Slide 1 Chương 2 Giải hệ phương trình tuyến tính

Slide 1 Chương 2 Giải hệ phương trình tuyến tính Trường Đại Học Công Nghiệp Tp HCM Khoa Công Nghệ Cơ Khí IUH – 2022 ThS Hồ Thị Bạch Phương Véc tơ 2 1 2 3 1 0 0 0 1 0 e , e , e 0 0 1 0 0 0      .

Chương 2: Giải hệ phương trình tuyến tính

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM

Khoa Công Nghệ Cơ Khí

ThS Hồ Thị Bạch Phương

2 1

1 0

0 1

4 3

2 1

4 2

2 1

4 3

2 1

Giải hệ pt tuyến tính

 Một hệ phương trình là không

phù hợp nếu không tồn tại

nghiệm cho hệ phương trình:

321

Phép khử Gauss

 Phương pháp bao gồm 2 bước:

 Quá trình thuận: hệ được rút gọn tới ma trận tam giác trên (hay còn gọi là dạng bậc thang)

 Quá trình ngược: Giải hệ pt từ pt cuối cùng (hàng cuối của ma trận tam giác trên), giải cho xn ,xn-1,…x1.

0 0

' '

0

3 2 1

3 2 1

33

23 22

13 12

11

3 2 1

3 2 1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

b b b

x x x

a

a a

a a

a

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

Cộng các hàng lại với nhau:

Nhân bất kỳ hàng nào với hằng số khác 0

Biến đổi các phần tử của hàng

a

3 i n a

Bao nhiêu giải pháp mà hệ pt AX=B có ?

Giải được: Det(A) ≠ 0: ma trận thu gọn không có các hàng zero

Không giải được: Det(A) = 0: ma trận thu gọn có 1 hoặc nhiều hàngzero tương ứng với các phần tử B ≠ 0

Vô số nghiệm: Det(A) = 0 :ma trận thu gọn có 1 hoặc nhiều hàngzero tương ứng với các phần tử B = 0

Giải được Không giải được Vô số nghiệm

Nghiệm Không giải được Vô số nghiệm

Không thể !!!

Lập trình Code:

for k = 1: n-1

for i = k+1 : n

heso = ai,k / ak,kfor j = k+1 : n

ai,j = ai,j – heso* ak,jend

bi = bi – heso* bkend

end

xn = bn / an,nfor i = n-1 : 1

tong = bifor j = i+1 to n tong = tong – ai,j * xjend

xi = tong / ai,Iend

Các vấn đề với pp Gauss

o Nếu các phần tử pivot bằng không thì không sử dụng được

phương pháp khử Gauss

o Nếu các phần tử pivot (các phần tử trên đường chéo) rất bé

thì sẽ có sai số do các phép tính làm tròn các con số sau dấu

1

1 0

1

1 10

2

1 10

x x

PP khử Gauss với Scaled Partial Pivoting (SPP)

 Vectơ chỉ số được sử dụng bởi vì nó là dễ dàng hơn nhiều

để trao đổi một phần tử chỉ số đơn so với trao đổi các giá trịcủa một hàng đầy đủ

 Trong vấn đề thực tế với N rất lớn, sự trao đổi các phần tửcủa các hàng có thể không được thực tế

Tai sao véc tơ chỉ số

Quá trình thuận – Bước 2 Khử x2

Làm thế nào để biết kết quả đạt được là tốt ?

Kết quả chấp nhận khi phần tử có gí trị lớn nhất của R nhỏ hơn ε

1 2 3 4

0.0030.001

pt1 pt1 pt2 0 1 0.8333 x 1.1667

1

0pt3 pt3 pt2

64

/30

54

4/3,



• Nếu ma trận A đối xứng AT = A khi đó các giá trị riêng là số thực

• Nếu ma trận A đối xứng dương, khi đó các giá trị riêng là số dương

Ma trận vuông A (p × p), A là dương nếu, cho tất cả x ∈ Rp , xTAx > 0

Ma trận đối xứng - ma trận xác định dương:

Giá trị riêng – véc tơ riêng

Véc tơ riêng của 1 ma trận là các véc tơ mà thỏa pt: Ax = λx

Khi đó λ là giá trị riêng nếu det(A – λI) = 0

Ví dụ:

hoặc, (A – λI)x = 0

Phương pháp lặp để tìm giá trị riêng lớn nhất và véc tơ riêng.

Phương pháp power (lũy thừa)

[[A]   [I]]]{x} = 0 [A]{x} =  {x}

Giải thuật viết trên Matlab

% Cho trước véc tơ cột y ngẫu nhiên khác không

function [lambda,y]=powerMethod(A,y,n) % Đặt tên hàm

for (i=1:n)

y = A*y;

[cj] = max(abs(y)); % Giá trị lớn nhất của véc tơ y

lambda = y(j); % Giá trị riêng ước tính

y = y/lambda; % Véc tơ riêng ước tính

end

20 0

20 = 20

1 0 1

 0.75

1

 1 1

60

 80 60

 50

 0.75 1

 0.75

1 2

0

0 1

4

A

Véc tơ giả định ban đầu khác không { 1 1 1}T

Giải: Nhân ma trận [A] với {x}

1 1 1

1 0

0

1 2

0

0 1

6 0

1

5 1

3 5

Lần lặp 1:

2174

4

0435

0

217

01

10

0

12

0

01

0

217

0

1

6 4 2

0 1

6 4

2 0

6 0 1

1 0

0

1 2

0

0 1

0

1134

0

1

2174

4 0435

0

4783

0

2174

0

1134

4

0183

0

1134

0 1

1 0

0

1 2

0

0 1

0

0526

0

1 1134

4 0103

0

2165

0

1134

4

Lần lặp 4

Tiếp tục sẽ đạt kết quả cuối cùng λ = 4 và uk={1 0 0}T

Aw x

x A

Bx

Phương pháp Inverse Power

 PP Inverse Power tìm giá trị riêng nhỏ nhất

; x

1 x

A Bx

Bx x

A x

A Ax

A x

A B

; x Ax

1

1 1

Giá trị riêng được dùng để giải pháp các bài toán trong kỹ thuật liên quan đến dao động, độ đàn hồi, hệ thống dao động, v.v…

Giá trị riêng cũng quan trọng cho phân tích trong xác suất thống kê

Hệ Mass-Spring (Khối lượng – lò xo)

Vị trí cân bằng

Phương trình dao động hệ

m: là khối lượng vật1,2 và 3

k: độ cứng lò xo

x1, x2, x3 : độ giãnhoặc nén lò xo

Một hệ khối lượng và lò xo như sau: (bỏ qua các ma sát)

Từ lý thuyết dao động, các pt trên có thể biễu diễn theo: xi = aicos(ωt) và xi”= - ω2aicos(ωt), với ω: tần số và ai: biên độ.

Đặt λ = mω2/k các phương trình dao động được biến đổi như sau:

Sắp xếp

lại

Hoặc

Giải: 3 giá trị λ

0

01

0

00

1

Đáp án

7 Dùng pp power để xác định giá trị riêng lớn nhất và véc tơ riêng

8 Dùng pp power để xác định giá trị riêng lớn nhất và véc tơ riêng

tương ứng Véc tơ ban đầu khác không λ0 Tính 4 lần lặp