssupω ∈Ω ∥u(ω)∥.

Tương tự, với các không gian Banach L2(0, T ; X), L ∞ (0, T ; X), ta có các định

nghĩa không gian sau Các không gian này là không gian nghiệm của phươngtrình chúng tôi nghiên cứu ở Chương 3

Định nghĩa 1.5. i) Kí hiệu L p (Ω, Ft , P, L2(0, T ; X)) (hoặc ta sẽ dùng kí hiệu L p F t (0, T ; X) trong ngữ cảnh (Ω, Ft ,P) được xác định) là không giantất cả các quá trình ngẫu nhiên F × B([0, T ])-đo được u : Ω × [0, T ] → X

sao cho tương thích với bộ lọc (Ft)t ∈[0,T ] và thỏa mãn

ii) Kí hiệu L ∞ (Ω, Ft , P, L ∞ (0, T ; X)) là không gian tất cả các quá trình

ngẫu nhiên F × B([0, T ])−đo được u : Ω × [0, T ] → X sao cho tương

thích với bộ lọc {Ft}t ∈[0,T ] và bị chặn với (ω, t) hầu khắp nơi.

iii) Kí hiệu L p (Ω, Ft , P, C([0, T ]; X)) là không gian tất cả các quá trình

{u(t); 0 ≤ t ≤ T } nhận giá trị trong X, liên tục, Ft-đo được liên tục

1.2.3 Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert

Xét (Ω, F, P) là một không gian xác suất và K là không gian Hilbert tách được

với tích vô hướng⟨·, ·⟩ Chúng ta xét một toán tử tuyến tính đối xứng xác định

dương Q : K → K và T r(Q) < ∞ Khi đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn đầy

đủ {ek} ∞

k=1 của K và dãy các số thực không âm bị chặn µ k sao cho

Qe k = µ k e k , k = 1, 2,

Chúng ta có thể tưởng tượng toán tử Q như là một ma trận đường chéo ∞×∞

với các phần tử trên đường chéo chính là µ1, µ2, , µ n ,

Định nghĩa 1.6 (Quá trình Wiener trong không gian Hilbert) Một quá trình

ngẫu nhiên W = {W (t), t ∈ [0, ∞)}, nhận giá trị trong không gian Hilbert tách

được K được gọi là quá trình Wiener hoặc chuyển động Brown với toán tử phương sai Q nếu

• W (0) = 0;

• W là quá trình liên tục, tức là P−hầu chắc chắn các quỹ đạo của W là

liên tục;

• W là quá trình có gia số độc lập;

• W (t) − W (s), t ≥ s, là biến ngẫu nhiên Gauss trên không gian K với

trung bình 0 và phương sai (t − s)Q, tức là với mỗi a ∈ K, t ≥ s, biến

ngẫu nhiên vô hướng ⟨W (t) − W (s), a⟩ là một biến ngẫu nhiên Gauss và

với mọi a, b ∈ K, ta có

E ⟨W (t) − W (s), a⟩ = 0,

E (⟨W (t) − W (s), a⟩ ⟨W (t) − W (s), b⟩) = (t − s) ⟨Qa, b⟩ Chúng ta có thể gọi quá trình này là quá trình Q-Wiener.

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một định lí quan trọng về biểu diễn của quátrình Wiener trong không gian Hilbert

Định lí 1.1 ([32]) Cho {en} ∞

n=1 là một cơ sở trực chuẩn đầy đủ của không gian Hilbert tách được K Một quá trình Wiener nhận giá trị trong K có thể được biểu diễn dưới dạng

là các chuyển động Brown độc lập chuẩn vô hướng, tức là, W n (t) ∼ N (0, t),

EW n (t) = 0, EW n (t)2 = t và E(W n (t)W n (s)) = min {s, t} Chuỗi vô hạn (1.2) hội tụ trong L2(Ω) nếu T r(Q) = ∑∞

n=1 µ n < ∞ Từ biểu diễn này chúng ta cũng có W (t) là quá trình Wiener trong không gian K0 := Q 1/2 K và

trong đó W (t) là Q-Wiener trên không gian K0 với bộ lọc tương thích Ft :=

σ(W (s) : s ≤ t) là σ−đại số sinh bởi W (s), 0 ≤ s ≤ t và Φ(t, ω) là lớp hàm

được xác định như sau:

• Đặt K0 := Q 1/2 K, với Q 1/2 là một toán tử được định nghĩa bởi Q 1/2 e n =

• Bây giờ ta xét Φ : [0, T ] × Ω → L2(K0, H) thỏa mãn các tính chất sau:

◦ Φ là đo được và tương thích với bộ lọc Ft;

