NGUYÊN HÀM 1 Định nghĩa Cho hàm số xác định trong khoảng mở ; ta nói rằng hàm số xác định trong là một nguyền hàm của nếu khả vi trong và hay với mọi Ví dụ + là nguyên hàm của vì + là nguyên hàm của v.
Trang 1NGUYÊN HÀM
1 Định nghĩa.
- Cho hàm số
( )
f x
xác định trong khoảng mở
( , )a b
; ta nói rằng hàm số
( )
F x
xác định trong là một nguyền hàm của f x( ) nếu F x( ) khả vi trong ( , )a b và '( ) ( )
F x = f x
hay
( ) ( )
dF x = f x dx
với mọi
( , )
x∈ a b
Ví dụ:
+
4
4
x
là nguyên hàm của
3
x ∀ ∈x ¡
vì
' 4
3
4
x
x
=
÷
+ 2
log x
là nguyên hàm của
1
0
ln 2 x
x ∀ >
vì
2
1 log
ln 2
x x
=
+
sin 4
4
x
là nguyên hàm của cos 4x
vì
'
sin 4
cos 4 4
x
x
-
( )
F x
là một nguyên hàm của
( )
f x ⇒
Có vô số nguyên hàm khác dạng ( )
F x +C
với C là hằng số tuỳ thì vô số nguyên hàm đó được gọi là tích phân bất
định của
( )
f x
,
( , )
x∈ a b
và kí hiệu là
( ) ( )
f x dx F x= +C
∫
Ví dụ:
+
4 3
4
x
x dx = +C
∫
Trang 2
+
sin 4 cos 4
4
x
∫
- Một số tính chất
+
kf x dx k f x dx=
với k ≠ 0
+
(Af x( )+Bg x dx A f x dx B f x dx AF x( )) = ( ) + ( ) = ( )+BG x( )+C
* Công thức tích phân cần nhớ: (SGT – trang 206).
2 Phương pháp đổi biến.
- Dấu hiệu:
( ( )) '( )
g w x w x dx
Cách làm: Đặt
'( )
w x = t
* Chú ý:
- Đổi biến xong trả lại biến cũ
- Nếu gặp tích phân có dạng
( )x
g e dx
Đặt
x
e = t
3 Phương pháp tách tích phân hữu tỉ.
Cho nguyên hàm
( ) ( )
( )
P x
Q x
=
- Nếu
( )
P x
có bậc ≥ Q x ( ) ⇒
Chia đa thức
- Nếu
( )
P x
có bậc <
( )
Q x ⇒
Tách phân thức
⇒
Đưa H x( )
về 4 loại tích phân cơ bản sau:
a)
ln
A
−
∫
Trang 3
b)
1
1
( )
k k
α α
− +
−
−
−
với k ≠1
c)
Mx N
+ + −
(1) Đặt
x p t + =
và
2 2
q p − = a
⇒
2
Mp N
Mt
t a t a
− +
d) ( 2 ) ( 2 2) ( 2 2)
2
Mp N
−