Từ gt ta suy ra MD=AF.
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC
=== óõó === ====== @õ?
======
§¸p ¸n m«n To¸n vßng 2 n¨m 2010
Câu 1 ( 3 điểm)
a (1,5đ) Đặt Đặt t=x2 ⇒t≥ 0, khi đó phương trình (1) có dạng
t2 − 2 (m+ 1 )t+m2 +m+ 2 = 0 ( 2 )
⇒PT(1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔PT(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
1
0 2
0 ) 1 ( 2
0 1
2
/
>
⇔
>
+ +
=
>
+
=
>
−
=
∆
m m P
m S m
b (1,5đ) Chứng minh được x1+x2+x3+x4 = 0 Khi đó
) (
2 ) (
4 3 2 1
2 4
2 3
2 2
2
1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
≤
⇒0≤−2 (x1x2+x1x3+x1x4 +x2x3+x2x4 +x3x4)⇒ĐPCM
0,75
0,75
0,75
0,75 Câu 2 (2,5 điểm)
a(1 đ) Điều kiện: x2 + 4x+ 2 ≠ 0 , x2 + 2x+ 2 ≠ 0
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên phương
3 4
2
+ +
− + +
⇔
x
x x
x
Đặt = + ⇒
x x
2
3 4
+
−
t ⇒t2 − 3t− 4 = 0 ⇔t= − 1 ,t= 4
Với t= − 1 ⇒x2 +x+ 2 = 0 (vô nghiệm)
Với t= 4 ⇒x2 − 4x+ 2 = 0 ⇔x= 2 ± 2 ( thỏa mãn điều kiện)
b (1,5đ) Vì x, y nguyên nên từ giả thiết ta có
4x2 + y2 ≤ 2xy+ 2x+y⇔ 8x2 + 2y2 − 4xy− 4x− 2y≤ 0
2 ) 1 2 ( ) 1 ( ) 2 (
2 ) 1 4 4 ( ) 1 2 ( ) 4
4 (
2 2
2
2 2
2 2
≤
− +
− +
−
⇔
≤ +
− + +
− + +
−
⇔
x y
y x
x x y
y y xy x
⇒ ( 2x− 1 ) 2 ≤ 2 ⇒ 2x− 1 = 0 , 2x− 1 = ± 1 ⇒x= 0 ,x= 1 (do x∈Z)
Với x = 0 thì y = 0 hoặc y = 1 Với x = 1 thì y = 1 hoặc y = 2
Vậy có 4 cặp (x,y) thỏa mãn là (0,0); (0,1); (1,1) và (1,2)
0,5
0,5
0,75
0,75
Trang 2Câu 3 (1,5đ) Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dương ta có
4
2 ) ( 2 2
2 ) (
x y z
z y
⇒
2
2 2 )
( 1
Tương tự x y z
x z
⇒
2
2 2 )
(
1
x y z
y x
2 2 )
(
1
+ +
≥ +
⇒
Từ đó nhận được:
VT
4
1 ) (
4
2 18 2
1 2
1 2
1 2
+ +
≥
+ +
+ + +
+ + +
≥
z y x z
y x z y x z y x
( Vì (a b c)(1 1 1) 9, a 0,b 0,c 0
a b c
+ + + + ≥ ∀ > > > ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z= 6 2
0,75
0,75
Câu 4(3 đ)
a (1,5đ) Ta có:
MD2 =MK.MH
Tương tự AF2 = AH.AK
Từ gt ta suy ra MD=AF
Do BD=BF ⇒BA=BM
b(1,5đ)
⇒ ∠NIC = ∠NEC⇒Tứ giác CIEN nội tiếp, vì vậy ∠INC = ∠IEC = 90 0
2
=
⇒
0,75
0,75
0,75
0,75
B
A
N
C
M D
F
E I
H K