Hơn nữa OM0 =ON0,nên hai tam giác vuông OM0M và ON0N bằng nhau.. Suy ra OM =ON, hay là tam giác OMN cân tại O.. Lại do các tam giác M0ON0 và MON cân tại O nên chúng đồng dạng với nhau.
Trang 1Bộ Giáo dục và Đào tạo Đáp án môn Toán vòng I
Trờng Đại học Vinh tuyển sinh THPT chuyên
-2008
m 1
2
3
4
4
1
; 2
=
x
xy
y x xy
x y y x
y y x
−
+
−
=
5
4 1 2
5
−
=
−
=
Đặt x2 +x+ 1 =t, (t > 0 ) phơng trình đã cho trở thành: t(t+ 1 ) = 12
⇔ t2 +t−12=0 ⇔ t= 3, do t > 0
Với t = 3 ta có x2 +x+ 1 = 3 ⇔ x2 +x−2=0⇔ x= 1 ∨x= − 2
Ta có ∆ ' =m2 − 2m+ 2 = (m− 1 ) 2 + 1 > 0 , ∀m.Do đó phơng trình đã cho có
hai nghiệm x1,x2.
Theo Định lý Viet, x1+x2 = 2m;x1x2 = 2m− 2
Khi đó ta có: 2 1 2 10
2
2
1 +x −x x =
2
1 +x − x x =
x
2
1
2 ∨ = −
m
Theo BĐT Cô Si ta có:
b
a b
a b
a2 + 12 ≥ 2 = 2 và 2 12 2
a
b a
b + ≥
Do đó 1 2 12 2 ( ) 2 2
2
a
b b
a a
b b a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b= 1
Chú ý: Bất đẳng thức còn có thể đợc chứng minh theo các
cách sau
C2: Sử dụng các BĐT: ( 1)
2
1 1
2
2
y
x y
x + ≥ + và +1 ≥ 2
x
x , ∀x > 0 Suy ra + + + ≥ 2 ( +1)+( +1)
1 1 1
2
2 2
2
b
b a
a a
b b
C3: Sử dụng các BĐT x2 +y2 + u2 +v2 ≥ (x+u) 2 + (y+v) 2 và
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
Trang 20 ,
2
1
>
∀
≥
x
x ta có 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) 2 4 4 2 2
2 2
b
b a a b
a b
a
a) Vì AM0ON0 là tứ
giác nội tiếp,
nên
) 1 ( 2
1
0 0
∠
Tơng tự, xét tứ
giác
nội tiếp
0
0OP
BM ta có
) 2 ( 2
1
0
OM = ∠
∠
Từ (1)
và (2) suy ra
).
( 2
1
0 0
P = ∠ + ∠
∠
b)Ta có BM0 +CN0 =BC =BM +CN,nên M0M = N0N.
Hơn nữa OM0 =ON0,nên hai tam giác vuông OM0M và ON0N bằng
nhau
Suy ra OM =ON, hay là tam giác OMN cân tại O.
c) Ta có ∠MOM0 = ∠NON0, nên ∠M0ON0 = ∠MON
Lại do các tam giác M0ON0 và MON cân tại O nên chúng đồng
dạng với nhau
0 0
0
≥
=
ON
ON N
M
MN
Hay là MN≥M0N0.
Vì M0N0 không đổi, nên MN ngắn nhất khi M trùng với M0 và
khi đó N trùng N0
0,5
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
A
C
M0
M
O
P0
N A
B
N0
M