SU HOI TU CUA TICH PHAN SUY RONG LOAI 1

sử dụng dấu hiệu so sánh bất đẳng thức.. sử dụng hệ quả..[r]

I LÝ THUYẾT:

1 Vô cùng bé: (khi x → x0, v i ớ x0≠ ∞)

(a)sin u tan u arcsin u acrtan u u ,khi u →0

(b) 1−cos2u u2

2 khi u →0 (c )(1+u) α−1 α u khiu → 0

(d ) ln (1+ u) u khi u →0

(e ) a x−1 x lna khi x →0

(f )e x−1 x khi x →0

* Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé:ta ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao ( lim x → x

0f ( x )=0 thì f(x) gọi là

vô cùng bé)

2 Vô cùng lớn: (khi x → ∞)

Khi x→ ∞ thì thằng nào tiến ra vô cùng nhanh hơn thì giữ lại , thằng nào tiến ra vô cùng chậm hơn thì bỏ

* Quy tắc ngắt bỏ vô cùng lớn:ta ngắt bỏ vô cùng lớn bậc thấp ( lim x → ∞ f ( x )=∞ thì f(x) gọi

là vô cùng lớn)

Ví dụ : lim

x → ∞

x100+x50+1

x100 +x99+100 x →∞lim

x100

x100=1

3 KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ TÍCH PHÂN LOẠI 1 :

a) Tích phân cơ bản : ∫

a

+∞

1

x α dx{phân kỳ : α ≤1 h i ộ tụ: α>1

b) Tích phân phức tạp : (dùng 3 tiêu chuẩn)

Dấu hiệu so sánh bất đẳng thức: 0 ≤ f ( x )≤ g (x ){f ( x ) phân kỳ → g ( x ) phân kỳ g ( x) h i ộ tụ→ f ( x )h i ộ tụ

Dấu hiệu so sánh giới hạn : lim

x → ∞

f (x)

g (x)=k (0 ≤ k ≤+∞) ,{f ( x ) phân kỳ → g ( x ) phân kỳ f ( x )h i ộ tụ→ g ( x ) h i ộ tụ

* Hệ quả: f(x) g(x): cùng h i ộ tụ , cùng phân kỳ

a

+∞

|f ( x )|dx h i ộ tụ→∫

a

+∞

f ( x ) dx h i ộ tụ

II BÀI TẬP : Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

1

+∞

1

x3+1dx (sử dụng hệ quả)

Khi x →+∞ tacó : 1

x3+1

1

x3

+∞ 1

x3dx

hội tụ →∫

1

+∞

1

x3+1dx h i ộ tụ

2

+∞

√x

x3+1dx (sử dụng hệ quả)

Khi x →+∞ tacó : √x

x3+1

√x

x3 =

1

x

5 2

∫

2

+∞

1

x

5

2

dx h i ộ tụ →∫

2

+∞

√x

x3+1dx h i ộ tụ

2

+∞

1

lnx dx (sử dụng dấu hiệu so sánh bất đẳng thức)

Khi x →+∞ tacó :ln x ≤ x → 1

lnx ≥

1

x

∫ 2

+∞

1

x dx phân kỳ (α=1) →∫

2

+∞

1

lnx dx phân kỳ

1

+∞

1

√1+ x √31+x2dx (sử dụng hệ quả)

Khi x →+∞ tacó : 1

√1+x √31+ x2

1

√x √3 x2=

1

x

7 6

∫ 1

+∞

1

x

7 6

dx h i ộ tụ(α=7

6>1)→∫

1

+∞

1

√1+x √31+x2dx h i ộ tụ

e

x x−sin¿

¿

¿dx

x2¿

x +sin x

¿

∫ 1 +∞

¿

x x−sin¿

¿

x2

¿

Khi x →+∞ tacó : x +sin x

¿

x x−sin¿

¿

¿dx

x2¿

x +sin x

¿

∫ 1

+∞

1

x2dx h i ộ tụ (α=2>1)→∫

1

+∞

¿

1

+∞

sin x

x2 dx (sử dụng dấu hiệu so sánh bất đẳng thức)

Khi x →+∞ tacó : sin x

x2 ≤ 1

x2

∫ 1

+∞

1

x2dx h i ộ tụ (α=2>1)→∫

1

+∞

sin x

x2 dx h i ộ tụ

g

Khi x →+∞ tacó :e−2 x= 1

e 2 x ≤1(e

2 x

>0 , khi x →+∞)

Chia 2 vế cho x2ta đ ư ợ: c e−2 x

x2 ≤

1

x2

∫

1

+∞

1

x2dx h i ộ tụ (α=2>1)→∫

1

+∞

e−2 x

x2 dx h i ộ tụ

0

+∞

x2

x4

−x2 +1dx (sử dụng hệ quả)

∫ 1

+∞

e−2 x

x2 dx(sử d ng ụ d u ấ hi u ệ so sánh b t ấ đ ng ẳ th c ứ )

Khi x →+∞ tacó : x

2

x4−x2+1

x2

x4=

1

x2

∫

0

+∞

1

x2dx h i ộ tụ (α=2>1)→∫

0

+∞

x2

x4−x2+1dx h i ộ tụ