BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG TÍNH TOÁN GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA DÒNG THU NHẬP LÂU DÀI... Giá trị hiện tại Present Value – PV:Giá trị hiện tại của đơn vị tiền tệ sau T năm đầu tư với

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 1 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG

GVHD: TS ĐẶNG VĂN VINH

NHÓM 8

Họ và tên MSSV

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG TÍNH TOÁN GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA DÒNG THU NHẬP

LÂU DÀI

1 Cơ sở lý thuyết

1 Lãi kép liên tục (Continuous Compound Interest):

Giả sử đầu tư P (đơn vị tiền tệ) với lãi suất thường nhiên r và số tiền tích lũy được sau t năm là B(t) (đơn vị tiền tệ) Với cách tính lãi kép liên tục thì tổng số tiền thu được sau t năm là

2 Giá trị hiện tại (Present Value – PV):

Giá trị hiện tại của (đơn vị tiền tệ) sau T năm đầu tư với lãi suất thường niên r và được tính lãi kép liên tục là

rT

P Be = −

3 Giá trị hiện tại của dòng thu nhập (Present Value of an Income Stream):

Giá trị hiện tại P của dòng thu nhập tạo ra một dòng thu nhập liên tục f(t) vào một tài khoản được tính lãi kép liên tục với lãi suất thường niên r sau khoảng thời gian hữu hạn T năm, được tính bằng một tích phân xác định:

0T ( ) rt

4 Giá trị hiện tại của dòng thu nhập lâu dài (Present Value of a Perpetal Income Flow)

Như ở trên đã đề cập, giá trị hiện tại của dòng thu nhập trong một khoảng thời gian hữu hạn T có thể được tính bằng một tích phân xác định Nếu việc tạo ra dòng thu nhập này cần được đảm bảo về lâu dài, ta cần sử dụng tích phân suy rộng để tính được giá trị hiện tại của dòng thu nhập này Khi đó:

lim T ( ) rt ( ) rt T

→+∞

= ∫ = ∫

Một nhà tài trợ muốn tạo ra một quỹ học bổng cho một trường đại học địa phương về lâu dài với giá trị học bổng là 25000 + 1200t đô la một năm Giả

sử lãi hàng năm được tính bằng lãi suất kép liên tục với lãi suất thường niên không đổi là 5% Khi đó, nhà tài trợ phải chi bao nhiêu để thành lập quỹ

học bổng này?

2 Bài tập ứng dụng

Ta dễ dàng thấy rằng số tiền nhà tài trợ phải chi chính là giá trị hiện tại của dòng thu

nhập vĩnh viễn mà ở đây là giá trị học bổng hàng năm Từ đây, ta tính được số tiền nhà tài trợ

Ta tính tích phân này bằng phương pháp tích phân từng phần:

0,05 0,05

t T

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG VẬT LÝ

TÍNH TUỔI THỌ TRUNG BÌNH CỦA NGUYÊN TỐ PHÓNG XẠ

1 Cơ sở lý thuyết

Hằng số phóng xạ 𝜆𝜆 là đại lượng đặc trưng cho nuclide đang xét, tỉ lệ nghịch với chu kì bán rã của nguyên tố, được xác định bởi hệ thức: 𝜆𝜆 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑇𝑇

Tuổi thọ trung bình của một nuclide là tổng thời gian tồn tại của một số xác định các nuclei (trước khi chúng bị phân

rã hoàn toàn) chia cho số nuclei ban đầu Trong khoảng thời gian dt, một lượng dN nuclei bị phân rã Như vậy ta được phương trình:

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜆𝜆𝑑𝑑 ↔ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝜆𝜆𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

Để tính tuổi thọ trung bình M, ta thực hiện:

2 Bài tập ứng dụng

Ví dụ: Một chất phóng xạ phân rã theo cấp số nhân: Khối lượng tại thời điểm t là m(t) = moekt, trong

đó mo là khối lượng ban đầu và k là một hằng số âm Một nguyên tử mất M = −𝑘𝑘 ∫0∞𝑑𝑑𝑒𝑒𝑘𝑘𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑑𝑑 năm để phân rã hoàn toàn Cho đồng vị carbon 14C có hệ số k là -0.000121 Tìm thời gian để đồng vị đó phân rã hoàn toàn

Ta có : M = −𝑘𝑘 ∫0∞ 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑘𝑘𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑘𝑘 lim𝐴𝐴→+∞ ∫0𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑘𝑘𝜆𝜆𝑑𝑑𝑑𝑑

