Gọi M là trung điểm của AD.. a Chứng minh rằng N là trung điểm của AC.. b Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN cắt BM tại R khác M.. Chứng minh rằng RA⊥RC.. 3a Chứng minh rằng N là
Trang 1Hướng dẫn chấm gồm 04
trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT
CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XIII, NĂM 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN HỌC - LỚP 10
Bài 1
THPT Chuyên Hưng Yên – Hưng Yên
4,0
Giải phương trình : (x−4) x− + +3 (x 1) x+ =2 x2−3x+2 (x∈¡ )
Điều kiện: x≥3
Với điều kiện trên, phương trình tương đương với
( 4) ( 7) ( 1) ( 7) ( )( )
( )
7
1 1
x
x
=
tháa m· n
0,5
Giải (1):
1 0
x
( )
0 2
1,0
Vì x≥3; x− + ≥3 2 2; x+ + >2 3 2
nên
;
Do vậy (2) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm là x=7
1,0
Bài 2
THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi
4,0
Cho n là số tự nhiên và a a a0, , , ,1 2 a n là các số thực Chứng minh rằng luôn tồn
tại số k∈{0,1,2, ,n}
sao cho:
2
n
a +a x a x+ + +L a x ≤ + + +a a L a
với mọi x∈[ ]0;1
Trang 2Để chứng minh bài toán ta cần chứng minh với mọi x∈[ ]0;1
thì ta luôn có
2
≤ ≤
Bổ đề: Với mọi số thực a b, và x∈[ ]0;1
thì a bx+ ≤max ,{a a b+ } Chứng minh: Giả sử ngược lại, tồn tại y∈[ ]0;1
mà a by+ >max ,{a a b+ } Suy ra a by a+ >
hay b>0
và a by a b+ > +
thì y>1
trái giả sử trên
1,0
Bây giờ ta chứng minh bài toán quy nạp theo n
Với bổ đề trên ta thấy bài toán đúng khi n=0,n=1.
Giả sử với mọi n m≤
bài toán đã được chứng minh, ta chứng minh bài toán đúng khi n m= +1
Với mọi x∈[ ]0;1
ta có +) Nếu a m+1<0
thì
0 1 0
0 1
1
m
ax max
i
i m
i
m
m
m
i
≤
≤
+
≤ +
≤ +
≤
+
+
+
+
L L L
1,5
+) Nếu a m+1>0
thì
1
0 1 0
0 1
max max
i
i m
i
m m
i m
m m
a
b
≤ ≤ +
+
+
≤
+ +
≤
L L L
Ở đây b0 =a b0, 1=a1, ,K b m−1 =a m−1,b m =a m +a m+1
Như vậy ta đã chứng minh được với mọi x∈[ ]0;1
thì ta luôn có
2
≤ ≤
Bài toán đã được giải quyết
1,5
Bài 3 THPT Chuyên Hùng Vương – Bình Dương 4,0
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O AB AC, <
và đường phân giác
Trang 3trong của ·BAC
cắt BC O,( )
lần lượt tại D E E, ( ≠ A)
Gọi M là trung điểm của AD BM cắt ( )O
tại điểm thứ hai là P khác B EP cắt AC tại điểm N. a) Chứng minh rằng N là trung điểm của AC
b) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN cắt BM tại R khác M Chứng
minh rằng RA⊥RC
3a Chứng minh rằng N là trung điểm của AC. 1,5
MAN =BPE MPN= ⇒ AMNP
Do đó
ANM = APM = ACB ⇒MN BC//
Vậy N là trung điểm AC
0,5
3b Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác
EMN
cắt BM tại R khác M Chứng minh rằng RA⊥RC
2,5
Gọi (EMN) cắt AC tại điểm thứ hai Q khác N
Ta có AN AQ. = AM AE.
2AC AQ 2AD AE AC AQ AD AE
0,5
Suy ra AB AC. = AC AQ. ⇒ AB=AQ
Do đó B đối xứng với Q qua AD ⇒ EB EQ=
0,5
MRQ= ANM =ACB⇒BCQR
nội tiếp
0,5
Trang 4Mà EC =EB=EQ
nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQR hay
EC ER=
Hơn nữa
REN =RQN =PMN =PBC =PEC=NEC
Suy ra R đối xứng với C qua EN
1 2
ARC
⇒ ∆
vuông tại R hay RA RC⊥
0,5
Bài 4
THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh
4,0
Cho a m n, , là các số nguyên dương sao cho a>1,m n≠ .
