Chuyên đề 18 phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Kiến thức cần nhớ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của phương trình khác 0.. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trì

Chuyên đề 18 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

A. Kiến thức cần nhớ

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của

phương trình khác 0) Viết tắt: ĐKXĐ

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là

nghiệm của phương trình đã cho

 Chú ý Nếu A x( )= tại 0 x= hoặc x1 x= thìx2

( ) 0

A x ¹ khi x¹ x1 và x¹ x2

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình:

2

1 1

2

x

+

- Tìm cách giải.

a) Do 2x- 6=2(x- 3 ; 2) x- 4=2(x- 2) nên ĐKXĐ là x- ¹1 0;x- 2¹ 0 và x- ¹3 0 Thực hiện các bước giải

b) Ta tìm ĐKXĐ tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức 25x2- 1;5x+1 5; x- của phương trình1 khác 0 Mà 25x2- =1 (5x+1 5) ( x- 1) nên ĐKXĐ là 5x+ ¹1 0 và 5x- ¹1 0

Thực hiện đầy đủ các bước giải phương trình có ẩn ở mẫu

Giải

a) ĐKXĐ: x¹ 1;x¹ 2 và x¹ 3

( )2 Þ 25 4+ x=4 5( x- 1)+6 5( x+1)

25 4x 20x- +4 30x 6

Ví dụ 2 Giải phương trình 5 22 5 41 8 ( )

3

1

x

x

-+

-Giải

Ta có ( )

( ) ( )

2

1

4

x

-+

-+ ĐKXĐ: x¹ 4 và x¹ - 1

Quy đồng mẫu số hai vế và khử mẫu ta có phương trình:

-13x 13 x 1

=-Giá trị này không thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 3 Cho ( ) ( ) ( )

2 2

A x

-=

B x

-=

a) Tìm x để giá trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau;

( ) 5

A x

B x =

* Tìm cách giải: Bài toán tìm X để giá trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau quy về tìm nghiệm

của phương trình A(x) = B(x)

( ) 5

A x

Giải

( )

-=

ĐKXĐ: x x( 2+2x+ ¹2) 0 và 3x3+6x2+2x¹ 0 hay 3x x( 2+2x+ ¹2) 0

-(x2 x 6 3) ( x 15) (x2 x 6) (x 4) 0

(x2- -x 6 3) ( x- 15- x+ =4) 0

Û

( ) ( ) ( )

x

x x

x

x

-Cả ba giá trị này đều thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy với x=- 2;x=3;x=5,5 thì A(x) = B(x)

b) ( )

( ) 5

A x

( )

2

-=

=

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

ĐKXĐ: x¹ 0;x¹ - 2;x¹ 3;x¹ 4

Từ ĐKXĐ và phương trình trên suy ra 3(x- 5)- 5(x- 4)=0

( ) ( ) ( )

5 2

-+

-+

= suy ra 3(x- 5)- 5(x- 4)=0

Ta có thể hiểu như sau: Do x¹ 0;x¹ 2;x¹ 3; nên x x( - 2)(x- 3)¹ 0 Do đó chia cả tử và mẫu cho số

( 4)

3

5 5

x

và với x¹ 4 ta được phương trình tương đương 3(x- 5)- 5(x- 4)=0 Hoặc có thể hiểu như sau:

( ) ( ) ( )

5 2

-+

-+

= với x¹ 0;x¹ - 2;x¹ 3;x¹ 4 ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 2) ( 3) (3 5) 5( 4) 0

3 x 5 5 x 4 0 d o x x 2 x 3 0

Ví dụ 4 Cho phương trình ẩn x:

5

2

x

x

m x

+

-+

(với m là hằng số)

* Tìm cách giải: Đây là phương trình tham số Khi giải cần lưu ý biện luận theo các giá trị của tham số m.

