CHUYEN DE 7 3

KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY Câu 12.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B.. Câu 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

Chủ đề 7.3 KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH ,

với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a

Kí hiệu: d M a( , ) =MH

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng( )a là MH , với

H là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( )a

Kí hiệu: d M( ,( )a =) MH

③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng

cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )a song song với

nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến

mặt phẳng ( )a :

d a��� a ���=d M��� a ���=MH M �a

⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ

một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

d���a b ���=d a��� b ���=d��� b���=AH a�a A a�

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ,a b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi

là đường vuông góc chung của ,a b IJ gọi là đoạn vuông góc chung của ,a b.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước

Các bước thực hiện:

Bước 1 Trong mặt phẳng (M d, ) hạ MH ^d với H �d

Bước 2 Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,

Bước 1 Tìm hình chiếu H của O lên ( )a .

- Tìm mặt phẳng ( )b qua O và vuông góc với ( )a .

- Tìm D =( ) ( )a �b

- Trong mặt phẳng ( )b , kẻ OH ^ D tại H.

 H là hình chiếu vuông góc của O lên ( )a .

Bước 2 Khi đó OH là khoảng cách từ O đến ( )a .

 Chú ý:

 Chọn mặt phẳng( )b sao cho dễ tìm giao tuyến với( )a

 Nếu đã có đường thẳng d^( )a thì kẻ Ox/ /d cắt( )a tại H.

2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ,a b

K I

b

a B

A



Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.

Cách 1: (Hình a)

- Dựng mp ( )a chứa a và song song với b.

- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM   () tại M

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.

 AB là đoạn vuông góc chung.

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ,a b

Cách 1 Dùng đường vuông góc chung:

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của , a b.

- d a b( ), =AB

Cách 2 Dựng mặt phẳng( )a chứa a và song song với b Khi đó: d a b( ), =d b a( ,( ) )

Cách 3 Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b Khi đó: d a b( ), =d a( ( ) ( ), b )

3 Phương pháp tọa độ trong không gian

a) Phương trình mặt phẳng (MNP) đi qua 3 điểm M x( M;y ;M z M) (,N x N;y ;N z N) (,P x P;y ;P z P):+ Mặt phẳng (MNP) đi qua điểm M x( M;y ;M z M) có vtpt nur=MNuuuur uuur�MP =(A;B;C) có dạng:

A x x- +B y y- +C z z- = �Ax+By C+ +D =+ Khoảng cách từ một điểm I x( I;y ;I z I) đến mặt phẳng (MNP):

d) Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP):

(ABC) có vecto pháp tuyến nuur1=AB ACuuur uuur� ; (MNP) có vtpt nuur2=MNuuuur uuur�MP , khi đó:

,

KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)

Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600

Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Góc

giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC

Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.

Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:

arctan

17 . B

10arctan

17 . C

85arcsin

17 . D

85arccos

17 .

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.

Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

A arccos 330

110 . B

33arccos

11 C

3arccos

11. D

33arccos

22

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA a= 3 M là trung điểm của cạnh

BC Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:

Câu 7. Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,

BA=BC=a , góc giữa mp SBC với ( ) mp ABC bằng ( ) 600 Gọi I là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giácSBC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC

Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300, góc ABO bằng 600

và AC=a 6 Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM Tính góc giữa hai đường thẳng

3 . B

93arctan

3 . D

31arctan

2 .

Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300, góc ABO bằng 600

và AC=a 6 Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM Tính góc giữa hai mặt phẳng

35 C

14arcsin

35 D

3arcsin

7

Câu 10.Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)

bằng 600, OB=a, OC a= 2 Gọi M là trung điểm của cạnh OB Góc giữa đường thẳng OA với mặt phẳng (ACM bằng:

A arcsin 3

4 7. B

1arcsin

7. C

3arcsin

2 7. D

1arcsin

2 7.

Câu 11. Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc Góc giữa đường thẳng , , AC và

( )

hai mặt phẳng AMC và  ABC bằng:

A arcsin 3

35. B

32arcsin

35 . C

1arcsin

35. D

34arcsin

35 .

KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY

Câu 12.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B Biết AD2a,

Câu 13.Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB a OC a ,  3 Cạnh OA

vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA a 3, gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.

Câu 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

Câu 17.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc � BAD1200 Các mặt

phẳng SAB và  SAD cùng vuông góc với mặt đáy Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối

chóp S.ABCD là

3

33

a Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng SBC theo a.

Câu 18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc � BAD1200 Các mặt

phẳng SAB và  SAD cùng vuông góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S.ABCD là  2 3 3

3

a .Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.

Câu 19.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB a Hai mặt phẳng SAB

2

a .Tính góc  tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.

A.  450 B.  900 C. 300 D  600

Câu 20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng SAB và  SAD cùng

vuông góc với mặt đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD là

Câu 21.Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng SAB và  SAC cùng vuông

góc với mặt đáy và SA a 3 Tính côsin của góc  giữa hai mặt phẳng SAB và  SBC 

Câu 22.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt

đáy Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là  450, gọi G là trọng tâm tam giác

SCD Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD.

Câu 23.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, � BAD1200 Hai mặt phẳng

KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC MẶT ĐÁY – HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC

(Cô Nguyễn Thị Gia Tường)

Câu 24.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặtphẳng SCD 

Câu 25.Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều

cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách h giữa hai

Câu 26.Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA a ; SB a 3 và mặt

phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi  M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh,

AB BC Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM DN, .

54

a

Câu 27.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD Gọi  H là trung điểm của AB

Tính côsin của góc giữa SC và SHD 

Câu 28.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 Tam giác SBC vuông tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD , đường thẳng SD tạo với mặt phẳng

60 Tính góc giữa SBD và  ABCD 

Câu 30.Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng  ABC là điểm  H thuộc cạnh AB sao cho HA2HB Góc giữa đường thẳng SC và

mặt phẳng  ABC bằng  600 Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

Câu 31.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, O là giao điểm hai đường chéo AC

và BD , có AB a AD a ;  3 Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên ABCD là trung điểm

H của OD , SH 2a Tính côsin của góc  AB SD , 

Câu 32.Cho tứ diện S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 3

Câu 33.Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh A , cạnh BC a , 6

-Câu 34.Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ��� có mặt đáy ABC là tam giác vuông tại B có

Câu 35.Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ��� có mặt đáy là tam giác đều, cạnhA A�3a Biết góc giữa

(A BC� )và đáy bằng 450 Tính khoảng cách hai đường chéo nhau A B� và CC� theo a là:

17 . C.

2 51arcsin

17 . D.uuur AA a a �    ;0; 3 .

Câu 38.Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ��� với đáy ABC là tam giác vuông tại C có AB8cm

� 600

BAC ,diện tích tam giác A CC� � là 2

10cm Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng(C AB� ) và (ABC)

Câu 41.Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ���� có AB a AD a ,  2 , góc tạo bởi đường thẳng A C�

và mặt đáy là 600 Gọi I là trung điểm của CD Tính góc giữa hai đường thẳng BD� và AI

A.arccos 3

3arccos

3 . C.

3arccos

4 . D

2 3arccos

42 . C.

21arccos

21 . D.

21arccos

12

LĂNG TRỤ XIÊN - GV NGUYỄN THANH SANG

Câu 44.Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB2a Hình chiếu vuông góc

của A� lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm  H của cạnhAB Biết góc giữa cạnh bên vàmặt đáy bằng 60 Tính khoảng cách từ điểm 0 B đến mặt phẳng ACC A�� theo  a là:

Câu 45.Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB2a Hình chiếu vuông góc

của A� lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm  H của cạnhAB Biết góc giữa cạnh bên vàmặt đáy bằng 600 Tính khoảng cách hai đường chéo nhau AC và BB� theo a là:

Câu 46.Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB2a Hình chiếu vuông góc

của A� lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm  H của cạnhAB Biết góc giữa cạnh bên vàmặt đáy bằng 600 Tính khoảng cách hai đường chéo nhau BC và AA� theo a là:

Câu 47.Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB2a Hình chiếu vuông góc

của A� lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm  H của cạnhAB Biết góc giữa cạnh bên vàmặt đáy bằng 0

60 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AC và BB� Khi đó cos :

Câu 48.Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB2a Hình chiếu vuông góc

của A� lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm  H của cạnhAB Biết góc giữa cạnh bên vàmặt đáy bằng 600 Tính góc giữa hai đường thẳng A C� và ABC là:

Câu 49.Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB2a Hình chiếu vuông góc

của A� lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm  H của cạnhAB Biết góc giữa cạnh bên vàmặt đáy bằng 600 Tính góc giữa hai mặt phẳng BCC B�� và  ABC là:

A.arctan1

4. B.arctan 2. C arctan 4 D arctan 2

Câu 50.Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có mặt đáy đáy ABC là tam giác vuông tại A,

Câu 51.Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có mặt đáy đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AC a 3.

Hình chiếu vuông góc của A� lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm  H của cạnh BC

Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0

30 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau AA� và BC là:

Câu 52.Cho hình lăng trụ ABC A B C ��� có mặt đáy ABC là tam giác đều cạnh AB2a Hình chiếu

vuông góc của A� lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC , biết

3arccos

5 . D.

6arccos

12 .

Câu 53.Cho lăng trụ ABCD A B C D ���� có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB a BC , 2a Gọi

,

H M lần lượt là trung điểm của OA AA�, Hình chiếu vuông góc của A� lên mặt phẳng

Câu 54.Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , đỉnh S cách đều các điểm A B C, ,

Biết AC2 ,a BC a , góc giữa đường thẳng SB và mp ABC bằng   0

Câu 56.Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc và OA OB OC a   , I là trung điểm

của BC Tính góc giữa hai đường thẳng AI và OB

A. arctan 5 B arctan 5 C.arctan 1

5 D.arctan1

5.

Câu 57.Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên bằng a Gọi

,

M N lần lượt là trung điểm SB và CD Tính góc giữa MN và mặt phẳng SAC 

A. arctan 2 B. arctan 2 C arctan 2 2 D. arctan 1

2 .

Câu 58.Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều ABC cạnh ' ' ' a, cạnh bên bằng 2a và

A A A B  A C Tính giá trịtan với  là góc giữa hai mặt phẳng A BC và mặt phẳng' 

 ABC 

Câu 59.Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa AD,  2a , cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 60 0 Gọi M N, là trung

điểm các cạnh bên SA và SB Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng DMN 

Câu 60.Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Góc giữa SB và mặt

phẳng SAC bằng  60 0 Gọi M là trung điểm của SB Tính khoảng cách giữa AM và CD

Câu 62.Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AD BC , // AD2a , BC CD a 

Biết SA ABCD SA, 3a Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AD

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)

Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600

[Cách 1] Phương pháp dựng hình

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G là hình chiếu

của S trên mặt phẳng (ABC) Gọi I là trung điểm của BC

suy ra góc giữa (SBC) với (ABC) là góc SIG.

Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên 1 3 3.

AG SBC I AI

S ABC SBC

B

z

y x

=�� ���

uur0; ;02

a IC

Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Góc

giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC

G

z

x

y

Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.

Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:

A arctan 85

17 . B

10arctan

17 . C

85arcsin

17 . D

85arccos

17 .

Hướng dẫn giải

[Cách 1] Phương pháp dựng hình

Gọi M là trung điểm CD, kẻ GK song song với SO và

cắt OM tại K, suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD),

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.

Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

A arccos 330

110 . B

33arccos

11 C

3arccos

11. D

33arccos

22

Hướng dẫn giải

[Cách 1] Phương pháp dựng hình

Gọi M là trung điểm CD Gọi E =BD AM� , suy ra GE/ /SA Suy ra (�BG SA, )=(�BG GE, )

a

GE= SA=

Kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K,

suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD)

O

G

K M

A����- ���

�

� �, suy ra 2 2 2; ; 10 2(1;4; 5) 2

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA a= 3 M là trung điểm của cạnh

BC Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, Gọi E=AC DM� suy ra E là trọng tâm tam giác BCD Gọi

I là hình chiếu của O lên mặt phẳng (SBC), I thuộc đường thẳng SM, suy ra hình chiếu H của E

lên mặt phẳng (SBC) nằm trên đoạn thẳng CI và 2

O

G

K E

M

B

C M

O

M E

z

y

x

Khi đó d A SBC( ,( ))=AK Ta có BC= AB2+AC2=a 3, và

2 336

Câu 7. Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,

BA=BC=a , góc giữa mp SBC với ( ) mp ABC bằng ( ) 600 Gọi I là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giácSBC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC

Vì tam giác SAC vuông tại A nên tâm đường ròn ngoại tiếp tam giác SAC là trung điểm I của

Suy ra SA=AB.tanSBA a� = 3.

Kẻ AD // BC, D là đỉnh thứ tư của hình bình bình hành ABCD

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.

Gọi O là trung điểm của AC, vì tam giác ABC vuông cân tại B nên OB^AC

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox OB Oy OC Oz OI� , � , �

Suy ra d AI BC( , )=d BC AIJ( ,( ))=d S AIJ( ,( ))

Ta có: Tam giác AIJ vuông tại J và 1

d AI BC d S AIJ

SD

Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300, góc ABO bằng 600

và AC=a 6 Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM Tính góc giữa hai đường thẳng

3 . B

93arctan

3 . D

31arctan

D E

J

Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300, góc ABO bằng 600

và AC=a 6 Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM Tính góc giữa hai mặt phẳng

35 C

14arcsin

35 D

3arcsin

H M

B

C

O A

H

M

B

C

OABC ABC

Câu 10.Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)

bằng 600, OB=a, OC a= 2 Gọi M là trung điểm của cạnh OB Góc giữa đường thẳng OA với mặt phẳng (ACM bằng:

A arcsin 3

4 7. B

1arcsin

7. C

3arcsin

2 7. D

1arcsin

H M

B

C z

y

x

a

3

2

a

MA= -���� a ���=

�uuur

hai mặt phẳng AMC và  ABC bằng:

A arcsin 3

35. B

32arcsin

35 . C

1arcsin

35. D

34arcsin

M

B

C

O A

M

B

C z

y

x

S

Kẻ OI vuông góc với AC tại I

Suy ra BI vuông góc với AC và ( , ) . 6

M

B

C I

O A

Câu 12.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B Biết AD2a,

Câu 13.Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB a OC a ,  3 Cạnh OA

vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA a 3, gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.

Gọi N là điểm đối xứng của C qua O Khi đó OM BN ( tính chất đường trung bình )//

do đó OM//ABN Suy ra  d OM AB ,  d OM ABN ,   d O ABN ,  

Tam giác ONB vuông tại O, đường cao OK nên

Câu 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

A  600 B.  900 C  300 D  450

Hướng dẫn giải

C1 : Phương pháp dựng hình

Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đó OF SA// �OF ABCD �OF  AC

Lại có AC BD nên ACBDF�ACBF Vậy �AC BF,  900

S

D A

D A

F

H A

B

C

M

O N

Câu 15.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và

Gọi H là trung điểm của AC khi đó MH SA// �MH ABC

Vậy hình chiếu của BM lên mặt phẳng  ABC là BH.

BM

C2 : phương pháp tọa độ

Gọi H là trung điểm của AC khi đó MH SA// �MH ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó 0;0;0 , 0;0; , 3;0;0

S

A

B

C

Tam giác SBC vuông tại B, đường cao BH nên ta có

Hai mặt phẳng SAB và  SAD cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt

phẳng ABCD nên  SAABCD Ta có 1     1    

C

Diện tích hình thoi ABCD là :

Câu 18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc � BAD1200 Các mặt

phẳng SAB và  SAD cùng vuông góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S.ABCD là  2 3 3

3

a .Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.