◦ Φ là khả tích cấp hai theo nghĩa sau

Theo như kết quả trong Định lí 1.1, W (t) có biểu diễn

với {Wn} là các quá trình Wiener tiêu chuẩn, vô hướng và độc lập Khi đó, ta

có định nghĩa tích phân sau:

1.2.4 Công thức Ito trong không gian Hilbert

Định lí 1.2 ([32]) Cho H là một không gian Hilbert tách được Xét u là

nghiệm của phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

du = b(u)dt + Φ(u)dW (t), u(0) = u0,

ở đây b : H → H và Φ : H → L2(K0, H) là khả tích cấp hai theo nghĩa (1.3)

và W (t) là quá trình Wiener nhận giá trị trong K Giả sử rằng F là trơn và xác định

ở đây F u và F uu là đạo hàm Fréchet, F t là đạo hàm riêng theo biến thời gian

và ∗ là kí hiệu của toán tử liên hợp.

Nhận xét 1.2 Cho ánh xạ không tuyến tính F : U ⊂ H → b H, khi đó toán

tử đạo hàm Fréchet của nó F u (u0) là một toán tử tuyến tính thuộc L(H, b H)

và F uu (u0) là một ánh xạ từ H × H vào b H Đặc biệt, xét hàm F (u) = ∥u∥2,

ta có F u (u0)h = 2 ⟨u0, h ⟩ và Fuu (u0)(h, k) = 2 ⟨h, k⟩ và xét phương trình đạo

hàm riêng ngẫu nhiên

du = b(u)dt + Φ(u)dW (t), u(0) = u0,

trong không gian Hilbert H Khi đó ta có công thức Ito dạng vi phân như sau

Nói nôm na, để mô tả một hệ động lực ngẫu nhiên ta cần mô tả hai yếu tố

ngẫu nhiên và động lực Ở đây, mô hình hóa ngẫu nhiên được cho bởi khái

niệm hệ động lực metric Cụ thể là, cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất

và {θt}t ∈R là một dòng các ánh xạ ngẫu nhiên từ Ω vào chính nó và bảo toàn

độ đo xác suất P, tức là θ0 là đồng nhất trên Ω, θ s+t = θ s θ t với mọi s, t ∈ R

và θ t(P) = P với mọi t ∈ R Khi đó, (Ω, F, P, (θ t)t ∈R) được gọi là hệ động lực

metric

Tiếp theo ta có khái niệm hệ động lực ngẫu nhiên trên không gian nền là

hệ động lực metric và không gian pha là một không gian Banach tách được,xem [11, Định nghĩa 1.1.1]

Định nghĩa 1.7 (Hệ động lực ngẫu nhiên trên không gian Banach) Cho X

là một không gian Banach tách được Một hàm đo được ϕ :R+× Ω × X → X

được gọi là một hệ động lực ngẫu nhiên trong X trên hệ động lực metric (Ω, F, P, (θt)t ∈R ) nếu với ω ∈ Ω, P−hầu chắc chắn,

đi đến khái niệm chính xác, chúng tôi trình bày lớp các tập quan tâm là cáctập ngẫu nhiên tăng chậm.

Định nghĩa 1.8 Một tập ngẫu nhiên bị chặn {B(ω)}ω ∈Ω của X được gọi là tăng chậm (tempered) tương ứng với (θ t)t ∈R nếu với ω ∈ Ω, P−hầu chắc chắn

Định nghĩa 1.9 (Tập hút ngẫu nhiên) Kí hiệu D là tập hợp các tập con

ngẫu nhiên tăng chậm của X Một tập ngẫu nhiên {A(ω)}ω ∈Ω ∈ D(ω) được

gọi là D-tập hút ngẫu nhiên của ϕ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn với

ω ∈ Ω, P-hầu chắc chắn,

(i) A(ω) là compact, và ánh xạ ω 7→ d(x, A(ω)) là đo được với mọi x ∈ X;

(ii) {A(ω)}ω ∈Ω là bất biến, tức là,

ϕ(t, ω, A(ω)) = A(θt ω) với mọi t ≥ 0;

(iii) {A(ω)}ω ∈Ω hút mọi tập trong D, tức là, với mọi {B(ω)}ω ∈Ω ∈ D,

lim

t →∞distX (ϕ(t, θ −t ω, B(θ −t ω)), A(ω)) = 0,

ở đây distX là nửa khoảng cách Hausdorff trong X,

distX (A, B) = sup

x ∈A yinf∈B ∥x − y∥X với A, B ⊂ X.

Sự tồn tại một tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên thường đượcchỉ ra bằng cách chứng minh sự tồn tại của tập hấp thụ ngẫu nhiên và tínhcompact tiệm cận Cụ thể,

Định nghĩa 1.10 Một tập ngẫu nhiên {K(ω)}ω ∈Ω ∈ D được gọi là tập D−hấp thụ ngẫu nhiên cho ϕ nếu với mọi B = {B(ω)}ω ∈Ω ∈ D và ω ∈

Ω, P−hầu chắc chắn, tồn tại t B (ω) > 0 sao cho

ϕ(t, θ −t ω, B(θ −t ω)) ⊂ K(ω) với mọi t ≥ tB (ω).