Giải

2

2

2

x

a) Khi m = 5 ta có: 10 5 2 1( )

0

x- x

Với ĐKXĐ x¹ 5 và x¹ 10 thì

m

m=

-+ + Với ĐKXĐ m¹ 5 2( )Þ 100 - 4m2+75=100- 20m

2

Û

15 0

15

2,5

-ë

-ë

c) Điều kiện của nghiệm nếu có là x¹ 5 và x¹ 2m

5

2

x

x

+

=

-+

(x+2m x) ( - 2m) (+ x+5) (x- 5)=2(x- 5) (x- 2m)

-( ) ( )2 ( )

2

2

m

2

m

2

m

 Nếu m=- 2,5 thì (*) có dạng 0x=0 Phương trình nghiệm đúng " ¹ ±x 5

2

m

=

Nếu m=- 2,5 phương trình nghiệm đúng " ¹ ±x 5

Nhận xét: Câu b) có cách giải khác như sau:

2

m

m m

+

2

( )2

5

m

- =

=

-Ví dụ 5 Giải phương trình:

* Tìm cách giải: Các phân thức vế trái sau khi phân tích mẫu thành nhân tử có dạng ( )

1 1

( )

( )

1

1

-+

=

Giải

ĐKXĐ: y¹ 0;y¹ - 1;y¹ - 2;y¹ - 3;y¹ - 4;y¹ - 5

Biến đổi phương trình về dạng:

30

Û

1

0

y

+

Û

-2

5

y y

15

1

0

1

15

-ë

-ë Tập nghiệm là S= -{ 15;10}

Ví dụ 6 Giải phương trình (với z là ẩn; m, n là tham số):

( 2 )

1

n

m z

z

mz

-+

* Tìm cách giải Phương trình có ẩn ở mẫu chứa tham số, cần lưu ý ĐKXĐ và biện luận theo các tham số m

và n

Giải

Khi ấy phương trình (PT) trở thành ( 2 )

2

1 1

1

0

n

m z

z

mz

-+

2

1

0 1

m z

z

z z

-Û

-+

= +

2

2

2

1

z

m

-+

2

1

0

1 1

m n

m n

z

z

+ +

+

(m+ +n 1) (- m n+ - 1)z=0

Þ

 Nếu n n+ - =1 0 phương trình trở thành 2 0- z=0Û 0z=2

Phương trình này vô nghiệm Do đó PT vô nghiệm

 Nếu Û m n+ - ¹1 0 thì 1

1

m n z

m n

+

= + -+

Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy:

1 1 1

m n

z

m n

+

+

-+

vì nếu z = 1 thì sẽ suy ra 1 = -1, vô lí

1 1 1

m n

z

m n

+ +

1

m n

m n

Kết luận:

1

m n z

m n

+

= + -+

C Bài tập vận dụng

18.1 Giải các phương trình:

a)

2 2

4

5

-+

= +

-+

3

x- +x- =x- ;

1

1

2 2

x

x

+

-Hướng dẫn giải – đáp số

a) ĐKXĐ: x¹ 3;x¹ - Lưu ý: 4 x2+ -x 12= -(x 3) (x+4)

Đáp số: x=27

b) ĐKXĐ: x¹ 2;x¹ 3;x¹ 4 Biến đổi thành 2x2- 17x+30=0

Đáp số: x=2,5;x= 6

c) ĐKXĐ: x¹ 1;x¹ - Lưu ý: 2 x2+x- 2= -(x 1) (x+2) Đáp số x=- 0,8. d) ĐKXĐ:x¹ 1;x¹ 4 Lưu ý: x2- 5x+ = -4 (x 1) (x- 4)

Đáp số: x=2;x=- 5

18.2 Giải các phương trình:

b)

2

Hướng dẫn giải – đáp số

a) ĐKXĐ: x¹ 3;x¹ - Lưu ý: 3 x2- 9= -(x 3) (x+3)

Biến đổi thành - x2+4x- 4= Đáp số: 0 x=2

0

x

" nên ĐKXĐ: x¹ 2 Biến đổi thành - (x3- 3x2+ -3x 1)= Đáp số:0 x=1

18.3 Giải các phương trình:

a)

( 3 )

1

4

y

y

+ +

+

( ) ( )

2

2

2

y y

Hướng dẫn giải – đáp số

Các phân thức ở các phương trình trong bài xuất hiện đa thức bạc bốn ở mẫu số, việc phân tích các mẫu thành nhân tử đòi hỏi việc thêm, bớt các hạng tử một cách hơp lý, sáng tạo

( ) ( )

2

Phương trình có hai nghiệm là y=- và 4 y= 2

b) Ta có y2+2(y+ =2) y2+2y+4=(y+1)2+3> "0, y

và y2- 2(y- 2)=y2- 2y+4=(y- 1)2+ >3 0,"y

(y2 2y 4)(y2 2y 4) 0, y

( ) ( )

Cả hai giá trị đều thỏa mãn ĐKXĐ

c)

2

2

y y

2

( )

2

è

( )2

y +y + =y + y + - y = y + - y

(y2 y 1)(y2 y 1) 0, y

Thực hiện các bước giải ta được nghiệm của phương trình là y=1,5

18.4 Giải các phương trình:

0

0

d)

( )

2

2

7

-Hướng dẫn giải – đáp số

Biến đổi thành 2z3- 3z2- 4= Û0 (x- 2) (2z2+ + =z 2) 0

2

z

Û = do

2

ë

2

b) ĐKXĐ: z¹ 0 Ta có: 2z3- 3z2- 3z+ =2 0

(z 1) (z 2 2) ( z 1) 0 z 1;z 2

2

z=

Cả ba giá trị này đều thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình

t

4

z

é = ê

ê = ë

Đặt

2

t z

=

7

t

t

é=

ê

=-ë

2

1

2

z

z

-=

Û

-é =

ê

2

z

1

1

0

z

z

-é =

ê

Û

ê =

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={- 10;- 2; 1;1- }

18.5 Giải các phương trình:

( )

2 2

-b)

Hướng dẫn giải – đáp số

Trong các câu a); b) ta thấy xuất hiện các hạng tử chứa ấn cùng bậc trong các đa thức có hệ số giống nhau nên sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải Câu c) sau khi chia cả tử và mẫu cho mới xuất hiện ẩn phụ a) ĐKXĐ: t¹ - 2 Đặt t2- 4t= và u u¹ - 4và u¹ - 5

( ) ( 14) 0 5 0

u

é ê

-=

= + ë

1

t

t

-= Û

ê=

ë

Phương trình có hai nghiệm là t=- 1 và t=5

b) ĐKXĐ: " Î x do 2 ( )2

( )2

Đặt t2+ + = phương trình trở thành 2t 3 u u u- 1+u u+1=1712

Biến đổi phương trình thành 7u2- 17u- 12=0

(u 3) (7u 4) 0 u 3(do u >0)

2

t

é=

ê

-= Û

ê=

ë Nghiệm của phương trình là t=- 2 và t=0

c) ĐKXĐ: t2+ + = +3t 2 (t 1) (t+ ¹2) 0 khi t¹ - 1 và t¹ - 2.

Vì

2

Chia cả tử và mẫu của hai phân thức ở vế trái cho t ta được phương trình:

2

t

Giải phương trình với ẩn u ta được u2- u- 6=0Û (u- 3) (u+2)=0

3

u

2

1

t

t

( )2

Vậy nghiệm của phương trình là t=1 và t=2

18.6 Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hai vế có nhân tử chung Ta chuyển vế rồi đưa về dạng A x B x( ) ( ) =0

9

2

x

6

x

Û

=

9

3

8

x

cùng mẫu ta thấy xuất hiện nhân tử chung là (x- 5)

Từ đó có cách giải sau: Biến đổi phương trình về dạng:

1 5

4 1

0

x

x

x

-ç

+

Xét tử số (x- 5 4) ( - 4x)=0Û x=1 hoặc x=5

 Với x=1 thì 2x2- 9x+ = Þ phương trình không xác định.7 0

( 2 2)

4

x

Hướng dẫn giải – đáp số

Với ĐKXĐ trên ta biến đổi phương trình thành:

2

4

+

4x x a- +8x x a+ =5a - 15ax

( ) ( )

3, 2 0

a

a

é

=

ê ê

7

,5

x

é = ê

=

=

-ë

18.8 Tìm x biết m2 n2 m n2 22 1 1 2mn (m n)

Hướng dẫn giải – đáp số

÷

m n

Quy đồng và khử mẫu được phương trình

m n x+ + m n x mn m n+ + + = Û m n x+ éê + m n x mn+ + ùú=

 Nếu m n+ =0 thì phương trình thỏa mãn " ¹x 0

 Nếu m n+ ¹ 0 thì x2+(m n x mn+ ) + =0

(x m x n) ( ) 0 x m

é = -ê

ê =

18.9 Giải các phương trình:

3

0

Hướng dẫn giải – đáp số

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

3

-Quy đồng và khử mẫu được phương trình

( ) ( ) ( )

b) ĐKXĐ: xÏ - -{ 1; 2; 3; ; 19- - ; 2- 0}.

Nhận xét: với n NÎ thì

1

Biến đổi phương trình đã cho thành:

( ) ( )

22

x

-ê =

c) ĐKXĐ: xÏ {0; 2; 4;6;8;10}

Nhận xét: với n NÎ ta có

2

x n

x n

x n

+

Biến đổi phương trình đã cho thành:

( ) ( )=

2

2

x

é = ê

ê = ë

18.10 Giải các phương trình: 2 4 6 2 6 12 (2 5) 2 2 24

x

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có thể vận dụng các bước để giải Nếu quy đồng mẫu ngay sẽ xuất hiện các đa thức bậc ba, việc thực hiện sẽ dài Tuy nhiên có phương pháp khá sáng tạo và ngắn gọn như sau:

( ) ( )

( ) ( )

2

x

( ) ( )

2

x

-( ) ( )

2

4 3

x

6

x + x- =

(x 9) (x 4) 0 x 9

18.11 Giải các phương trình: 2 2 213 6

(Thi vào lớp 10 chuyên Quốc học Huế, năm học 1996 - 1997)

Hướng dẫn giải – đáp số

ĐKXĐ: 2x2- 5x+ = -3 (x 1 2) ( x- 3)¹ 0 khi x¹ 1 và x¹ 1,5

2

3

x

+ =

1 5

PT

+

+

( ) ( )

2

5

1

,5

t

ê=

ë

( )

2 2

3

3

2

2

x

x x

x

é

ê

ê

2 2

4

( )2 Û (x- 2 4) ( x- 3)= Û0 x= hoặc 2 3

4

4

x= x=

18.12 Giải phương trình

( )

3

3

3

1 1

x

x x

-(Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2000 - 2001)

Hướng dẫn giải – đáp số

a b+ =a + +b ab a+ Þb a +b = +a b - ab a b+

3

x

x

2

1

x y x

=

( )

Hay là

2

x

18.13 Giải phương trình 2 5 2 4 1 0

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Quốc học Huế, năm học 2002 - 2003)

Hướng dẫn giải – đáp số

0

Đặt x2- 4x+ = thì 5 y y³ và 1 - x2+4x- =- + Phương trình thành 1 y 4

1

0

l

oạ

y

y

 x2- 4x+ = Û5 5 x x( - 4)= Û0 x= hoặc 0 x=4 Tập nghiệm S={0; 4}

18.14 Giải phương trình

x - x+ +x - x+ +x - x+ + - x+ =

(Khảo sát chất lượng học sinh giỏi Tốn 8 huyện Thường Tín - Hà Nội, năm học2012 - 2013).

Hướng dẫn giải – đáp số

ĐKXĐ: xỴ {2;3; 4;5;6}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

PT

-( )( )

2

-2

x

18.15 Giải phương trình ( 2 )

3

4

22 4

x

x x

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2014 - 2015)

Hướng dẫn giải – đáp số

7

x¹ và x3¹ - 2

3

0

3

4 7

0

2

x x

ç

 Xét x3- 21x- 20= Û0 (x+1) (x- 5) (x+ = ta tìm được: 4) 0 x=- 4;x=- 1;x= thỏa mãn 5 ĐKXĐ

x - x+ =

(x 1) (x 2) (x 3) 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là S= -{ 4; 3; 1;1; 2;5- - }

18.16 Giải phương trình

2

2

-(Đề thi chọn đội tuyển Toán 9 huyện Thường Tín - Hà Nội, năm học 2014 - 2015)

Hướng dẫn giải – đáp số

2

2

Tập nghiệm S={ }0

18.17 Giải phương trình 2 ( )2

2

(Đề thi chọn đội tuyển Toán 9 quận Gò vấp TP Hồ Chỉ Minh, năm học 2014 - 2015)

Hướng dẫn giải – đáp số

ĐKXĐ: x¹ 0 và x¹ - 1.

( )

( ) ( )

( )

1

1

( )

1 0

0 1

0

é- =

ê

 Với x- = Û1 0 x=1 thỏa mãn ĐKXĐ

2

2

S ìïï üïï

18.18 Giải phương trình

(Khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 8 huyện Thường Tín - Hà Nội, năm học 2014 - 2015).

Hướng dẫn giải – đáp số

ĐKXĐ: " Î x

+

2

Hay x2- 2x+ = Û2 2 x2- 2x= Û0 x x( - 2)= Û0 x= hoặc 0 x=2

Tập nghiệm là S={0; 2}