Đề thi cuối kỳ 1 đại số tuyến tính

KIEÅM TRA PHAÂN LOAÏI – NHOÙM 12 – N Đề thi cuối kỳ 1 năm học 2017 2018 Thời gia Đề thi cuối kỳ 1 năm học 2017 2018 Thời gian 90 phút Môn học Đại số tuyến tính Sinh viên không được sử dụng tài liệu Đề.

Đề thi cuối kỳ 1 năm học 2017-2018 Thời gia

Đề thi cuối kỳ 1 năm học 2017-2018 Thời gian: 90 phút

Môn học: Đại số tuyến tính Sinh viên không được sử dụng tài liệu.

Đề số 1.

1/ Tìm ma trận X sao cho X 2B TA2A2X , với



2/ Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho det(A) = 2, với

A

m







 

3/ Trong R với tích vô hướng3

x y,   x x x1, ,2 3 , y y y1, ,2 3 3x y1 12x y1 2x y1 32x y2 15x y2 2 x y2 3x y3 1 x y3 24x y3 3, cho không gian con F  xx x x x1; ;2 3 1 2x2 x30

a/ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F

b/ Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ v 2; 1;1  lên không gian con F.

4/ Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R3

Giả sử (1;1; 2) (2;1; 2), (2;3; 5) (1; 2; 3), (3;4; 6) (5; 4; 7)f    f    f   

Tìm một cơ sở và số chiều của nhân của ánh xạ tuyến tính f

5/ Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R3, biết

1 2 3

2 5 4

3 7 7

A



là ma trận của ánh xạ f trong cơ sở

 1;1;1; , 2;1;1 , 1;2;1

a/ Tính f 2; 1;3  b/ Tìm một cơ sở và số chiều của ảnh Im f của ánh xạ tuyến tính.

6/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ánh xạ tuyến tính f là phép quay quanh trục Oz một góc

  ngược kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục Oz Gọi A là ma trận của ánh xạ tuyến tính này trong

cơ sở E  1;0;1 , 0;1;1 , 1;1;1      Chéo hóa (nếu được) ma trận A

7/ Đưa dạng toàn phương Q x x( , )Q x x x( , , ) 61 2 3  x129x226x324x x1 2 2x x1 3 4x x về dạng chính tắc và 2 3

nêu rõ phép đổi biến (thí sinh có thể dùng biến đổi trực giao hoặc biến đổi sơ cấp (biến đổi Lagrange))



-n: 90 phút Môn học: Đại số tuyến tính Sinh viên không được sử dụng tài liệu.

Đề số 1.

1/ Tìm ma trận X sao cho X 2B TA2A2X , với



2/ Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho det(A) = 2, với

A

m







 

3/ Trong R với tích vô hướng3

x y,   x x x1, ,2 3 , y y y1, ,2 3 3x y1 12x y1 2x y1 32x y2 15x y2 2 x y2 3x y3 1 x y3 24x y3 3, cho không gian con F  xx x x x1; ;2 3 1 2x2 x30

a/ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F

b/ Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ v 2; 1;1  lên không gian con F.

4/ Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R3

Giả sử (1;1; 2) (2;1; 2), (2;3; 5) (1; 2; 3), (3;4; 6) (5; 4; 7)f    f    f   

Tìm một cơ sở và số chiều của nhân của ánh xạ tuyến tính f

5/ Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R3, biết

1 2 3

2 5 4

3 7 7

A



là ma trận của ánh xạ f trong cơ sở

 1;1;1; , 2;1;1 , 1;2;1

a/ Tính f 2; 1;3  b/ Tìm một cơ sở và số chiều của ảnh Im f của ánh xạ tuyến tính.

6/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ánh xạ tuyến tính f là phép quay quanh trục Oz một góc

  ngược kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục Oz Gọi A là ma trận của ánh xạ tuyến tính này trong

cơ sở E  1;0;1 , 0;1;1 , 1;1;1      Chéo hóa (nếu được) ma trận A

7/ Đưa dạng toàn phương Q x x( , )Q x x x( , , ) 61 2 3  x129x226x324x x1 2 2x x1 3 4x x về dạng chính tắc và 2 3

nêu rõ phép đổi biến (thí sinh có thể dùng biến đổi trực giao hoặc biến đổi sơ cấp (biến đổi Lagrange))



-Đáp án đề số 1 môn Đại số tuyến tính 2017

Đề số 1.