Định nghĩa 1.11 Một hệ động lực ngẫu nhiên ϕ được gọi là D-compact tiệm

cận lùi trong X nếu mọi ω ∈ Ω, P−hầu chắc chắn, {ϕ(tn , θ −t n ω, x n)}n ≥1 có

một dãy con hội tụ trong X với mọi t n → ∞,và xn ∈ B(θ−t n ω) với B ∈ D.

Kết quả tiếp theo được chứng minh trong [15, 29]

Định lí 1.3 ([15, 29]) Giả sử rằng ϕ là một hệ động lực ngẫu nhiên liên tục

có một tập D−hấp thụ ngẫu nhiên {K(ω)}ω ∈Ω Nếu ϕ là D-compact tiệm cận lùi thì tồn tại một tập hút ngẫu nhiên {A(ω)}ω ∈Ω và

• Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn L p: Giả thiết 1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞

• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho ξ(t) là một hàm khả tích,

không âm trên [0, T ] và thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân

1.4.2 Một số bổ đề quan trọng

Bổ đề 1.3 (Hệ quả của Định lí điểm bất động Brouwer) ([68, Chương 2, Bổ

đề 1.4]) Cho X là không gian Hilbert hữu hạn chiều với tích vô hướng [ ·, ·] và chuẩn [ ·], P là một ánh xạ liên tục từ X vào chính nó sao cho [P (ξ), ξ] > 0 với mọi [ξ] = k > 0 Khi đó, tồn tại ξ ∈ X sao cho [ξ] ≤ k và P (ξ) = 0.

Bổ đề 1.4 (Dạng yếu của định lí hội tụ bị chặn) ([51, Bổ đề 1.3]) Giả sử O

là tập mở bị chặn trong RN và giả sử {gj } là một dãy các hàm trong L p(O) với

∥gj ∥L p(O) ≤ C với mọi j = 1, 2, Nếu g ∈ L p(O) và gj → g hầu khắp nơi thì gj ⇀ g trong L p(O).

Bổ đề 1.5 ([19]) Nếu H, K là các không gian Hilbert và nếu {hn} hội tụ yếu đến h trong L2(Ω, Ft , P, L2(0, T ; L2(K0; H))), với mọi t ∈ [0, T ], khi n → ∞,

Bổ đề 1.7 (Bổ đề Borel-Cantelli) ([59, Bổ đề 2.4]) Nếu {Ak } ⊂ F và

∑∞

i=1 P(A k ) < + ∞, thì

P( lim

k →+∞ sup A k ) = 0.

Tức là, tồn tại một tập Ω0 ∈ F với P(Ω0) = 1 và một biến ngẫu nhiên có giá

trị nguyên k0 sao cho với mọi ω ∈ Ω0, ta có ω / ∈ Ak với k ≥ k0(ω).

Bổ đề 1.9 [56, Định lí 7, trang 139] Cho X là một quá trình martingale địa

phương không âm, tức là tồn tại một dãy không giảm các thời điểm dừng τn với τ n → ∞ (P−hầu chắc chắn) sao cho Xt ∧τ n là một martingale và X ≥ 0 Khi đó ta có

P({ω ∈ Ω : lim

t →∞ X(t, ω) < ∞}) = 1.

Chương 2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH SUY

BIẾN NGẪU NHIÊN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính trơn của tập hút toàn cục,tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình tất định và ổn định hóa nghiệmdừng bằng nhiễu ngẫu nhiên nhân tính phù hợp đối với một lớp phương trìnhparabolic suy biến nửa tuyến tính ngẫu nhiên trên miền bị chặnO ⊂ R N , N ≥

2, với số hạng phi tuyến tiêu hao và tăng trưởng kiểu đa thức

Nội dung của chương này được viết dựa trên các bài báo [1, 3] trong Danhmục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

2.1 TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT NGẪU NHIÊN

(Hα ) Hàm σ : O → R là một hàm đo được không âm thỏa mãn σ ∈ L1

loc(O)

và α ∈ (0, 2), lim infx →z |x − z| −α σ(x) > 0 với mọi z ∈ O;

(F) Số hạng phi tuyến f ∈ C0(R, R) tiêu hao và tăng trưởng kiểu đa thức, tức là, có một số p ≥ 2 sao cho với mọi u ∈ R,

là một toán tử tuyến tính, tự liên hợp, dương và có nghịch đảo compact Vì

vậy, tồn tại một hệ các vectơ cơ sở, đầy đủ (e j , λ σj) thỏa mãn