Chứng minh nếu 1
m
a −
và 1
n
a −
có tập các ước nguyên tố trùng nhau, thì a+1
là một lũy thừa của 2
Giả sử m n>
và d =( , ).m n
Vì
( , ) (a m−1,a n − =1) a m n − =1 a d −1
nên 1
d
a −
và 1
m
a −
có các ước nguyên tố giống nhau
Đặt . ( 1),
d
m d k= k > b a=
thì b−1
và 1
k
b −
có các ước nguyên tố giống nhau
1,0
Ta sẽ chứng minh k là một lũy thừa của 2
Thật vậy, nếu k không phải là lũy thừa của 2, thì k có ước nguyên tố lẻ là p.
b − ∣b −
và 1 1
p
b− ∣b −
nên 1
p
b −
và b−1
có các ước nguyên tố giống nhau
Gọi q là một ước nguyên tố của
p
thì do b≡1 mod( q)
nên
p
1,0
Do đó,
p
b − +…+ +b
chỉ có ước nguyên tố là p, suy ra
Vì
p
b − +…+ + > −b b
nên t >1.
Từ b≡1 mod( p)
suy ra b= p h. +1.
Khi ấy
2
2
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ k là một lũy thừa của 2.
1,0
Bây giờ nếu p là một ước nguyên tố bất kì của b+1,
thì p cũng là ước của 1
b−
Do đó, p=2.
1,0
Trang 5Thành thử, b+1
là một lũy thừa của 2 hay 1
d
a + cũng vậy
Do m d k= .
là số chẵn nờn 1 1,
m
a+ ∣a −
suy ra cỏc ước nguyờn tố của a+1
cũng là cỏc ước nguyờn tố của 1.
d
a − Nếu a+1
cú ước nguyờn tố lẻ là p, thỡ do a≡ −1 (modp)
nờn
( 1) 1 mod ,
suy ra d là số chẵn
Nhưng a là số lẻ nờn a d + ≡1 2 (mod8 ,)
suy ra 1 2.
d
a + =
Vụ lớ vỡ a>1.
Vậy a+1
phải là lũy thừa của 2.
Bài 5
THPT Chuyờn Lờ Hồng Phong – Nam Định
4,0
Cho n là số nguyờn dương lớn hơn 3 Ta gọi S là tập hợp tất cả cỏc bộ
( ) (a = a a1, , ,2 a n)
trong đú a1, ,a n∈{ }0;1
Hai bộ ( ) (a = a1, ,a n)
và ( ) (b = b1, ,b n)
của S là phõn biệt khi và chỉ khi cú ớt nhất một chỉ số {1,2, , }
mà a i ≠b i
Khoảng cỏch giữa hai bộ ( ) ( )a , b
của S được định
nghĩa là
( )
1
i
=
Gọi T là tập con của S mà hai phần tử phõn biệt bất kỡ trong T đều cú khoảng cỏch khụng nhỏ hơn 3 Chứng minh rằng T cú
khụng quỏ
2 1
n
n
phần tử
+ Với mỗi bộ ( )a ∈S
ta xột tập M a( ) ( ) ( )={ x | x ∈S d x a, ( ), ≤1}
Ta thấy
( )x M a( ) ( ) ( ) ( ) ( )x , a
khác nhau ở đúng một vị trí
1,0
Vỡ số cỏch chọn đỳng 1 vị trớ khỏc nhau cho ( )x
so với ( )a
là n nờn cú ( ) 1
M a = +n
1,0
+ Với hai bộ ( ) ( )a , b
phõn biệt của T , giả sử tồn tại ( )x ∈M a( ) I M b( )
thỡ
1,0
Trang 6( ) ( ) ( ) ( )
, vô lí
+ Vậy họ tất cả các tập M a( )
là đôi một phân biệt khi cho ( )a
chạy khắp T ,
theo đó
( )
2
1
n n
a T
n
∈
∑
, có đpcm
1,0
LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó.