Vậy có 11 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.. Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên của x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn... Vậy có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài to
Trang 1TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 39_TK2023 Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn
7
3 2
x x x
Vậy có 184 số nguyên x thỏa mãn
Câu 47_TK2023 Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn
Trang 2Xét hàm số 3 2
24( ) log (1 ) log 1
24(8) log (1 8) log 1 0
Vậy có 48 cặp giá trị nguyên ( ; )x y thỏa mãn đề bài
Câu 1: Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 2
Điều kiện: x 0
Trang 3ln 24
Trang 4Để bất phương trình log 60 x2120x10m10 3logx1 1
có miền nghiệm chứa đúng
4 giá trị nguyên của biến x khi 11m 2 0 9m2
Vậy có 11 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.
log x 4x 4 m 1 log x 2x3
với m là tham số Có tất cảbao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộckhoảng 1;3?
Khi đó 0 m 29, suy ra có 30 giá trị nguyên của tham số m
Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên của x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn
Trang 5log 2 2
nên phương trình vô nghiệm
Vậy có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình
Trang 6 có số nghiệm nguyên dương là
A vô nghiệm B 1 nghiệm C 2 nghiệm D 3 nghiệm.
x
6log x 1 log x log 0 1
2
6loglog
log 3
x x
log 3.log2 2 xlog 6 log2 2x
log 1 log 32x 2 log 62 log log 2 log 32 x 2 2 log 62 log2x1 x2 ( / )t m
Ta có bảng xét dấu
Vậy BPT đã cho có nghiệm duy nhất x 2.
Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn 2log3x2 log 23 x21 x1 x 5
Trang 7Suy ra f x 24x4 f 2x21 x24x 4 2x21 1 x 5
Vậy có 7 số nguyên x thoả mãn.
Câu 9: Có bao nhiêu số tự nhiên x sao cho mỗi giá trị x tồn tại số y thoả mãn
log 2 03
y y
Trang 8Có f 0 f 1 và dựa vào bảng biến thiên ta có 3 f x 3 x0;1
.Xét hàm số g x 2.2x có x g x 2.2 ln 2 1 0,x nên hàm số x y g x luôn đồng
thỏa mãn yêu cầu đề bài
Câu 12: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; thỏa mãn 0y2020và 3x3x 6 9 ylog3 y3
Lời giải Chọn C
Trang 9Ứng với mỗi giá trị x có một giá trị của y nên có 7 cặp số x y; nguyên thỏa mãn yêu cầu bàitoán.
Câu 13: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y;
Đặt log 23 x1 t 2x , ta được 3 1t 3 3 1 t 2y3 1 3 2y t 3.3t t 3.32y2y
.Xét hàm số f u 3.3u u f u 3.3 ln 3 1 0,u u f u
Ta có 2a 3b 2a1 log 23 a b log 23 a1 alog 23 b a1 log 2 3
Chú ý: giữa hai số thực xy sẽ có tất cả x y số nguyên.
Câu 15: Có bao nhiêu cặp số nguyên a b;
với 1a b 100 để phương trình a xlnb b xlna cónghiệm nhỏ hơn 1?
Lời giải Chọn B
Trang 10Trường hợp 1: a 2 b5;6; ;99 trường hợp này có 95 cặp số thỏa mãn.
Trường hợp 2: a 3 b4;5; ;99 trường hợp này có 96 cặp số thỏa mãn
Trường hợp 3: a 4 b5;6; ;99 trường hợp này có 95 cặp số thỏa mãn
Trường hợp 4: với mỗi a k 5;6; 98 thì bk1; ;99 có 99 k cách chọn b , trường
Câu 17: Có bao nhiêu cặp số nguyên a b;
với 1 a 100; 1 b 100 sao cho tồn tại đúng 2 số thực
Trang 11Lời giải Chọn D
a) Xét a hoặc 1 b thì phương trình có nghiệm duy nhất 1 x hoặc vô số nghiệm.1
b) Xét a ; 1 b 1
* Nếu a b có vô số nghiệm
* Vì vai trò của a , b như nhau ta chỉ cần tìm cặp số nguyên a b;
với a b sao cho 1
Vậy có cặp với và loại đi cặp có cặp thỏa mãn
Câu 18: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;
Đặt log xy x2 t xy x Khi đó giả thiết trở thành2t
Trang 12Câu 19: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;
x x
I y
y
II y
log y10 y2 y1024
Kết hợp điều kiện y nguyên dương, suy ra có 1024 số y thỏa mãn bài toán
Trang 13Câu 21: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;
thoả mãn 0y2020 và 3x3x 6 9 ylog3 y3?