Xét I = ∫0𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑘𝑘𝜆𝜆𝑑𝑑𝑑𝑑 Đặt � 𝑒𝑒𝑘𝑘𝜆𝜆𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 → ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑒𝑒 𝑢𝑢 = 𝑑𝑑 → 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘𝜆𝜆𝑑𝑑𝑑𝑑 ↔ 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑘𝑘

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG VẬT LÝ

TÍNH NĂNG LƯỢNG ĐIỆN TRƯỜNG

1 Cơ sở lý thuyết

Năng lượng điện trường định xứ trong không gian có điện trường

• Năng lượng điện trường trong miền thể tích V:

Tham khảo: Vật Lý Đại cương A1 (lưu hành nội bộ), ĐHQG TP.HCM, Trường Đại học Bách Khoa

2 Bài tập ứng dụng

Ví dụ: Cho điện tích Q = 9 nC phân bố đều trên một mặt cầu bán kính R = 1 m Tổng năng lượng điện trường của hệ này bằng

bao nhiêu?

Tham khảo: Bài tập Vật Lý Đại cương A1, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, Câu 157, Trang 308

Mặt cầu có điện tích phân bố đều (mặt cầu dẫn điện) có điện trường:

𝜔𝜔 = 43 𝜋𝜋𝑟𝑟3, 𝑑𝑑𝜔𝜔𝑑𝑑𝑟𝑟 = 4𝜋𝜋𝑟𝑟𝑙, E = 4𝜋𝜋𝜀𝜀𝜀𝜀𝑄𝑄

𝑜𝑜 𝑟𝑟 𝑙

ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Hàm mật độ xác xuất (Probability Density Functions – PDF) cho một biến ngẫu nhiên

liên tục X là một hàm số f(x) thỏa ba điều kiện sau:

1 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≥ 0, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅

2 Tổng diện tích dưới đồ thị của 𝑓𝑓(𝑥𝑥) là 1

3 Xác suất để biến X thuộc khoảng [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] được tính bởi tích phân sau

Giá trị của a và b không cần thiết phải hữu hạn và nếu một trong hai là vô hạn thì xác suất tương ứng sẽ được viếtdưới dạng tích phân suy rộng Ví dụ, xác suất mà 𝑋𝑋 ≥ 𝑎𝑎:

𝑃𝑃 𝑎𝑎 ≤ 𝑋𝑋 ≤ +∞ = �

𝑎𝑎 +∞

𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

1 Hàm phân phối chuẩn

Ví dụ 1: Chiều cao trung bình của người đàn ông Mĩ (từ 20 đến 29 tuổi) là 70 inches và độ lệch chuẩn là 3 inches Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông từ 20 đến 29 tuổi thì xác xuất để người đó cao từ 72 inches trở lên là bao nhiêu?

𝜇𝜇 = 70, 𝜎𝜎 = 3 thì xác suất để người đàn ông đó cao từ 72 inches trở lên là:

2 Hàm mật độ xác suất đồng đều Cho k là giá trị hằng số của hàm mật độ đều f (x) trên

khoảng A ≤ x ≤ B, Ta có:

1 = ∫−∞+∞ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫𝐴𝐴𝐵𝐵𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑘𝑘𝑥𝑥|𝐵𝐵𝐴𝐴 (1)

Từ (1), ta có:

𝑘𝑘 = (𝐵𝐵 − 𝐴𝐴)1Khi đó

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �

1 (𝐵𝐵 − 𝐴𝐴) , 𝐴𝐴 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝐵𝐵

0, 𝑥𝑥 ∉ [𝐴𝐴; 𝐵𝐵]

Ví dụ 2: Bạn Thành đứng đợi xe buýt để tới trường Khoảng thời gian mà bạn Thành phải chờ xe tới nơi

nằm trong khoảng 40 phút

a/ Tính xác suất bạn Thành phải đợi ít hơn 8 phút

b/ Tính xác suất bạn Thành phải đợi hơn 30 phút

c/ Tính P (10 < x < 26), P (x=20), P (x > 45)

d/ Tính thời gian mà xác suất đạt 85%

0 = 0.85

=> 40t = 0.85 => t = 34 (phút)

Hàm mật độ xác suất mũ là hàm f (x) giảm theo cấp số nhân đối với x ≥ 0 và bằng không với x < 0:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑥𝑥0,, 𝑥𝑥 ≥ 0𝑥𝑥 < 0

Ta có :

1 = ∫−∞+∞𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫0+∞𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑥𝑥 = ∫0𝑁𝑁𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑥𝑥| 𝑁𝑁0 = −𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑁𝑁 + 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝐴𝐴𝑘𝑘 (2)

Từ (1) và (2), ta có công thức tổng quát :

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �𝑘𝑘𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑥𝑥0,, 𝑥𝑥 ≥ 0𝑥𝑥 < 0

Ví dụ 3: Công ti X sản xuất laptop với độ bền là 5 năm Độ bền của laptop được biểu diễn theo hàm mật độ xác suất

dạng mũ.

a/ Tính tham số tỉ lệ.

b/ Tính xác suất laptop có độ bền ít hơn 3 năm.

c/ Tính xác suất laptop có độ bền hơn 10 năm.

d/ Tính xác suất laptop có độ bền 4 -7 năm.

a/ Tính tham số tỉ lệ.

k = 15 = 0.2b/ Tính xác suất laptop có độ bền ít hơn 3 năm.

