bài tập tích phân kép

1 Định nghĩa tích phân kép• Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín D giới hạn bởi đường L đóng và bị chặn; miền D kín nếu nó giới hạn bởi đường cong kín và các điểm trên biên L được coi là th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

TÍCH PHÂN KÉP

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Nguyễn Thành Nhân NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: NHÓM 2

LỚP HỌC PHẦN: MATH140702

(Lớp chiều thứ tư 2022)

——————————o0o—————————–

Thành phố Hồ Chí Minh - 2022

STT HỌ VÀ TÊN MSSV PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ ĐÓNG GÓP

1 Huỳnh Hữu Phước 46.01.101.119 Ý nghĩa hình học tích phân kép 100%

(Nhóm trưởng)

2 Đinh Phan Khánh Vũ 44.01.101.154 Tổng hợp nội dung và trình bày Latex 100%

3 Vũ Thục Thúy Quỳnh 43.01.101.089 Định nghĩa tích phân kép 100%

4 Phú Lương Chí Quốc 46.01.101.127 Ý nghĩa hình học tích phân kép 100%

6 Trần Thanh Tâm 44.01.101.126 Ứng dụng của tích phân kép 100%

7 Trương Thị Mai Phương 43.01.101.083 Định nghĩa tích phân kép 100%

8 Trịnh Kim Mai 46.01.101.083 Soạn Powerpoint 100%

Mục lục

1 Định nghĩa tích phân kép 3

2 Tính chất của tích phân kép 4

3 Ý nghĩa hình học 4

4 Ứng dụng của tích phân hai lớp 10

4.1 Tính diện tích hình phẳng 10

4.2 Tính thể tích vât thể 10

4.3 Tính khối lượng bản mỏng, không đồng chất 11

4.4 Tính diện tích mặt cong 11

5 Ứng dụng của tích phân bội ba 12

5.1 Ứng dụng trong hình học 13

5.2 Ứng dụng trong cơ học 13

1 Định nghĩa tích phân kép

• Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín D giới hạn bởi đường L (đóng và bị chặn; miền D kín nếu nó giới

hạn bởi đường cong kín và các điểm trên biên L được coi là thuộc D)

• Ta xét hình trụ, có mặt đáy là miền D và mặt trên là mặt cong z = f (x, y)(f (x, y) xác định và liên tục

trong miền D)

• Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là ∆S i , i = 1, 2, , nvà mỗi miền có

đường kính là a i(đường kính của 1 miền là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc miền đó Hay ta

có thể ký hiệu: d i = {d(x, y); ∀(x, y) ∈ ∆S i})

• Lấy trên mỗi miền 1 điểm P i (x i , y i)khi đó trên mỗi miền ∆S i, thì hình trụ sẽ xấp xỉ với hình trụ có

đáy là ∆S i và chiều cao là f (x i , y i) Do đó, thể tích của hình trụ có mặt đáy là D và mặt trên là f (x, y)

có thề tính xấp xỉ bởi:

V n=

n

X

i=1

f (x i , y i ) · S i

• Như vậy, tổng V nphụ thuộc vào cách chia (còn gọi là phân hoạch) của miền D và cách chọn điểm

P i Do vậy, nếu chúng ta chia miền D càng nhiều thì thể tích hình trụ càng chính xác Nghĩa là đường

kính d icủa mỗi điểm càng nhỏ (càng tiến về 0 ) thì ta sẽ có chính xác diện tích của miền D

• Vậy, cho n → ∞ sao cho max (d i) → 0 Khi đó, nếu tổng V n tiến đến 1 giá trị hữu hạn V không phụ thuộc cách chia miền D và cách chọn điểm P i thì giới hạn y đó được gọi là tích phân kép của hàm

Khoa Toán-Tin học Giải tích các hàm nhiều biến

f (x, y)trên miền D và được ký hiệu là:R

D R f (x, y)ds

• Trong đó: hàm số f (x, y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân; D được gọi là miền lấy tích phân; ds là

yếu tố diện tích

Nhận xét:

a Từ định nghĩa ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân hai lớp) được xuất phát từ yêu cầu tính thề tích

của hình trụ có mặt trên là mặt cong bất kỳ và mặt đáy là hình chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng

z = 0 Do đó, f (x, y) > 0 Tuy nhiên, ta vẫn có thể xét trường hợp f (x, y) < 0 (trường hợp này có thể xem như hình trụ có mặt dưới là f (x, y) và mặt trên là mặt phẳng z = 0) Và như vậy, ta có thể xét

f (x, y)là hàm có dấu bất kỳ

b Do tích phân hai lớp không phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta có thể chia miền D bởi các

