TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1 Mở đầu Tích phân bất định Tích phân xác định , hoặc Tích phân suy rộng loại 1 , hoặc Tích phân suy rộng loại 2 2 Tích phân suy rộng loại 1 2 1 Khái niệm Chú ý + Kết quả tích phân.
Trang 1TÍCH PHÂN SUY RỘNG
1 Mở đầu.
-
2
dx
x
∫
: Tích phân bất định
-
2
2
1
dx
x
∫
: Tích phân xác định
-
2
1
dx
x
∞
∫
,
2 1
dx x
∞
∫
hoặc
1 2
dx x
−
−∞
∫
: Tích phân suy rộng loại 1
-
1
2
0
dx
x
∫
,
1 2
dx
x −
∫
hoặc
2 2
dx x
− −
∫
: Tích phân suy rộng loại 2
2 Tích phân suy rộng loại 1.
2.1 Khái niệm
-
A
A
f x dx f x dx F A F a
+∞
→∞
-
B B
f x dx f x dx F a F B
→−∞
−∞
- Chú ý:
+ Kết quả tích phân suy rộng loại 1 ra số hữu hạn thì tích phân đó hội tụ + Kết quả tích phân suy rộng loại 1 ra số vô hạn thì tích phân đó phân kì
2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ
Trang 2- Xét 1
dx
xα
+∞
∫
+ α > 1
: Tích phân hội tụ
+ α ≤ 1
: Tích phân phân kì
- Tiêu chuẩn so sánh:
Cho
( )
f x
và
( )
g x
không âm trên [a;+∞)
Với
0≤ f x( )≤ g x( )
, ∀ ∈ +∞x a[ ; )
thì:
+
( )
a
g x dx
+∞
∫
hội tụ
( )
a
f x dx
+∞
⇒ ∫
hội tụ
+
( )
a
f x dx
+∞
∫
phân kì
( )
a
g x dx
+∞
⇒ ∫
phân kì
- Tiêu chuẩn tương đương:
Cho
( )
f x
và
( )
g x
không âm trên [a;+∞)
Xét
( )
lim
( )
x
f x
c
g x
→∞ =
+ c = 0
:
f x = g x
+ c= ∞
:
f x ? g x
Trang 3
+ c
hữu hạn ≠ 0
:
( )
a
f x dx
+∞
∫
cùng tính chất với
( )
a
g x dx
+∞
∫
3 Tích phân suy rộng loại 2.
3.1 Khái niệm
-
A b
→
-
A a
→
- Chú ý:
+ Kết quả tích phân suy rộng loại 2 ra số hữu hạn thì tích phân đó hội tụ + Kết quả tích phân suy rộng loại 2 ra số vô hạn thì tích phân đó phân kì
3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ
- Xét 1
dx
xα
+∞
∫
+ α ≥ 1
: Tích phân phân kì
+ α < 1
: Tích phân hội tụ
- Tiêu chuẩn so sánh:
Cho
( )
f x
và
( )
g x
không âm trên [ ]a b; Với
0≤ f x( )≤ g x( )
, ∀ ∈x a b[ ];
thì:
Trang 4+
( )
b
a
g x dx
∫
hội tụ
( )
b
a
f x dx
⇒∫
hội tụ
+
( )
b
a
f x dx
∫
phân kì
( )
b a
g x dx
⇒∫
phân kì
- Tiêu chuẩn tương đương:
Cho
( )
f x
và
( )
g x
không âm trên [ ]a b;
Xét
( )
lim
( )
x b
f x
c
g x
→ =
+ c = 0
:
f x = g x
+ c= ∞
:
f x ? g x
+ c
hữu hạn ≠ 0
:
( )
b a
f x dx
∫
cùng tính chất với
( )
b
a
g x dx
∫