Tích phân hàm một biến docx

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Nếu Fx là một nguyên hàm của fx trong a, b hay trên [a, b] thì biểu thức thức Fx + C, C là hằng số tuỳ ý, được gọi là tích phân bất định của fx trong a, b h

TÍCH PHÂN HÀM

MỘT BIẾN

Chương 3:

F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a, b].

* Nếu F(x), G(x) là hai nguyên hàm nào đó của

f(x) trên [a, b] thì ∃ C ∈ R sao cho:

II ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a, b)

hay trên [a, b] thì biểu thức thức F(x) + C, C là

hằng số tuỳ ý, được gọi là tích phân bất định của f(x) trong (a, b) hay trên [a, b] Kí hiệu ∫ f (x)dx = F(x) + C

* Dấu ∫ được gọi là dấu tích phân.

* f(x) gọi là hàm dưới dấu tích phân

* f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân.

* x gọi là biến số tích phân.

a) Đổi biến dạng u = u(x):

Đ nh líị : Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục đối với

x ∈ ( a, b) và có f(x)dx = g(u)du thì trong (a, b)

b) Biến đổi dạng x = ϕ (t)

Đ nh líị :

Giả sử f(x) là hàm liên tục đối với x trên [a, b]

và x = ϕ (t) là hàm số khả vi, đơn điệu đối với t trên [ α , β ] và lấy giá trị trên [a, b] Khi đó ta có :

∫ f ( x ) dx = ∫ f ([ ϕ ( t )] ϕ ' ( t )) dt

Ví dụ: Tính ∫ 1 − x2dx

Hướng dẫn: Đặt x = sint với

2 2

π

π ≤ ≤

− t

Viết gọn: ∫ udv = uv − ∫ vdu

∫ x cos xdx

b) Nếu f(x) là hàm đa thức & g(x) là những hàm như hàm logarit, hàm ngược, lượng giác thì đặt

u = g(x), dv = f(x)dx.

VI TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HS THƯỜNG GẶP:

( iii )

0,

ln

1

≠+

ax a

0

, )

(

1

1

1

1 + ≠ +

b ax

2

2

x c

+

( iv ) ∫ (x Ax2 ++bx B+)dx c :Biến đổi

c bx x

Ab B

c bx x

b x

A c

bx x

B

Ax

+ +

− +

+ +

+

= + +

+

2 2

2

2 )

2 ( 2

Ví dụ : Tính ∫ x22+x x++1 1dx

b) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát:

dx x

Q

x P

) )(

(

) (

)

( x a1x b1 a2x b2 A1x2 B1x C1 A2x2 B2x C2

* Phân tích

2 2

2 2 1

1

2 1 1

1

2

1

1 1

2 2

1 1

1 1

1

) (

) (

) (

) (

) (

C x

B x

A

H

G C

x B x

A

F x

E C

x B x

A

F x

E

b x

a

N b

x a

M b

x a

M x

Q

x

P

x m

n

+ +

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+

+

+ +

+

+ +

+

+ +

=

β

β β

α α

)

(

x Q

x P

m n

đưa về dạng b.i)

Ví dụ: Tính dx

x

x x

∫ 3++214

Ta có:

1 1

2

3 3

4

+

+

= +

+

x

x x

x

x

x

dx x

x xdx

dx x

x x

2

3 3

4

2 Tích phân các hàm l ượ ng giác:

t =

1

1 cos

, 1

2 sin

t

t x

t

t x

+

−

= +

t

t x

+

=Đặt

,

Tính

sin sin

∫

§2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

I BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

Cho hình thanh cong aABb giới hạn bởi tục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b và đường cong y = f(x), trong

đó f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ( hình vẽ )

Hãy xác định diện tích hình thanh cong aABb ?

Giả sử f(x) > 0 trong [a, b] Chia đoạn [a, b] thành n

đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

a = x0 < x1 < x2 < …< xn = b

Từ các điểm đó, ta dựng đường thẳng song song với trục Oy Khi đó hình thang cong aABb được chia thành

n hình thang cong nhỏ

Trong mỗi đoạn [ xi-1, xi ] ( i = 1, 2, 3, …, n ) ta lấy

tuỳ ý một điểm ξi,, khi đó tung độ tương ứng là f(ξi)

S

1

)(ξ ( 1 )

Nếu tổng (1) dần tới một giới hạn xác định S khi n → ∞

sao cho Max∆xi → 0 thì S được gọi là diện tích hình

thang cong aABb.

S

1

) (

II ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Đ nh nghĩa ị

Giả sử f(x) là hàm xác định trên [a, b] Chia [a, b]

thành n đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia a = x0 < x1 <

cách chia đoạn [ a, b ]

Kí hiệu : n

b

I dx

x f

∫ ( ) = lim → ∞

In : gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn [a, b ]

[a, b] : gọi là đoạn lấy tích phân, a : cận dưới, b : cận trên

∫b

a

: dấu tích phân xác địnhf(x) : hàm dưới dấu tích phân

x : biến số tích phân

u f dx

x

f ( ) ( ) ( )

III Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Nếu f(x) ≥ 0 và liên tục trên [a, b] thì ∫b

a

dx x

y

f(x) S

IV CÁC ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA TÍCH PHÂN XÁC

f dx

x f dx

x

Mệnh đề trên vẫn đúng nếu f(x) có một số hữu hạn

điểm gián đoạn loại một trên đoạn [a, b]

V CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

( Giáo trình )

VI CÁC ĐỊNH LÍ.

1 Đ nh lí v giá tr trung bình c a TPXĐ: ị ề ị ủ

Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b ] thì ∃ ít nhất một điểm

c ∈ [a, b] sao cho:

a

a b

c f dx

x

f(c) gọi là giá trị trung bình của f(x) trên đoạn [a, b]

y

f(x)

S f(c)

c

A

N

B M

Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ta luôn tìm được ít nhất một điểm c ∈ [a, b] sao cho diện tích hình thang cong aMNb bằng diện tích hình chữ nhật aABb ( hình

vẽ )

Ý nghĩa hình học :

2 Đ nh lí đ o hàm theo c n trên : ị ạ ậ

Nếu f(x) liên tục [a, b] thì hàm Φ = ∫x

a

dt t

Ta đã biết tích phân xác định phụ thuộc vào cận lấy

tích phân, không phụ thuộc vào biến số tích phân

∫x

a

dt t

x) ( ) (

t f

x) ( ( ) )' ( ) (

'

Hệ quả :

Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó và một trong các nguyên hàm đó được biểu diễn dưới dạng:

Hay nói khác đi, Φ = ∫x

a

dt t f

(

Mở rộng :

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và u(x), v(x) là 2 hàm số

khả vi, liên tục nhận giá trị trên [a, b] thì :

) (' )].

( [ )

(' )]

( [ )

(

' )

(

) (

x u x u f x

v x v f dt

t f

x v

x u

3.Đ nh lí NIUT N – LEPNIT ị Ơ

(Newton – Leibnitz)

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] có F(x) là nguyên hàm thì:

a

a F b

F dx

F a

F b

F( ) − ( ) = ( )

6.4 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

I TÍCH PHÂN CÓ CẬN VÔ HẠN

(Tích phân suy rộng loại 1)

1 Kho ng l y tích phân là [a, + ả ấ ∞ )

Giả sử f(x) xác định trên [a, +∞) và khả tích trên [a, b]

∫+∞

f dx

x

Định nghĩa :

Nếu giới hạn (1) là hữu hạn thì ta nói tích phân suy

rộng hội tụ, ngược lại, nếu giơí hạn (1) là vô cùng hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng phân kỳ

2 Khoảng lấy tích phân là ( -∞, b]

Giả sử f(x) xác định trên (- ∞, b], khả tích trên [a, b] Khi đó:

f ( )Tức là:

3 Khoảng lấy tích phân là ( - ∞, + ∞ )

Giả sử f(x) xác định trong (- ∞ , +∞), khả tích trên [a, b]

∀a, b ∈ R, tích phân suy rộng của f(x) trong (-∞, +∞ )

Kí hiệu và xác định như sau:

x f dx

x

f ( ) ( ) ( ) với c ∈ R (3)

Nếu giới hạn (2) là hữu hạn thì ta nói tích phân suy

rộng hội tụ, ngược lại, nếu giơí hạn (2) là vô cùng hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng phân kỳ

* Nếu các tích phân suy rộng (3) là

thì ta nói các tích phân suy rộng đó hội tụ,

nếu nó là số vô hạn hoặc không tồn tại thì ta

dụng công thức Newton – Leibnitz để tính tích phân suy rộng.

