Chuyen de 7 tim an chua biet

CHUYÊN ĐỀ 7: TÌM ẨN CHƯA BIẾTToán tìm x là một trong các chủ đề thường gặp trong các kì thi HSG.. Để giải toán tìm x học sinh phải có kĩ năng cộng, trừ, nhân, chia các phân số, lũy thừa

CHUYÊN ĐỀ 7: TÌM ẨN CHƯA BIẾT

Toán tìm x là một trong các chủ đề thường gặp trong các kì thi HSG Để giải toán tìm x học sinh phải có kĩ năng cộng, trừ, nhân, chia các phân số, lũy thừa để giúp cho việc biến đổi đưa đẳng thức chứa x về dạng A.x = B từ đó suy ra được x = B : A

Bài toán tìm x đôi khi còn kết hợp phép tính tổng các số , tổng các phân số, tổng các tích,tổng các lũy thừa theo quy luật nên HS cần nắm vững và luyện thật chắc các bài toán tính tổng theo quy luật.

18

x x x x

x=

-Þ

16

x=

-

Vậy

12; 2;

1 2

x x

x x

x x

x x x

x x

x x



c,

1.27 39

13

3

x

x x

x x x

33

33

x y

Bài 45:

biết: a  b b c2  

Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0

+Nếu b   0 a   0 a   0

là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết

Vì x, y nguyên dương nên x – 617 và y – 617 là ước lớn hơn –617 của 6172

Do 617 là số nguyên tố nên xảy ra 3 trường hợp:

2 2

2xy 40 12y

    xy 6y20  y x.  6 20TH1: y 1  x 6 20  x26

 

2 1 23

Mà 7 là số nguyên tố nên 23 y27 y3; 4

Thay y vào ta tìm được x

Bài 2: Tìm các số nguyên x y ,

Vậy không có số nguyên x y ,

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương x, y, z thỏa mãn:

2xyz x y z  

Hướng dẫn giải

Giả sử x y z 

Ta có: 2xyz x y z 3z   Chia 2 vế cho z dương ta được 2xy 3  xy 1  xy 1

Do đó x = y = 1 Thay vào phương trình ban đầu ta được: 2z = z + 2 hay z = 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là (x, y, z) = (1, 1, 2); (1, 2, 1); (2, 1, 1)

Bài 6: Tìm các số nguyên a, b, c0, biết: a b c a c b a b c 3

Bài 7: Tìm số nguyên x, y biết: 42 3 y 3 4 2012   x4

Quy đồng chéo ta được : y x x y     xy

, Vì x - y và y - x là hai số đối nhau nên

VT < 0,

Và nếu x, y nguyên dương thì VP > 0 suy ra mẫu thuẫn

Vậy không tồn tại hai số x, y nguyên dương

Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

1 1

z

xy 

Hướng dẫn giải

Biến đổi thành: xyz x y

Do đối xứng của x và y nên có thể giả thiết rằng x y

Ta cóxyz x y y y 2y      xz 2.

Ta lựa chọn nghiệm trong các trường hợp sau: x = 1, z = 1; x = 2, z = 1; x =1, z = 2

Với x  0, x  1 thay vào không thỏa mãn

+)x  2thay vào ta được 32  42  52(luôn đúng), vậy x  2thỏa mãn

Bài 15: Tìm tất cả các số tự nhiên a b , sao cho : 2a    7 b 5   b 5

và

23

Trường hợp 2 : Có 3 số âm và 1 số dương :

 x2  4 0 x2  1 1 x2 4 , Do x là số nguyên nên không tồn tại x

2 2 : 2 1

.2 2252

x x

-=

-

2019 1

2019 1

2.9.3.10.4.11 88.951.10.2.11.3.12 87.96

=

2.3.4 88 9.10.11 95 88.9 331.2.3 87 10.11.12 96  96  4

Dạng 7 : Tổng các biểu thức không âm bằng 0

Bài 1: Tìm tất cả các cặp số  x y ; 

b a c

x y

x y

x y

x y

05

0

x y

x t

03

Vì:

2 2

x x

x y

Bài 21: Tìm a, b, c hoặc x, y, z thỏa mãn: 2x12 2y x  8 12 5.2  2

x y

x y y

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có :

10(x 2)  y x 0

Thì :