Cách chấm điểm:

1/ Có nhiều cách giải một bài toán, nên các Thầy cô cẩn thận, cách nào cũng cho điểm theo mức độ hoàn thành 2/ Nếu sinh viên chỉ dùng công thức, không nêu cách giải và không giải thích công thức cũng cho điểm tối đa vì trên lớp đã chứng minh các công thức đó rồi

3/ Ở đây tôi trình bày chi tiết nên tốn 4 trang giấy và mất hết cả buổi sáng để đánh máy!! Các Thầy cô có thể bỏ bớt

và in ra cho riêng mình để tiện trong lúc chấm

Thang điểm: Câu 1: 1.5đ, câu 2: 1đ; câu 3: 2 đ, câu 4: 1.5đ, câu 5: 1.5đ, câu 6: 1đ, câu 7: 1.5 đ

1/ PT  XA2B A T 2A2X  X A  2I 2B A T  2A X 2A 2B A A T    2I1 (0.5đ + 0.5đ)

20 8 2

24 18 0

X

(0.5đ)

2/  

det A  ( 1) 3 4 m 20 4m17 2  m15 / 4 (1đ)

3/ a/ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F

1

3

T

y

y

 

 

 ; ; 2  1;0;1 0;1; 2

       E f11;0;1 , f2 0;1; 2   là tập sinh của F (0.5đ)

1

1 2 3

2

T

T T

f x

f x



Trong đó 1 0 1

0 1 2



  Hệ

11

4 1 5

0 7 9

7









Khi đó x  11 ;9 ;7   11;9;7 Cơ sở của F:  11;9;7 

 , dim F 1

b/ Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ v 2; 1;1  lên không gian con F.

E độc lập tuyến tính nên E là cơ sở của F

,

v f g với f F g, F  v x f 1 1x f2 2g Lấy tích vô hướng hai vế lần lượt với f f , có hệ1, 2

(0.5đ)

13 1

12 19

F

  (0.5đ)

4/ Tìm ( )f x  x x x x1; ;2 3R3 Giả sử

1

3

; ; (1;1; 2) (2;3; 5) 3;4; 6 1 3 4

x

x





 

 

       

1

1











         

Khi đó f x f x x x 1; ;2 3f(1;1; 2) f(2;3; 5) f 3; 4; 6 

 

1 1 2 3

(2;1; 2) (1; 2; 3) (5; 4; 7) 1 2 4 1 2 4

x

x







 

 

           

1





(0.5đ)

 1; ;2 3   0  ; ; 3  1;1; 3

Cơ sở của Kerf:  1;1; 3 ,dim   Kerf 1 (0.5đ)

5/ a/ Tính f 2; 1;3 

Theo định nghĩa, ma trận

2 11 26 23 2 117



        

(0.5đ)

b/ Chọn cơ sở chính tắc của R B 3:  1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1     

Tìm ảnh của cơ sở này: f B   f 1;0;0 , f 0;1;0 , f 0;0;1   11;12;8 , 26; 30; 20 , 23;27;18       

Khi đó Im f 11;12;8 , 26; 30; 20 , 23;27;18        (0.5đ) Im f 1;2;2 , 0;3;2   

Cơ sở của Imf:  1;2;2 , 0;3;2    , dim (Imf) = 2 (0.5đ)

6/ Ma trận của ánh xạ tuyến tính này trong cơ sở chính tắc là

M

Ma trận của f trong cơ sở E là 1

   

(0.5đ)

PTĐT:  1 2  1 0 Có hai trị riêng: 11, BĐS  1 2, 2 1, BĐS 2 1

Tìm cơ sở của các không gian con riêng:

Ứng với 11 Xét hệ  1 



        

      

Cơ sở của không gian con riêng thứ nhất:

0 , 1

   

   

   

   

   

BHH  1 2

Ứng với 2 1 Xét hệ  2 

1

1





   

   

       

   

   

Cơ sở của không gian con riêng thứ hai:

1 1 1

 

 

 

 

 

BHH 2 1

BHH  1 2= BĐS  1 , BHH 2 1= BĐS 2 Suy ra A chéo hóa được A PDP1

với

1 0 0

D

và

P

   

(0.5đ)

Có rất nhiều cách giải bài này Ví dụ Qua phép quay thì véctơ nào có ảnh cùng phương với véctơ ban đầu là véctơ riêng Từ đây suy ra ngay ánh xạ f có hai trị riêng là 11 và  2 1 Các vécto riêng của f ứng với

1

 là các véctơ thuộc mặt phẳng Oxy, Các vécto riêng của f ứng với 2 là các véctơ thuộc trục Oz

