TÝch ph©n suy réng 1... XÐt sù héi tô cña c¸c tÝch ph©n suy réng sau.
Trang 1TÝch ph©n suy réng
1 TÝch ph©n suy réng víÝ cËn v« h¹n
∫
+∞
a
A a
dx ) x ( f lim dx
) x
(
f
*)
1
(
f(x)
y
O
tô héi TPSR h¹n)
h u NÕu∃ lim→ +∞∫f(x)dx = ( ⇒
*)
A
a A
∫
∞
−
B B
b
dx ) x ( f lim dx
) x (
f
*)
2
(
(3*) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
*) TPSR (3*) héi tô ⇔ c¶ hai TPSR (1*) vµ (2*) héi tô
f(x) y
O
a
B
Trang 2VÝ dô 8.3. TÝnh c¸c tÝch ph©n suy réng sau
∫
+∞
=
2
e
3 x ln x
dx I
)
1
−
=
−
=
=
= ∫ xlndx x ∫dln(lnxx) 2ln1 x 81 2ln1 A )
A
A
e 3 A
e
3
A 2 2
2
8
1 A
ln 2
1 8
1 lim )
A ( I lim
A
=
+∞
→ +∞
→
2 x x
dx I
)
2
2 2
∫
+∞
− +
=
A 2
2 x
1 x ln 3
1 )
2 x (
) 2 x ( d )
1 x (
) 1 x ( d 3
1 ) 2 x )(
1 x (
dx 2
x x
dx )
A
(
A
2
A
2
A
2
A
2
−
=
+
+
−
−
−
= +
−
=
− +
4
ln 3
1 2 A
1 A lim ln 4
ln 3
1 2
2
1 2 ln 2
A
1 A ln
lim 3
1 I
A
+
− +
=
+
−
− +
−
=
+∞
→ +∞
→
Trang 35 x 2 x
dx lim
5 x 2 x
dx lim
5 x 2 x
dx I
A
0
2 A
0
B
2 B
2
+∞
∞
=
2
1 arctg 2
1 2
1 A arctg 2
1 lim 2
1 B arctg 2
1 lim 2
1 arctg
2
1
A
+
−
=
∞ +
→
∞
−
→
∫
+ +
+
=
∞ +
→
∞
−
→
A
0
2 2
A
0
B
2 2
) 1 x ( d lim
2 )
1 x (
) 1 x ( d lim
I
+
=
∞ +
→
∞
−
→
A 0
0
1 x arctg 2
1 lim
2
1 x arctg 2
1 lim
A B
2 2
2
1 2
2
π −
−
=
Trang 4XÐt sù héi tô cña tÝch ph©n suy réng , a 0
x
dx
a
>
∫
+∞
α
kú n ph 1
x
dx lim
x
dx
*)
A A
A
a
A a
A
=
=
⇒
=
α
∞ +
→
∞ +
→
∞ +
→
+∞
∫
∫
1
1
1
1 1
a
A
A a
I A
x a
α α
α
α
−
−
∫
NÕu
<
α
⇔
>
α
−
∞ +
>
α
⇔
<
α
−
− α
=
α
−
∞ +
→
1 0
1 khi
, 1 0
1
khi 1
a )
A ( lim
1
A
≤ α
>
α
∫
+∞
α 1 ph n kú
tô héi
1
a x
dx
a
Trang 52 TÝch ph©n suy réng cña hµm kh«ng giíi néi
∫
∫ = ε → b−ε
a 0
b
a
dx ) x ( f lim dx
) x
(
f
*)
*
1
∫
∫
ς +
→ ς
a 0
b
a
dx ) x ( f lim dx
) x (
f
*)
*
2
3**) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
ε
ς
−
+
0
*) lim ( ) (
b a
f x dx I
ε ε
−
→+
NÕu h u h¹n) TPSR héi tô
*) Ngư îc l¹i, tÝch ph©n suy réng ph©n kú
*) TPSR (3**) héi tô ⇔ c¶ hai TPSR (1**) vµ (2**) héi tô
x
y
y
O a (c-ε)c(c+η) b
Trang 6VÝ dô 8.4. TÝnh c¸c tÝch ph©n suy réng sau
∫
= e
1 x ln x
dx I
) 1
) 1
ln(
2 2 x
ln
2 x
ln
x ln
d x
ln x
dx )
( I ,
e
1
e
1
ε +
−
=
=
=
= ε
∃
>
ε
ε + ε
∫
2 )
1 ln(
lim 2 2 ) ( I lim
I
0
=
→ ε
→ ε
Trang 7− −
= 1
1 1 x2
dx I
)
−
0
1
1
2 1
dx x
1
dx x
1 dx
2
) 1
arcsin(
lim x
arcsin
lim x
1
dx lim
x 1
dx
0
1 0 0
1
0 2 0
1
0 2
π
= ε
−
=
=
−
=
ε
−
→ ε
ε
−
→
∫
2
) 1 arcsin(
lim x
arcsin
lim x
1
dx lim
x
1
dx
0
0 1 0
0
0
0
π
= η +
−
−
=
=
−
=
η +
−
→ η
∫
π
0 cos x
dx I
) 3
2
2
I = π + π = π
PK 2
2
tg ln
lim 4
2
x tg ln
lim
0
2
π − ε
=
=
→ ε
ε
− π
→ ε
∫
ε
− π
→ ε
0
0 cos x
dx lim
Trang 8XÐt sù héi tô cña tÝch ph©n suy réng , (b a, 0).
) x b (
dx I
b
a
>
α
>
−
= ∫ α
+∞
=
− +
ε
−
=
−
−
=
−
=
−
=
⇒
=
α
→ ε
ε
−
→ ε
ε
−
→
ε ∫
) x b (
dx lim
) x b (
dx I
1
*)
0
b a 0
b
a 0
b
a
<
α
⇔
>
α
− α
−
−
>
α
⇔
<
α
−
∞
+
=
ε
− α
+ α
−
−
=
−
− α
=
−
=
−
⇒
≠
α
α
− α
−
→ ε
α
−
ε
− α
−
→ ε
ε
−
α
→ ε
∫
1 0
1
khi 1
) a b (
, 1 0
1
khi )
(
lim 1
1 1
) a b ( I
) x b
( 1
1 lim )
x b (
dx lim
) x b (
dx 1
*)
1 1
0 1
b a
1 0
b
a 0
b
a
≥ α
<
α
−
∫ α phn kú khi 1
1 khi
tô
héi a )
x b (
dx
b
a
Trang 93 Mét sè ®iÒu kiÖn héi tô
ĐÞnh lý 8.2
Hai hµm f(x) vµ g(x) kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n [a, b] vµ cã
0 ≤ f(x) ≤ g(x) ∀x ≥ a
kú phan kú
n ph NÕu
*)
tô héi tô
héi NÕu
*)
∫
∫
∫
∫
∞ +
∞ +
+∞
+∞
⇒
⇒
a a
a a
dx ) x ( g a
dx ) x ( f
dx ) x ( f dx
) x ( g
ĐÞnh lý 8.3 Hai hµm f(x) vµ g(x) kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n [a, b] vµ cã
( )
( )
x
f x
g x
( )
( )
f x dx g x dx
⇒ ∫ vµ ∫ cï ng héi tô, cï ng phan kú
≤ α
>
α
⇒
∞
nÕu tô
héi víi
bËc cïng
VCB
lµ
x
1 ,
x Khi
*)
a
≥ α
<
α
⇒
−
+
nÕu tô
héi víi
bËc cïng
VCL
lµ
) a x (
1 ),
0 a ( x Khi
*)
b
Trang 10VÝ dô 8.5 XÐt sù héi tô cña c¸c tÝch ph©n suy réng sau
∫
+∞
+ +
=
1 1 x3 1 x2
dx I
)
1
∫
+∞
+
1
2 x cos x
dx )
2
∫
+∞
+ +
1 3 x4 2sinx 3x
dx )
3
2 1 1
2 / 1
2 / 1
0
1
0
I
I ) x 1 ( x 2
dx )
x 1 ( x 2
dx )
x 1
(
x
2
dx
)
−
+
−
=
∫
Trang 11Tr êng hîp f(x) cã dÊu bÊt kú
èi tuyÖt tô
lµ héi gäi
vµ tô héi tô
héi
)
a
a
+∞
⇒
tô héi b¸n kú
phan
nh ng tô,
héi
a a
a
dx ) x ( f dx
) x ( f dx
) x ( f )
b
∫
+∞
=
xdx sin I
2)
VÝ dô 10.6 XÐt sù héi tô cña c¸c tÝch ph©n
suy réng sau
.
dx x 2 x
x sin 2 1 I
1 3 2 2
∫
+∞
+
−
=
x 2
3 x
2 x
x sin 2
1
2 2
3 2 < ∀ ≥ ⇒ +
−
∫
∫
∫
+
π
−
=
−
−
=
−
π
2
3 2
3 2
2
x
xdx
cos 2
1 x
xdx
cos 2
1 x
x
cos x
) x (cos
d x
xdx sin
2
Sö dông ph ¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
èi tuyÖt tô
I x
, x
1 x
x cos
3