𝑃𝑃 𝑥𝑥 < 3 = �

0

3

0.2𝑒𝑒−0.𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 ≈ 0.45 c/ Tính xác suất laptop có độ bền hơn 10 năm.

𝑃𝑃 𝑥𝑥 > 10 = �

10

+∞

0.2𝑒𝑒−0.𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 ≈ 0.135 d/ Tính xác suất laptop có độ bền 4 -7 năm.

𝑃𝑃 4 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 7 = �

4 7

0.2𝑒𝑒−0.𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 ≈ 0.2

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TRONG TÍNH TOÁN GIÁ TRỊ KỲ VỌNG

1 Cơ sở lý thuyết

• Một đặc tính hữu ích của biến ngẫu nhiên 𝑥𝑥 là giá trị kỳ vọng của nó, ký hiệu là E 𝒙𝒙 Giá trị kỳ vọng là một phần quan trọng

của phân tích biến ngẫu nhiên Nó cho kết quả đầu ra trung bình của biến ngẫu nhiên

• Thí nghiệm ngẫu nhiên là những thí nghiệm không thể chắc chắn về kết quả Trong những trường hợp như vậy, chỉ có thể gán xác suất cho các kết quả.Nếu một thử nghiệm ngẫu nhiên được thực hiện lặp đi lặp lại và các kết quả được ghi lại, thì giá trị trung bình cộng của các kết quả được ghi lại sẽ đạt đến giá trị mong đợi, do đó, E 𝒙𝒙 có thể được coi là “ giá trị trung bình dài hạn" của biến ngẫu nhiên 𝑥𝑥.

Đây là công thức cho giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên liên tục 𝑥𝑥 về mặt tích phân liên quan đến hàm mật độ khả năng xác suất của nó:

𝑬𝑬(𝒙𝒙) = � 𝒙𝒙𝒙𝒙(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒙𝒙+∞

−∞

Nếu 𝒙𝒙 là một biến ngẫu nhiên liên tục trên tập xác định và có xác suất tuân theo

hàm độ f, giá trị kỳ vọng (hoặc giá trị trung bình) của 𝒙𝒙 là :

𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵2

𝑥𝑥𝑘𝑘𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

Đặt u = x,dv = 𝑘𝑘𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑥𝑥 ,suy ra: du=dx,v= 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑥𝑥

Ví dụ 1:

Một đèn giao thông đỏ tối đa trong 40 giây tại một thời điểm Bạn đến (ngẫu nhiên) lúc đèn vẫn sáng và thấy nó màu đỏ Gọi x là

biến ngẫu nhiên đo thời gian (tính bằng giây) mà bạn phải chờ đợi Vì tất cả thời gian chờ từ 0 đến 40 đều "có khả năng như nhau",

nên x được phân bổ đồng đều trong khoảng 0 ≤ x ≤ 40 Hàm mật độ đồng nhất tương ứng là

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �40 , 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 401

0 , 𝑥𝑥 ∉ [0; 40]

Từ hàm mật độ, tìm giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

40

= 160080 = 20Kết quả này nói lên rằng thời gian chờ trung bình tại màu đỏ ánh sáng là 20 giây, bởi vì biến ngẫu nhiên được phân phối đồng đều giữa 0 và 40.

Ví dụ 2: THÍ NGHIỆM TÂM LÝ HỌC

Giả sử khoảng thời gian mà một con chuột thí nghiệm cần để đi qua một mê cung nhất định được đo lường bởi một biến x ngẫu

nhiên được phân phối theo cấp số nhân với hàm mật độ sau

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � 14 𝑒𝑒−𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥 ≥ 0

0 , 𝑥𝑥 < 0 trong đó x là số phút ngẫu nhiên để con chuột đi qua hết mê cung

Tìm thời gian dự kiến cần thiết cho phòng thí nghiệm chuột đi qua mê cung.

= 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝑁𝑁→+∞ −𝑑𝑑e𝑘𝑘4 − 4e−𝑘𝑘4 + 4

= 4 Vậy thời gian dự kiến để con chuột đi qua hết mê cung là 4 phút.

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN