ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY Giải tích 1

Sinh viên không được sử dụng tài liệu.. Chủ nhiệm bộ môn PGS.TS.Nguyễn Đình Huy... Tính thể tích vật thể được tạo ra khi D quay quanh trục Ox.. Sinh viên không được sử dụng tài liệu.. Ch

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Bộ môn Toán - Ứng dụng

HKI -2014-2015

Môn Thi: Giải tích 1 Ngày thi: 31/01/2015

Thời gian: 90 phút

CA 1 Hình thức thi: TỰ LUẬN

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2

x√

4 − x2 Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I =

+∞

R

0

√

1 + x2

xm(1 + xm+1)dx.

Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =

+∞

R

ln 2

dx (1 − e2x)ex Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho miền D giới hạn bởi

y =√

2 − x, x = y, y = 0 quay quanh trục Oy

Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân

(xy0 − y) arctany

x = x thỏa điều kiện y(1) = 0

Câu 6: Giải phương trình vi phân y00− 3y0+ 2y = 2xe2x

Câu 7: Giải hệ phương trình vi phân

(

x0(t) = x(t) − y(t) + et,

y0(t) = x(t) + 3y(t) − 3

Đề gồm 7 câu

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Chủ nhiệm bộ môn

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy

Đáp án CA 1

1 ) y = 2

x√

4 − x2 TXD: (−2, 0) ∪ (0, 2) 3 TCĐ: x = 0, x = ±2

y0 = 4x

2− 8

x2p(4 − x2)3 Cực đại (−√

2, −1), cực tiểu (√

2, 1)

BBT:

f (x) −∞ % −1 & −∞|| +∞& 1 % +∞

Vẽ ĐT

2 ) Tìm m > 0 để tp HT: I =

+∞

R

0

√

1 + x2

xm(1 + xm+1)dx =

R1

0 +R1+∞ = I1+ I2 Hàm f (x) > 0, ∀x > 0

x → 0+ : f ∼ 1

xm Suy ra I1 hội tụ khi và chỉ khi m < 1

x → +∞ : f ∼ 1

x2m Suy ra I2 hội tụ khi và chỉ khi m > 1

2 Vậy I hội tụ khi và chỉ khi 1

2 < m < 1.

3 ) Tính I =R+∞

ln 2

dx

ex(1 − e2x) Đặt t = e

x ⇒ I =R+∞

2

dt (1 − t2)t2

I =R2+∞

 1

1 − t2 + 1

t2



dt =  1

2ln

t + 1

t − 1 −1

t



+∞

2

I = 1

2 −1

2ln 3.

4 ) Tính Vy, D : y =√

2 − x, y = x, y = 0

Cách 1: Vy = 2πR1

0 x.xdx + 2πR2

1 x√

2 − xdx(1đ) = 38π

15 Cách 2: Vy = πR−10 [(2 − y2)2− y2]dy(1đ) = 38π

15

5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy0 − y) arctany

x = x thỏa điều kiện y(1) = 0.

y0 = 1

arctany

x

+ y

x Đặt u =

y x

arctan udu = dx

x =⇒ u arctan u −

1

2ln(1 + u

2) = ln |x| + C

Thay điều kiện: C = 0 Vậy nghiệm y

xarctan

y

x +

1

2ln(1 +

y2

x2) = ln |x|

6 ) Giải y00− 3y0+ 2y = 2xe2x

Nghiệm thuần nhất y0 = C1ex+ C2e2x

yr = x(Ax + B)e2x

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Bộ môn Toán - Ứng dụng

HKI -2014-2015

Môn Thi: Giải tích 1 Ngày thi: 31/01/2015

Thời gian: 90 phút

CA 2 Hình thức thi: TỰ LUẬN

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x

2− 2x + 1

x2 − 4 . Câu 2: Tìm tất cả các giá trị m > 0 để tích phân I =

1

R

0

x3+ x23

x2+ arctan xmdx hội tụ

Câu 3: Tính tích phân suy rộng sau: I =

+∞

R

0

√ x

x3+ 1dx.

Câu 4: Cho miền phẳng D :

y ≥ 0, y ≤√

3x, x2+ y2 ≤ 4 Tính thể tích vật thể được tạo ra khi D quay quanh trục Ox

Câu 5: Tìm nghiệm phương trình: xy0− y(2y ln x − 1) = 0, thỏa điều kiện y(1) = 1

Câu 6: Tìm nghiệm của phương trình y00+ 2y0+ y = 2 cos x

Câu 7: Giải hệ phương trình :

(

x0(t) = 7x(t) + 3y(t) − 2,

y0(t) = 3x(t) − y(t) + 8t

Đề gồm 7 câu

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Chủ nhiệm bộ môn

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy

Đáp án CA 2

1 ) y = x

2− 2x + 1

x2− 4 TXD: x 6= ±2 TCĐ: x = ±2, TCN: y = 1

y0 = 2x

2− 5x + 4

(x2− 4)2) Cực đại (1, 0), cực tiểu (4,

3

4)

BBT:

f (x) 1 % +∞ || −∞% 0 & −∞ || +∞& 3 % 1

Vẽ ĐT

2 ) Tìm m > 0 để tp HT: I =

1

R

0

x3+ x23

x2+ arctan xmdx

Hàm f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2], Ta sẽ so sánh khi x → 0+ Lưu ý: Không nhận xét f dương thì trừ 0.25đ

α > 2 : f ∼ x

2

x2 = 1

x43

Suy ra Tp PK

α = 2 : f ∼ x

2 3

2x2 Suy ra Tp PK

α < 2 : f ∼ x

2 3

xα = 1

xα− 2 3

Suy ra tp HT khi và chỉ khi α − 2

3 < 1 ↔ α <

5 3 Vậy I hội tụ khi và chỉ khi 0 < α < 5

3

3 ) Tính I =

+∞

R

0

√ x

x3+ 1dx Đặt t =

√

x ⇒ I =

+∞

R

0

2t2dt

t6+ 1 =

2

3arctan t

3

+∞

0

= π 3

4 ) Tính Vx, D : y ≥ 0, y ≤√

3x, x2+ y2 ≤ 4

Vx = πR01 x√

3
2dx +R12 √

4 − x2
2

dx= 8π

3 .

5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân xy0− y(2y ln x − 1) = 0 thỏa điều kiện y(1) = 1

y0+ 1

xy = 2

ln x

x y

2 Đặt z = y−1

Ta được pt z0− 1

xz = −2

ln x

x =⇒ z = x



2ln x + 1



Thay điều kiện: C = −1 Vậy nghiệm y = 1

2 (ln x + 1) − x

6 ) Giải y00+ 2y0+ y = 2 cos x

Nghiệm thuần nhất ytn = C1e−x+ C2xe−x

yr = A cos x + B sin x

Y y Y C2e

80 − 1

HKI -2 014 -2 015

Mơn Thi: Giải tích Ngày thi: 31/ 01/ 2 015

Thời gian: 90 phút

CA Hình thức thi: TỰ LUẬN

Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y =...

1< /small> x√

2 − xdx (1? ?) = 38π

15 Cách 2: Vy = πR? ?1< /sub>0 [(2 − y2)2− y2]dy (1? ?) = 38π...

I = 1< /sup>

2 −1< /sup>

2ln 3.

4 ) Tính Vy, D : y =√

2 − x, y = x, y =

Cách 1: Vy = 2πR1< /small>

0