2 0

20

1 0

x y z

1 5

1 3

Vì m, n là số tự nhiên và m > n nên m n 1 2m n 1

    là 1 số lẻ lớn hơn hoặc bằng

1, Vế phải chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 nên

n m

1

5

b c a







Vì a,b,c là các số nguyên nên 5c1  1 50  c 1 a2,b2

Bài 4: Tìm hai số tự nhiên x, y biết : 2 3x1 y 12x

Với x 0 VT có tận cùng là 4, còn vế phải có chữ số tận cùng là 2 hoặc 0

mẫu thuẫn nên x = 0 và y = 1

Bài 9: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 2a342 7 b

Hướng dẫn giải

Xét a 0 VT 343 7 3 7b  b3

Với a  thì VT là 1 số chẵn, còn vế phải là 1 số lẻ (mâu thuẫn)0

Bài 10: Tìm a, b, c hoặc x, y, z tự nhiên biết: 3a9b183

Vế phải là 1 số chính phương nên không có tận cùng là 8 (mâu thuẫn)

Bài 12: Tìm a, b tự nhiên biết: 2a 80 3b

Hướng dẫn giải

Xét : a 0 VT  1 80 81 3  4 3b  b4

Nếu a   VT là 1 cố chẵn, còn VP là 1 số lẻ ( mâu thuẫn)0

Bài 13: Tìm x, y tự nhiên biết :

, Do 17, 3 là số nguyên tố nên x2, mà x là số nguyên tố nên x = 2

Lại có 1000 13 51 y  1000 13 y0 và y nguyên tố suy ra tìm y

Bài 16: Tìm số tự nhiên p, q biết :

Nếu x  thì vế trái là số chẵn, còn vế phải là số lẻ với mọi y (vô lý).0

Bài 19: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:

x  l Vậy cặp số (x; y) duy nhất tìm được là (2; 3)

Bài 22: Tìm tất cả các số tự nhiên m,n sao cho 2m2015 n 2016 n 2016

Khi đó n 2016 n 2016 2016

Nếu n2016  n 2016 n 2016 2016  0 2016

(loại)Nếu n2016 2n 2016 2016 n3024

(thỏa mãn)Vậy (m, n) =(0 ;3024)

Bài 23: Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn : 2x 2y 72

TH1 :

6 0

5 0

x x

5 0

25 0

x x

5 0

25 0

x x

Kết hợp với điều kiện ta có 2 x 6  và x3; 4; 5

Dạng 10 : Tìm các ẩn với điều kiện nguyên.

Bài1: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số

12

n n

n n



 là một số nguyên  3n 2 n 2Ư(3)    1; 3 

n n



 là một số nguyên

Bài 2: Cho

2 32

n A

n A n

 





72

n  phải là số nguyên.

x x

n  là số tự nhiên

Phải có giá trị nguyên hay 1x 2 x 2U 1  x 2  1;1  x3,x1

Bài 10: Tìm số nguyên n để

n B n

n n



 có giá trị là một số nguyên

Hướng dẫn giải

Bài 12: Cho

23

n A n







n A n







513

x Q

Mà

3

12 x     12  x U  (3)    3; 1;1;3    x   15;13;11;9 

Bài 14: Tìm x y , nguyên biết: xy  3 x y   6

Bài 16 Cho 2 biểu thức:

Với x thì x   2

1 2

Bài 17: Tìm các số nguyên x và y biết: 2xy 6y x 9

Do x y Z;  x ; y ∈ Z nên x  x +55 và y  y−11 là ước của 5 mà Ư(5)= 1; 5

Ta có bảng giá trị tương ứng sau:

n   n 5 là ước của 3

Lập bảng:

5

n 6 (tm) 4 (tm) 10 (tm) 0 (tm)

Vậy với n 0;4;6;10

thì M có giá trị là số nguyên.

Bài 21 : Tìm các số tự nhiên x, y biết: 2

Vậy cặp số nguyên dương ( ; )x y thõa mãn bài toán là ( ; ) (1;3)x y 

Bài 23: Cho A =2xy- 10x+3y Tìm các số nguyên x y, để A =28

Vì a, b, c, d là các số nguyên nên b d c d  ,  

là các số nguyên, ta có các TH sau:

chia cho 3 dư 2

Do đó trường hợp này loại

Vậy cặp số nguyên x y; 

5

  

mà x    x    4; 3; 2; 1    