∞

− 1 x+ 2

dx

II TÍCH PHÂN CỦA HÀM KHÔNG BỊ CHẶN

TRONG KHOẢNG LẤY TÍCH PHÂN (Tp loại 2)

f dx

x

)(

f )( Tức là: ∫b

a

dx x

+ +

→

a

dx x

=+

x f dx

x f dx

x f dx

()

()

(

0

, khi đó:

4 Đ nh nghĩa 4: ị Giả sử f(x) xác định trên (a, b)

, )

( lim ,

) (

−

→ +

b x a

x f dx

x f dx

III TÍCH PHÂN SUY RỘNG ĐẶC BIỆT

1 Tích phân : +∞∫ (a > 0),

x

dx a

∞

−

b x

Giả sử f(x), g(x) khả tích trên [a, b], và ∀x ∈ [a, +∞ ): f(x) ≥ g(x) ≥ 0

Khi đó:

* Nếu +∞∫

a

dx x

f ( ) hội tụ thì +∞∫

a

dx x

g )( hội tụ

* Nếu +∞∫

a

dx x

g )( phân kì thì +∞∫

a

dx x

f )( phân kì

Đ nh lí 1: ị

IV CÁC ĐỊNH LÍ SO SÁNH CỦA TP SUY RỘNG:

Đ nh lí 2 ị :

Giả sử f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0, ∀x ≥ a, khả tích trên [a, b]

) (

)

( lim = < < +∞

+∞

x g

f )( và +∞∫

a

dx x

g )(

cùng hội tụ hay phân kì

Ví dụ: xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau đây:

f S

(

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x),

y = g(x) liên tục trên [a, b] và các đường thẳng x = a, x = b, được tính theo công thức: S f x g x dx

b

a

Ví dụ :

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y = x2 + 4,

x – y + 4 = 0

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y = x2, y = 4

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y = x2, y =

x2/2, y = 2x

(Hình vẽ )

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y = x3 ( x ≥ 0),

c) Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong cho

theo phương trình tham số:

x = x(t), y = y(t) và các đường x = a, x = b, trục Ox được tính theo công thức:

dt t

x t y S

(

) sin

(

t a

y

t t

a

x

, trục Ox, 0 ≤ x ≤ 2πa

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường

y = f(x) và trục Ox trên

dx x

II TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ:

Thể tích vật thể hữu hạn giới hạn bởi một mặt cong

và 2 mặt phẳng x = a, x = b, có tiết diện cắt bởi mặt phẳng

⊥ trục Ox tại x, a ≤ x ≤ b là S(x) liên tục trên [a, b]

được tính theo công thức:

b) V t th tròn xoay : ậ ể

Thể tích vật thể tròn xoay do hình thang cong giới hạnbởi đường x = a, x = b, y = f(x) ≥ 0, liên tục trên [a, b], trục Ox, quay quanh trục Ox, được tính theo công thức sau đây:

dx x f

V

b

a

) ( 2

Ví dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình

phẳng giới hạn bởi:

1 , =

Ví dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình

phẳng giới hạn bởi:

1 ,

Ví dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình

phẳng giới hạn bởi:

x y

x

y = 2 , =

và trục Ox

x y

0

y = x2

y = x

III ĐỘ DÀI CUNG PHẲNG

a) Độ dài cung L từ A(a, f(a)) đến B(b, f(b)) của đường

cong y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [a, b] được tính

b) Độ dài cung L từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2))

của đường cho theo phương trình tham số x = x(t), y = y(t)

có x’(t), y’(t) liên tục và biến thiên đơn điệu trên [t1, t2]được tính theo công thức:

(