Lời giải Chọn B
3
3x x 1 3 y log 3y
.Xét hàm số f t Ta có: 3t t f t 1 3 ln 3 0,t t
Suy ra hàm số f t
liên tục và đồng biến trên
Do đó * f x 1 f log 33 y x 1 log 33 y x 2 log3 y y 3x2
thoả mãn yêu cầu bài toán
Câu 22: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y;
thoả mãn 0 x 2020 và 3xx1 27y y
Lời giải Chọn B
liên tục và đồng biến trên 0; 2021
thỏa yêu cầu bài toán
Câu 23: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; thỏa mãn 0 x 2020 và log 22 x2 x 3y8y
?
Trang 14A 2021 B 2020 C 3 D 4.
Lời giải Chọn D
Ta có: log 22 x2 x 3y8y ĐK: x 1
Khi đó: log 22 x2 x 3y8y x1log2x1 3y23y
.Đặt tlog2x1 x khi đó trở thành 1 2t t2t 3y23y f t f 3y (*)
Vậy có 4 cặp số nguyên x y;
thỏa yêu cầu bài toán
Câu 24: Tìm giá trị lớn nhất P của biểu thức max P3x2y22x y Biết x , y ¡ thỏa mãn1
y
Trang 15
Câu 25: Cho hai số thực x, y thỏa mãn
2
2 2
ĐK: 1 , x 5 y 4 Ta có:
2
2 2
10
a b
a m P
t t
x y x y t
Thế thì
9 4
t t
y y
4 1
t t
y y
t y
Trang 16Với
Với x 1, ta có hệ 2
3 1
4 1
t t
y y
Với t 0 4t 2 f t 0
Vậy phương trình * vô nghiệm
Kết luận: Vậy x 0;1
Câu 27: Cho 0 x 2020 và log (22 x2) x 3y8y Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn
các điều kiện trên?
Lời giải Chọn D
Do 0 x 2020 nên log (22 x 2) luôn có nghĩa.
Ta có log (22 x2) x 3y8y
3 2
Suy ra hàm số ( )f t đồng biến trên Do đó (1) log (2 x1) 3 y ylog (8 x1)
Ta có 0 x 2020 nên 1 x 1 2021 suy ra 0 log ( 8 x1) log 2021 8 0 y log 20218
Vì y nên y 0;1; 2;3
.Vậy có 4 cặp số ( ; )x y nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0;0), (7;1),(63;2) ,(511;3)
Câu 28: Xét các số thực dương x y, thỏa mãn 3
B min
4 3 43
C min
4 3 49
D min
4 3 49
Lời giải Chọn A
Điều kiện
1
03
Trang 17- Với y , hệ trở thành 1
2 2
Trang 18t t
Dễ thấy luôn có ít nhất một nghiệm t 0 x0
Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn là y0, y 1
Câu 30: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực ,a b thỏa mãn1
t
a b
b a c
Ta có f u 2u 5 0 u 0;1
Bảng biến thiên của f u trên 0;1 là
Để tồn tại ,a b thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình phải có nghiệm
Trang 19Lời giải Chọn B
Ta có e3x5y ex3y1 1 2x 2y e3x 5y 3x 5y ex 3y 1 x 3y 1
Xét hàm số f t trên et t Ta có f t nên hàm số đồng biến trên e 1 0t
Khi đó f 3x5yf x 3y1 3x5y x 3y1 2y 1 2x
Thế vào phương trình còn lại ta được log23x m6 log 3 x m 2 9 0
Đặt tlog3x Số nghiệm của phương trình chính là số nghiệm của phương trình
t m t m Phương trình có nghiệm khi 0 3m212m0 0 m 4
log x+ =y log x +y =t
Điều kiện:x+ > y 0
Trang 20Suy ra 2 2 ( )2
33
t t
x y y
t t
y y
y y
Vậy có hai giá trị nguyên của x thỏa yêu cầu bài toán là x và 0 x 1
Câu 34: Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số x y; thỏa mãn
2 2
2 2
m
-3
y
x 2
2
1
J I
Nhận thấy x2y2 với mọi ,2 1 x y nên:
2 2
2 2
Trang 21Khi m 0 thì
22
x y
Khi m 0, tập hợp các điểm x y; thỏa mãn là hình tròn tâm J2; 2, bán kính là m
Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường tròn tâm I 1; 2, bán kính 2 và hình tròn tâm J2;2, bán kính m có đúng một điểm chung
Điều này xảy ra khi m 1 m 1
Câu 36: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; thỏa mãn:
2
20172016
Trang 22Ta có
( ) ( )
đồng biến trên [0,+¥ ).
Do đó ( )3 y2 x2 y x
é =ê
t t
Trang 23C m 2;3. D m 1;0.
Lời giải Chọn D
03
Trang 242y log 3 1y y2 log 3.2 y 2 log 3 02 phương trình có nghiệm.
2y log 3 1 y y2 log 3.2 y 2 log 3 02 phương trình vô nghiệm
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn 2 2
t t
Dễ thấy luôn có ít nhất một nghiệm t 0 x 0
Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn là y 0, y 1
Câu 40: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y,
Trang 25Vậy có 6 cặp số thỏa mãn đề bài.
Câu 41: Cho 0 x 2020 và log (22 x 2) x 3 y 8y.Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn
các điều kiện trên?
Lời giải Chọn D
Do 0 x 2020 nên log (22 x 2) luôn có nghĩa.
Ta có log (22 x 2) x 3 y 8y
3 2
log ( x 1) x 1 3 y 2 y
2
log ( 1) 3 2
log ( x 1) 2 x 3 y 2 y
Xét hàm số f t ( ) t 2t.
Tập xác định D và f t ( ) 1 2 ln 2 t f t( ) 0 t
Trang 26Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên Do đó (1) log ( 1) 32 x y x 1 2 3y
8
log ( 1)
Ta có 0 x 2020 nên 1 x 1 2021 suy ra 0 log ( 8 x 1) log 20218 .
Lại có log 2021 3,668 nên nếu y thì y 0;1;2;3
.Vậy có 4 cặp số ( ; )x y nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0; 0), (7;1),(63; 2),(511;3)
Câu 42: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;
thỏa yêu cầu bài toán
Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 3x2 9xlog3x25 3 0
Lời giải Chọn C
Ta có điều kiện xác định của bất phương trình là x 25
Trang 27Kết luận: có 26 nghiệm nguyên thỏa mãn.
Câu 44: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 3x2 9x log (2 x30) 5 0?
Lời giải Chọn C
Điều kiên xác định: x 30 Đặt f x( )3x2 9xlog2x30 5
Vậy có 31 số nguyên x thỏa mãn.
Câu 45: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2x2 4xlog2x14 4 0
?
Lời giải Chọn D
x x
Trang 28Suy ra bất phương trình f x ( ) 0 có tập nghiệm là: S 14;0 2
Do x x 13; 12; ; 2; 1;0;2
Vậy có 15 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 46: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2x2 4xlog3x25 3 0?
Lời giải Chọn D
Trang 29Và x x 30; 29; ; 5 nên có 26 giá trị nguyên của x
Câu 48: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2 1
Nghiệm của bất phương trình S 21; 2 5 Suy ra có 18 giá trị nguyên thỏa ycbt
Câu 49: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn
Trang 30Từ bảng xét dấu ta có: ( ) 0f x 21 x 4
Vì xZ x 20; 19; 18 ; 4
Vậy, có 17 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 50: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2 1
Nghiệm của bất phương trình S 21; 2 5 Suy ra có 18 giá trị nguyên thỏa ycbt
Câu 51: Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a , tồn tại ít nhất bốn số nguyên b ( 12;12)
thỏa mãn 4a b2 3b a 65?
Lời giải Chọn D
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( 12,12)
Thêm với a thuộc Z thì
2 2
là nghiệm nguyên lớn nhất và b ( 12;12)ta được 3 a2 12
Theo yêu cầu bài toán a2 12 a212 12a 12
Do a a 3, 2, 1,0,1,2,3
Trang 31
Câu 52: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau có đúng 5
nghiệm nguyên:
2 2
logm log x 6x5 0
?
Lời giải Chọn C
Điều kiện
150
x x m
2
2 2
Trang 32
2
1 2 2
22
Vậy có 625 số nguyên dương y thỏa yêu cầu bài toán
Câu 55: Số giá trị nguyên dương của m để bất phương trình 3x 2 3 3 x m 0
có tập nghiệmchứa không quá 6 số nguyên là
Lời giải Chọn C
Trường hợp 1:
1 2
3 3
Trang 33Do yêu cầu bài toán bất phương trình có 6 nghiệm nguyên nên
3
2430
m
m m
3 3
Do yêu cầu bài toán m nguyên dương nên không tồn tại giá trị m thoản mãn TH2.
