Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M di chuyển trên cát tuyến trên.. Gọi I là giao điểm của MO với đường tròn (O).[r]
Trang 1Họ và tên thí sinh:……… Chữ ký giám thị 1:
Số báo danh:……… ………
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 - 2011 CHÍNH THỨC
(Gồm 01 trang) * Môn thi: Toán (Chuyên)
* Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ:
Câu 1 (2,0 điểm)
Chứng minh rằng n3+3n2 + n2 chia hết cho 6 với mọi n là số tự nhiên khác 0
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình :
x2 −(2m+3)x+m−3=0 (với m là tham số)
a Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi tham số m
b Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình trên Tìm m để x1 −x2 đạt giá trị
nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất ấy
Câu 3 (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 1 2
2
2 2 1 12
x y
⎧ − +
⎨
⎪ + =
⎩
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) Từ một điểm M ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến
MP và MN với đường tròn tâm (O); với P, N là hai tiếp điểm Vẽ một cát tuyến đi
qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B
a Chứng minh: PMO = PNO
b Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định
khi M di chuyển trên cát tuyến trên
c Gọi I là giao điểm của MO với đường tròn (O) Chứng minh I là tâm của
đường tròn nội tiếp tam giác MNP
-HẾT -
Trang 2SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 - 2011 CHÍNH THỨC
(Gồm 02 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: Toán
Câu 1 (2,0 điểm)
Ta có:
3 3 2 2 3 2 2 2 2
(n2 n n) ( 2)
n n n
Vì n n( +1)(n+ 2)
là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên nó chia hết cho 6 0,5đ
Câu 2 (2,0 điểm)
a Ta có: Δ =(2m+3)2−4(m− =3) 4m2+8m+21
2
4m 8m 4 17 4(m 1) 17
Vậy phương trình luôn có nghiệm 0,25đ
b Ta có:
1 2
x x
− + Δ − − Δ Δ
a
4(m 1) 17 17
dấu “ =” xảy ra khi m = -1
Vậy m = -1 thì x1 −x2 đạt GTNN là 17 0,25đ
Câu 3 (2,0 điểm)
y
x
= +
− 2
1 2
t x
1
2 2 =
−
+
1 (1) 2t
t
⇔ + =
2 2 1 0
t t
t
Khi đó ta có hệ pt:
1 2 12
x y
x y
−
⎪ +
⎨
⎪ + =
⎩
2
12
x y
x y
− =
⎧
⎩
3 0,25đ
Trang 35 7
x y
=
⎧
Vậy: Hệ phương trình có một nghiệm (5;7) 0,25đ
Câu 4 (4,0 điểm)
Vẽ hình đúng 0,25đ
A
P
O H
N
M
I
B
a Tứ giác MNOP nội tiếp vì ONM +OPM = 1800 0,5đ => PMO = PNO (cùng chắn cung OP) 0,5đ
b Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP chính là đường tròn ngoại tiếp
tứ giác MNOP, đi qua điểm O cố định 0,5đ
Từ O kẻ OH vuông góc với AB
=> OHM nhìn đoạn OM dưới một góc bằng 900 0,25đ => H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP 0,25đ Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định là O,H 0,25đ
c MO là phân giác của PMN ( t/c hai tiếp tuyến ) 0,25đ NOM = MOP (t/c hai tiếp tuyến ) 0,25đ => NI =IP 0,25đ => MNI = INP 0,25đ => I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác MNP 0,25đ => I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP 0,25đ
- Hết -
Ghi chú: Học sinh có cách làm khác đúng thì vẫn chấm điểm tối đa