đường thẳng song song với trục Oy (cách đều nhau một khoảng ∆x ) và các đường thẳng song song với trục Ox (cách đều nhau một đoạn ∆y) Khi đó ∆s = ∆x ∆y và ds được thay bời dxdy Nên ta

thường dùng ký hiệu:

Z Z

D

f (x; y)ds =

Z Z

D

f (x; y)dxdy

c Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên miền kín D thì nó khả tích trên miền D ấy Nghĩa là,RR

D f (x; y)dxdy

tồn tại (ta công nhận điều này)

2 Tính chất của tích phân kép

Từ định nghĩa, ta có thể rút ra các tính chất sau đây của tích phân kép:

2.1.RR

D dxdy = S(D) (diện tích miền D)

2.2.RR

D C.f (x; y)dxdy = C.RR

D f (x; y)dxdy

2.3.RR

D (f (x; y) + g(x; y))dxdy =RR

D f (x; y)dxdy +RR

D g(x; y)dxdy

2.4 Nếu miền D được chia thành 2 phần D1và D2không có điểm chung (D1 và D2chỉ có điểm biên chung) thì:

Z Z

D

f (x; y)dxdy =

Z Z

D1

f (x; y)dxdy +

Z Z

D2

f (x; y)dxdy

2.5 Nếu f (x; y) ≤ g(x; y) trên D thì :

Z Z

D

f (x; y)dxdy ≤

Z Z

D

g(x; y)dxdy

2.6 Nếu m ≤ f (x; y) ≤ M, ∀(x; y) ∈ D thì

m.S(D) ≤

Z Z

D

f (x; y)dxdy ≤ M · S(D)

3 Ý nghĩa hình học

Ở chương trình Toán THPT đặc biệt là ở lớp 12 ta đã biết được ý nghĩa của tích phân là tính diện tích miền cần lấy tích phân ví dụ như cho miền tô màu dưới đây là miền tạo bởi độ thị f(x) và trục Ox trong đoạn [a, t]

Ta chia phần diện tích trên thành các phần hình chữ nhật liên tiếp nhau với chiều rộng mỗi hình là

∆x

Khi đó tổng diện tích các hình chữ nhật là

t

P

a

f (x)∆x Ta tiếp tục chia miền trên thành các hình chữ nhật ngày càng nhỏ khi đó tổng trên sẽ trở thành

t

R

a

f (x).dxvà đó chính là diện tích phần được tô màu

Áp dụng tư tưởng trên ta thu được công thức tính thể tích của một hình đối xứng như sau, xét đường cong f(x):

Khoa Toán-Tin học Giải tích các hàm nhiều biến

Ta cho f(x) quay quanh trục Ox ta sẽ thu được một hình như sau:

Khi đó diện tích hình tròn đáy tạo thành là π(f (x))2 Ta cắt hình trên thành các lát mỏng có độ dày dx.

Khi đó thể tích của mỗi lát mỏng là π[f (x)]2dx Ta cộng thể tích các lát mỏng từ 0 tới a lại ta được

a

P

0

π[f (x)]2dx Tương tự nhu ý tưởng tính diện tích đã nêu ở trên ta tiếp tục chia hình nón thành các lát mỏng ngày càng nhỏ khi đó tổng trên sẽ trở thành

a

R

0

π[f (x)]2dx Và đó là cách tính thể tích hình đối xứng

Vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để tính được thể tích của một hình không đối xứng Ví dụ như hình dưới đây:

Khoa Toán-Tin học Giải tích các hàm nhiều biến

Và để tính được thể tích của hình trên ta phải sử dụng đến tích phân kép cụ thể như sau: Xét mặt phẳng (Oxz) ta có:

Sử dụng ý nghĩa của tích phân đã nêu ở trên ta chứng minh được diện tích của miền tạo bởi đồ thị f (x)

và trục Ox trong đoạn [0, b] làRb

0f (x, y)dx Xét một đoạn dy trên Oy Khi đó ta thu được phần hình được tô màu như sau:

Như vậy ta thu được thể tích phần hình được tô màu là

Z b

0

f (x, y)dx

!

dy Ta tiếp tục cắt hình cần tính thành nhiều hình nhỏ như hình dưới đây:

Khoa Toán-Tin học Giải tích các hàm nhiều biến

Khi đó ta sẽ thu được thể tích cần tính là:

a

Z

0





b

Z

0

f (x, y)dx



dy =

a

Z

0

b

Z

0

f (x, y)dxdy

Đây chính là ý nghĩa hình học của tích phân kép mà ta được học

4 Ứng dụng của tích phân hai lớp

4.1 Tính diện tích hình phẳng

Trong tích phân képRR

D f (x, y)dxdy , coi f(x, y) = 1 thìRR

D dxdybiểu diển thể tích hình trụ đáy là miền

D, chiều cao là 1 , về số đo nó đúng bằng diện tích miền D

Vậy diện tích của miền D là:

S =

Z Z

D

dxdyhay S =

Z Z

D

rdrdφ.

Vi dụ 1 Tìm diện tích miền giới hạn bởi các đường:

y = 2 − x2yà y = x

Miền D được biểu diễn dưới dạng: −2 ≤ x ≤ 1; x ≤ y ≤ 2 − x2

Diện tích miền D là: SD=RRD dxdy =R−21 dxR2−x

2

− dy = 276 (đvdt)

4.2 Tính thể tích vât thể

Từ ý nghĩa hình học của tích phân kép ta có thể tích hình trụ cong giới hạn bởi các mặt z = f (x, y) miền D và các đường sinh song song với trục Oz là:

V =







RR

D f (x, y)dxdy khi f (x, y) ≥ 0

−RR

D f (x, y)dxdy khi f (x, y) ≤ 0

Trong trường hợp cần tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt cong z1= f1(x, y), z2= f2(x, y)với giả thiết f1(x, y) ≤ f2(x, y) và miền D chính là hình chiếu của các mặt biên lên mặt phẳng xOy.

V =

Z Z

D

[f2(x, y) − f1(x, y)] dxdy

Trường hợp tổng quát:

V =

Z Z

0

|f2(x, y) − f1(x, y)| dxdy

Vi du 2 Tìm thể tích hình giới hạn bởi các mặt: z = 4 − y2, y = x22, z = 0.

Mặt trên của vật thể là z = 4 − y2, Miền D giới hạn bởi cảc đường y = 2 và y = x2

2

Ta có thể tích phải tính: V =RR

D 4 − y2
dxdy = 12, 2( (đvtt).

4.3 Tính khối lượng bản mỏng, không đồng chất

Giả sử có một bản mỏng, phẳng có diện tích là miền D, Tai điểm M(x, y) khối lượng riêng của nó là

δ(x, y) thì khối lượng của bản mỏng là: m =RR

D δ(x, y)dxdy

Ví du 3 Tìm khối lương của 1 bản phẳng tròn không đồng chất bán kính R, biết rằng khối lương

riêng theo diên tích của bản phẳng tại 1 điểm M(x, y) tỷ lê với khoảng cách từ điểm M(x, y) đến tâm của bản, nghĩa là : δ(x, y) = kp

x2+ y2

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng tâm của bản Áp dung công thức đã nêu ta có:

m =

Z Z

D

kpx2+ y2dxdy, trong đó D là mặt tròn x2+ y2≤ R2

Chuyển sang toạ độ cưc ta có:

m =

Z 2π

0

dφ

Z R 0

kr2dr = 2kπ ·r

3

3

R 0

=2kπR

3

3

4.4 Tính diện tích mặt cong

Cho một mặt (giới hạn bởi một đường kín) có phương trình là z = f (x, y) trong đó f (x, y) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục Khi đó, diện tích mặt cong có phương trình z = f (x, y) được

Khoa Toán-Tin học Giải tích các hàm nhiều biến

tính bằng công thức sau:

S =

Z Z

D

s

1 + ∂z

∂x

2

+ ∂z

∂y

2

dxdy

Dlà hình chiếu của S xuống mặt phẳng xOy

Ví du 4 Tính diên tích của phần mặt cầu x2+ y2+ z2= 4nằm bên trong mặt trụ x2+ y2= 2x

Do tính đối xứng nên ta chỉ xét phần của mặt nằm trong góc phần tám thứ nhất Khi đó:

z =p4 − x2− y2; ∂z

∂x = −

x

p

4 − x2− y2; ∂z

∂y = −

y

p

4 − x2− y2

Vậy diện tích của mặt cong trên là:

S = 4

Z Z

D

2 p

4 − x2− y2dxdy

Trong đó D là nửa mặt tròn x2+ y2− 2x ≤ 0, y ≥ 0 Chuyển sang toạ độ cực, ta được:

S = 8

Z π2

0

dφ

Z 2 cos φ

0

rdr

√

4 − r2 = − 8

Z π2

0

p

4 − r2

2 cos φ

0

dφ = 16

Z π2

0

(1 − sin φ)dφ = 16π

2 − 1.(dvdt)

5 Ứng dụng của tích phân bội ba

Tích phân bội 3 của hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, giới nội D của không gian Oxyz được

xác định như sau:

Nếu miền D được giới hạn bởi các mặt z = z1(x, y) , z = z2(x, y) , với z1(x, y), z2(x, y)là những hàm số

liên tục trong miền D1- hình chiếu của D lên mặt phẳng Oxy, miền D1được giới hạn bởi các đường

y = y1(x), y = y2(x), trong đó y1(x), y2(x) là những hàm số liên tục trên đoạn [a, b], khi đó:

I =

Z b a

dx

Z y2(x)

y1(x) dy

Z z2(x,y)

z1(x,y)

f (x, y, z)dz

5.1 Ứng dụng trong hình học

Vật thể D trong không gian Oxyz có thể tích được cho bởi: V (D) =RRR

D dxdydz

Trong trường hợp D giới hạn trên bởi mặt z = f2(x, y) và giới hạn dưới bởi mặt z = f1(x, y)và giới hạn

xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với Oz và có đường chuẩn là biên của D′trong Oxy thì:

V (D) =

Z Z

D′

[f2(x, y) − f1(x, y)] dxdy

Vi du 5 Tính thể tích phần hình nón z ≥p

x2+ y2nằm trong mặt cầu x2+ y2+ z2= 4

Giải Gọi D là vật thể hình nón z ≥px2+ y2nằm trong hình cầu x2+ y2+ z2≤ 4 Khi đó:

V (D) =

Z Z Z

D

dxdydz

Chuyển sang hệ toạ độ cầu thì: V (D) =RRR

D r2sin θdrdθdφ Trong đó miền giới hạn là: 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π4, 0 ≤ φ ≤ 2π

Như thế : V (D) =R2π

0 dφRπ4

0 dθR2

0 r2sin θdr = π3(2 −√

2)(đvtt )

5.2 Ứng dụng trong cơ học

• Tính khối luợng

Khối lương của vật thể D có khối lượng riêng tại M(x, y, z) là f(x, y, z) thì: m(D) =RRR

D f (x, y, z)dxdydz

• Momen quán tính của vật thể D với khối lượng riêng ρ(x, y, z) đối với:

i Trục Ox: I x=RRR

D y2+ z2
ρ(x, y, z)dxdydz

ii Trục Oy: I y=RRRD x2+ z2
ρ(x, y, z)dxdydz

iii Trục Oz: I z=RRRD y2+ x2
ρ(x, y, z)dxdydz

iv Mặt Oxy: I xy=RRRD z2ρ(x, y, z)dxdydz

v Mặt Oyz: I yz =RRRD x2ρ(x, y, z)dxdydz

vi Mặt Oxz: I xz =RRR

D y2ρ(x, y, z)dxdydz

vii Gốc toa đô: I O=RRR

D x2+ y2+ z2
ρ(x, y, z)dxdydz

• Momen tĩnh của D với khối lượng riêng; ρ(x, y, z)

i Mặt Oxy: M xy=RRR

D zρ(x, y, z)dxdydz

ii Mặt Oyz: M yz=RRR

D xρ(x, y, z)dxdydz

iii Mặt Oxz: M xz =RRR

D yρ(x, y, z)dxdydz

• Trọng tâm của D với khối luợng riêng ρ(x, y, z):

x G= M yz

m(D) , y G=

M xz m(D) , z G =

M xy m(D)

Tài liệu tham khảo

[1] Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến (2022) - Nguyễn Thành Nhân

[2] Toán cao cấp A2 – Nguyễn Hải Đăng

[3] Giải tích 2 (2014) – Ôn Ngũ Minh

[4] https://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-2/double-integrals/

2 − 1.(dvdt)

5 Ứng dụng tích phân bội ba

Tích phân bội hàm số f(x, y, z) xác định miền đóng, giới nội D không gian Oxyz được...

4.4 Tính diện tích mặt cong

Cho mặt (giới hạn đường kín) có phương trình z = f (x, y) f (x, y) hàm số liên tục có đạo hàm riêng liên tục Khi đó, diện tích mặt cong có phương... tham khảo

[1] Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến (2022) - Nguyễn Thành Nhân

[2] Toán cao cấp A2 – Nguyễn Hải Đăng

[3] Giải tích (2014) – Ơn Ngũ Minh

[4] https://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-2/double-integrals/