Vậy có tất cả 243 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 56: Có bao nhiêu cặp số nguyên a b; với 1 a 100; 1 b 100 sao cho tồn tại đúng 2 số thực
a) Xét a hoặc 1 b thì phương trình có nghiệm duy nhất 1 x hoặc vô số nghiệm.1
b) Xét a ; 1 b 1
* Nếu a b có vô số nghiệm
* Vì vai trò của a , b như nhau ta chỉ cần tìm cặp số nguyên a b; với a b sao cho 1
Vậy có cặp với và loại đi cặp có cặp thỏa mãn
Câu 57: Có bao nhiêu số nguyên a a 2
sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:
alogx2loga x 2
Trang 34Lời giải : Chọn A
Điều kiện: x Đặt 2. mloga0
Khi đó phương trình trở thành: x m2m x 2
.Đặt y x m , 2 y 2 thì ta có hệ phương trình
x m
.Xét hàm số g x 2.2x có x g x 2.2 ln 2 1 0,x nên hàm số x y g x luôn đồng
thỏa mãn yêu cầu đề bài
Câu 59: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; thỏa mãn 0y2020và 3x3x 6 9 ylog3 y3
Trang 35A 2020 B 9. C 7 D 8.
Lời giải Chọn C
Ta có: f t 3 ln 3 3 0,t t Suy ra hàm số yf t đồng biến trên
Câu 60: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y;
Đặt log 23 x1 t 2x , ta được 3 1t 3 3 1 t 2y3 1 3 2y t 3.3t t 3.32y2y
.Xét hàm số f u 3.3u u f u 3.3 ln 3 1 0,u u f u đồng biến trên
Ta có 2a 3b 2a1 log 23 a b log 23 a1 alog 23 b a 1 log 2 3
Trang 36Câu 62: Có bao nhiêu cặp số nguyên a b;
với 1a b 100 để phương trình a xlnb b xlna cónghiệm nhỏ hơn 1?
Lời giải Chọn B
trường hợp này có 95 cặp số thỏa mãn
Trường hợp 4: với mỗi a k 5;6; 98
Trang 37Đặt log xy x2 t xy x Khi đó giả thiết trở thành2t
Vậy có tất cả 11 cặp số nguyên thỏa mãn
Câu 65: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;
y
Ta có: PT log 23 x12x1 log 3 y y (*)
Xét hàm số f t log3t t
trên 0; Khi đó 1 1 0
Trang 38Điều kiện xác định:
2 log 4 00
x x
x x
Vậy có 24 giá trị nguyên của x thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 67: Tập nghiệm của bất phương trình 4x 65.2x 64 2 log 3x3 0
có tất cả bao nhiêu sốnguyên?
Lời giải Chọn C
Vậy tập nghiệm của bất phương trình có 4 giá trị nguyên
Câu 68: Tập nghiệm của bất phương trình
Trang 39Điều kiện 3x1 1 0 3x1 1 x 1
Ta có x 1 là một nghiệm của bất phương trình.
Với x 1, bất phương trình tương đương với
327
t t
Vậy có 6 giá trị nguyên của x thỏa bài toán.
Câu 70: Cho bất phương trình logx1 4 log x 0
Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn bấtphương trình trên
Trang 40Câu 71: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình
Do m là số nguyên dương nên 2m >1 => log 2 3 m 0
Lời giải Chọn B
Nếu m 1 thì (2) log2m x log2m
Do đó, có 5 nghiệm nguyên ; 1 2; log2m; log2m
có 3 giá trịnguyên log2m3;4 512m65536
Suy ra có 65024 giá trị m nguyên thỏa mãn
Th3: Xét 3x2x 9 0 x2 x2 1 x2 Vì 1; 2 chỉ có hai số nguyên nên không
có giá trị m nào để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên
Vậy có tất cả 65024 giá trị m nguyên thỏa ycbt
Câu 73: Có bao nhiêu số nguyên a a 2
sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:
alogx2loga x 2
Trang 41Lời giải : Chọn A
Điều kiện: x Đặt 2. mloga0
Khi đó phương trình trở thành: x m2m x 2
.Đặt y x m , 2 y 2 thì ta có hệ phương trình
x m
Trang 42ĐK: 1 , x 5 y 4 Ta có:
2
2 2
10
a b
a m P