7/ Ma trận của dạng toàn phương:



A

PTĐT:   5 2  11 0.Có hai trị riêng: 15,2 11 (0.5đ)

Tìm cơ sở trực chuẩn của các KGCR

Ứng với 15 Xét hệ  1  0

2



  

Chọn một véctơ 1

1 0 1

X

 

 

 

 

 

2



  

Chọn   1  1

Suy ra 2

1 1 1

X

 

 

  

 

  Cơ sở trực giao của KGCR thứ nhất:

1 1

0 , 1

   

   



   

   

   

Cơ sở trực chuẩn của KGCR thứ nhất

1/ 3 1/ 2

0 , 1/ 3 1/ 2 1/ 3

   

   



    

Ứng với 2 11 Xét hệ  A 2I X 0 X 2







     

Cơ sở trực chuẩn của KGCR thứ hai

1/ 6

2 / 6 1/ 6

 

 

 



 

1/ 2 1/ 3 1/ 6

5 0 0

0 0 11 1/ 2 1/ 3 1/ 6

T

(0.5đ)

Phép đổi biến X PY Dạng chính tắc: Q y y y 1; ;2 3 YDY T 5y125y2211y32 (0.5đ)

Phương pháp Lagrange thì các Thầy cô tự chấm



-Đề thi cuối kỳ 1 năm học 2017 - 2018 Thời gian: 90 phút

Môn học: Đại số tuyến tính.

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Đề số 2.

1/ Tìm ma trận X thỏa A X 3B T 2A3X , với

2 6 5 , 2 0 3



2/ Tìm tất cả các giá trị thực của m để det(A) = 3, với

1 2 2 1

2 5 5 4

2 0 1 3

A

m



3/ Trong R với tích vô hướng3

x y,   x x x1, ,2 3 , y y y1, ,2 3  3x y1 1x y1 22x y1 3x y2 14x y2 2 x y2 32x y3 1 x y3 25x y3 3, cho không gian con F được sinh ra bởi họ véctơ  1;1; 2 , 2;3;5 , 3;4;7 và véctơ       v 2; 1;3 

a/ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F

b/ Tính khoảng cách từ véctơ v đến không gian con F

4/ Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R3 biết ma trận của f trong cơ sở E (1;1;1),(1; 2;1), (2;3;1) là

1 1 2

2 3 3

3 4 5

A



Tìm một cơ sở và số chiều của nhân của ánh xạ f

5/ Cho ánh xạ tuyến tính f R: 3 R3, biết

(1;2;1) (1; 2; 3), (2;3;5) (2; 3;1), (3;5;7) (3;1;5)

b/Tìm ma trận A của f trong cơ sở E (1; 2;1),(2;5;3),(3;7;3)

6/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ánh xạ tuyến tính f là phép đối xứng qua mặt phẳng

x y z  Gọi A là ma trận của ánh xạ tuyến tính này trong cơ sở E  1;2;1; , 2;5;3 , 3;7;5     

Chéo hóa (nếu được) A

7/ Sử dụng phép biến đổi trực giao hoặc biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp), đưa dạng toàn phương

( , ) ( , , ) 2 10 5 6  4 12



-Đáp án đề số 2 môn Đại số tuyến tính 2017

Đề số 2.

6/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ánh xạ tuyến tính f là phép đối xứng qua mặt phẳng

x y z  Gọi A là ma trận của ánh xạ tuyến tính này trong cơ sở E  1;2;1; , 2;5;3 , 3;7;5     

Chéo hóa (nếu được) A

Cách chấm điểm:

1/ Có nhiều cách giải một bài toán, nên các Thầy cô cẩn thận, cách nào cũng cho điểm theo mức độ hoàn thành 2/ Nếu sinh viên chỉ dùng công thức, không nêu cách giải và không giải thích công thức cũng cho điểm tối đa vì trên lớp đã chứng minh các công thức đó rồi

3/ Ở đây tôi trình bày chi tiết nên tốn 4 trang giấy và mất hết cả buổi sáng để đánh máy!! Các Thầy cô có thể bỏ bớt

và in ra cho riêng mình để tiện trong lúc chấm

Thang điểm: Câu 1: 1.5đ, câu 2: 1đ; câu 3: 2 đ, câu 4: 1.5đ, câu 5: 1.5đ, câu 6: 1đ, câu 7: 1.5 đ

1/ PT A X 3B T 2A3X  AX3AB T 2A3X  A 3I X 2A 3AB T  X A 3I12A 3AB T

(0.5đ + 0.5đ)

137 393 222

63 185 120

X



(0.5đ)

2/  







 

det A 3m21 3 2   m6 (1đ)

3/ a/ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F

1

3

T

y

y

 

 

1 1;1; 2 , 2 2;3;5 , 3 3; 4;7

F  f  f  f   là tập sinh của F (0.5đ)

T







Trong đó

1 1 2

2 3 5

3 4 7

F

Hệ









Khi đó x  21 ; ;15   21;1;15 Cơ sở của F:  21;1;15 

 , dim F 1

b/ Cơ sở của F là : f11;1; 2 , f2 0;1;1 

,

v f g với f F g, F  v x f 1 1x f2 2g Lấy tích vô hướng hai vế lần lượt với f f , có hệ1, 2

16 / 5

15 / 7

F

Khoảng cách:  

6 / 5

128 8 70

35 35

6 / 7

T F

(0.5đ)

4/ Theo định nghĩa, ma trận

30 3 36

47 5 56

20 2 24



(0.5đ)

 1; ;2 3   0 4 ;4 ;3  4;4;3

Cơ sở của Kerf:  4; 4;3 ,dim  Kerf   1 (0.5đ)

5/ a/ Tính f 1;5;2

Theo trình bày trong đáp án đề 1, ta có    

1

26 13 2

38 14 7





(0.5đ)

1;5;2 26 13 2 5 43

38 14 7 2 46

f

      

     

(0.5đ)

b/ Theo trình bày trong đáp án đề 1, ta có

1



(0.5đ)

6/ Chọn cơ sở Bb11;0;1 , b2 0;1;2 , b3 1;2; 1   gồm cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng và véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Khi đó f b 1 b f b1,  2 b f b2,  3 b3

Suy ra    

1

2 / 3 2 / 3 1/ 3

2 / 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 2 / 3





Ma trận của ánh xạ tuyến tính này trong cơ sở chính tắc là

Ma trận của f trong cơ sở E là 1

8 / 3 5 8

8 / 3 6 9

(0.5đ)

PTĐT:   1 2 1 0 Có hai trị riêng: 11, BĐS  1 2, 2 1, BĐS 2 1

Tìm cơ sở của các không gian con riêng:

Ứng với 11 Xét hệ  

1



   

   

Cơ sở của không gian con riêng thứ nhất:

0 , 4

   

   

   

   

   

BHH  1 2

Ứng với 2 1 Xét hệ  2 

2







       

Cơ sở của không gian con riêng thứ hai:

3 2 2

 

 

 

 

 

BHH 2 1

BHH  1 2= BĐS  1 , BHH 2 1= BĐS 2 Suy ra A chéo hóa được  A PDP 1

với

1 0 0

0 1 0

0 0 1

D

và

P

   

(0.5đ)

Có rất nhiều cách giải bài này Ví dụ Qua phép đối xứng thì véctơ nào có ảnh cùng phương với véctơ ban đầu là véctơ riêng Từ đây suy ra ngay ánh xạ f có hai trị riêng là 11 và  2 1

7/ Ma trận của dạng toàn phương:

3 10 6



A

PTĐT:   1 2  15 0.Có hai trị riêng: 11,215 (0.5đ)

Tìm cơ sở trực chuẩn của các KGCR

Ứng với 11 Xét hệ  1 

3 2 0



 

Chọn một véctơ 1

3 1 0

X



 

 

 

 

 

3 2



 

Chọn   5  3

Suy ra 2

1 3 5

X

 

 

 

 

 

Cơ sở trực giao của KGCR thứ nhất:

3 1

1 , 3

0 5



   

   

   

   

   

Cơ sở trực chuẩn của KGCR thứ nhất

3 / 10 1/ 35 1/ 10 , 3 / 35

0 5 / 35

   

   

   

   

Ứng với 2 15 Xét hệ  2  0 3

2





 

Cơ sở trực chuẩn của KGCR thứ hai

1/ 14

3 / 14

2 / 14

 

 

 



 

3 / 10 1/ 35 1/ 14

1 0 0 , 0 1 0 , 1/ 100 3 / 35 3 / 14

0 0 15 0 5 / 35 2 / 14

T



(0.5đ)

Phép đổi biến X PY Dạng chính tắc: Q y y y 1; ;2 3 YDY T y12y2215y32 (0.5đ)

Phương pháp Lagrange thì các Thầy cô tự chấm

