TÍCH PHÂN SUY RNG TÍCH PHÂN SUY RỘNG Lê Văn Lai Khoa Khoa học cơ bản Ngày 7 tháng 10 năm 2021 Nội dung 1 Tích phân bất định 2 Tích phân xác định 3 Tích phân suy rộng loại 1 4 Tích phân suy rộng loại 2.
Trang 1TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Lê Văn Lai
Khoa Khoa học cơ bản
Ngày 7 tháng 10 năm 2021
Trang 2Nội dung
1 Tích phân bất định
2 Tích phân xác định
3 Tích phân suy rộng loại 1
4 Tích phân suy rộng loại 2
5 Bài tập chương 2
Trang 4Tích phân bất định
Tích phân bất định
Cho F (x ) là nguyên hàm của hàm f (x ) trên (a; b) Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f (x ) trên (a; b) được gọi là tích phân bất định của f (x ) trên (a; b), ký hiệu là R
f (x )dx Vậy
Z
f (x )dx = F (x ) + C ,
với C là hằng số tùy ý.
Trang 7Tích phân xác định
Công thức Newton - Leibniz
Nếu f (x ) liên tục trong [a; b] và F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) trên
đó thì
Z b
a f (x )dx = F (b) − F (a)
Trang 8Tích phân suy rộng loại 1
Tích phân suy rộng loại 1 trên miền [a; +∞)
Trang 9Tích phân suy rộng loại 1
Tích phân suy rộng loại 1 trên miền (−∞; a]
Trang 10Tích phân suy rộng loại 1
Trang 11Tích phân suy rộng loại 1
Tiêu chuẩn so sánh 1
Cho f (x ), g (x ) xác định trên [a; +∞) thỏa:
1 Khả tích trên đoạn [a; b], với mọi b > a;
2 0 ≤ f (x ) ≤ g (x ), với mọi x ∈ [a; +∞).
Trang 12Tích phân suy rộng loại 1
Tiêu chuẩn so sánh 2
Cho f (x ), g (x ) xác định, không âm trên [a; +∞) thỏa:
1 Khả tích trên đoạn [a; b], với mọi b > a;
Trang 13Tích phân suy rộng loại 1
Hội tụ tuyệt đối
Cho hàm số f (x ) xác định và khả tích trên đoạn [a; b], với mọi b > a.
Nếu
Z +∞
a |f (x )|dx hội tụ thì Z +∞
a f (x )dx hội tụ.
Trang 14Tích phân suy rộng loại 2
Hàm lấy tích phân không bị chặn tại cận dưới
Cho hàm số f (x ) xác định trên (a; b] và f (x ) khả tích trên đoạn [t; b], với mọi t ∈ (a; b] và lim
Trang 15Tích phân suy rộng loại 2
Hàm lấy tích phân không bị chặn tại cận trên
Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; b) và f (x ) khả tích trên đoạn [a; t], với mọi t ∈ [a; b) và lim
Trang 16Tích phân suy rộng loại 2
Trang 17Tích phân suy rộng loại 2
Tiêu chuẩn so sánh 1
Cho f (x ), g (x ) xác định trên (a; b] thỏa:
1 Khả tích trên đoạn [t; b], với mọi t ∈ (a; b];
2 0 ≤ f (x ) ≤ g (x ), với mọi x ∈ (a; b].
Trang 18Tích phân suy rộng loại 2
Tiêu chuẩn so sánh 2
Cho f (x ), g (x ) xác định, không âm trên (a; b] thỏa:
1 Khả tích trên đoạn [t; b], với mọi t ∈ (a; b];
Trang 19Tích phân suy rộng loại 2
Hội tụ tuyệt đối
Cho hàm số f (x ) xác định và khả tích trên đoạn [t; b], với mọi t ∈ (a; b].
Nếu Z b
a |f (x )|dx hội tụ thì Z b
a f (x )dx hội tụ.
Trang 21cos x dx
sin2x ; 2.
Z π
2 0
1 + tan2x
tan x dx ; 6.
Z π
4 0
Trang 22Z +∞
1
x α
x3 + ln5x dx
Trang 23q
x α (x + 1) (2 − x ) dx ; 3.
cos x + sin x
Z π
2 0
cos x + sin x
3
√sinα x dx ;