Hai mặt phẳng SAB và  SAD cắt nhau theo giao tuyến SA 

và cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD nên  SAABCD

Dựng đường thẳng d qua B và song song với AC.

C

Vậy tứ giác AHBO là hình chữ nhật nên AH BO a 3

Diện tích hình thoi ABCD là S ABCD  AB BC .sin 600 2 3a2

Câu 19.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB a Hai mặt phẳng SAB

2

a .Tính góc  tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.

A.  450 B.  900 C. 300 D  600

Hướng dẫn giải

Cách 1 : phương pháp dựng hình

Hai mặt phẳng SAB và  SAC cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng

Dựng hình bình hành ACBD như hình vẽ, khi đó: AC BD// ��AC SB,  �BD SB, 

Tính được SD a 2,SB a 2,BD a 2 nên tam giác SBD đều

C

Câu 20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng SAB và  SAD cùng

vuông góc với mặt đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD là 3

Hai mặt phẳng SAB và  SAD cắt nhau theo giao tuyến SA 

và cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD nên  SAABCD

Tam giác SAB vuông tại A nên SB SA2AB2 a 2

Tam giác SIB vuông tại I nên � 1 � 0

A

B

C

Cách 2 : phương pháp tọa độ

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ Khi đó theo cách 1 ta tính được SA a ,

Nên A0;0;0 , D a;0;0 , B 0; ;0 ,a  C a a; ;0 , S 0;0;a

Suy ra SDuuura;0;a SC,uuura a a SB; ; ,uur0; ;a a 

Mặt phẳng SCD có một vectơ pháp tuyến là  nr��SD SCuuur uuur, ��a a2; ;22 a2

Vậy �   1 �   0

2

Câu 21.Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng SAB và  SAC cùng vuông

góc với mặt đáy và SA a 3 Tính côsin của góc  giữa hai mặt phẳng SAB và  SBC 

Hai mặt phẳng SAB và  SAC cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt 

phẳng  ABC nên  SAABC

Gọi M là trung điểm của AB, do tam giác ABC đều nên CM AB,

lại có SAABC�SA CM suy ra CM SAB �CM SB.

D

S

C

n k SAB SBC

n k

r r

r r

Câu 22.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt

đáy Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là  450, gọi G là trọng tâm tam giác

SCD Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD.

Lại có SAABCDnên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABCD

Từ đó suy ra �SC ABCD,   �SC AC,  �SCA450

Vậy giác SAC vuông cân, suy ra SA AC a  2

Tam giác SAN vuông tại A, đường cao AK suy ra :

a AK

Câu 23.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, � BAD1200 Hai mặt phẳng

Hai mặt phẳng SAB và  SCD cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt 

phẳng ABCD nên  SAABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD khi đó

O

D M

S

A

B

C G

KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC MẶT ĐÁY – HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC

(Cô Nguyễn Thị Gia Tường)

Câu 24.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặtphẳng SCD 

D M

S

A

y z

Tam giác SHE vuông tại H : 2 2 2

2

3

73

4

a a

3

SCD

S ACD SCD

V S

� �,

30;0;

3

73

Câu 25.Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều

cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách h giữa hai

Hướng dẫn giải:

[Cách 1]: Phương pháp dựng hình

Trước tiên, ta cần kiểm tra xem SA và BC có vuông góc với nhau không.

Gọi H là trung điểm BC , SH là đường cao của hình chóp S ABC

Ta nhận thấy SA�SHAcó SH BC , và do ABC là tam giác vuông cân tại A nên:

AH BC Suy ra: BCSHA nên BCSA

Câu 26.Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA a ; SB a 3 và mặt

phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi  M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh,

AB BC Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM DN,

54

Câu 27.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD Gọi  H là trung điểm của AB

Tính côsin của góc giữa SC và SHD 