LỜI MỞ ĐẦU Bồ đề kèm lời giải này được thực hiện vì nhu cầu muốn các bạn sinh viên có nguồn tham khảo cách tư duy trong việc giải các câu trong đề thi các năm của môn đại số tuyến tính..
Trang 3LỜI MỞ ĐẦU
Bồ đề kèm lời giải này được thực hiện vì nhu cầu muốn các bạn sinh viên có nguồn tham khảo cách tư duy trong việc giải các câu trong đề thi các năm của môn đại số tuyến tính Các đề được thu thập từ đề thi các năm của khoa Toán – Tin học, trường Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia TP.Hồ Chí Minh Trong lúc thực hiện sẽ có thể có sai sót trong cách suy luận và xuất hiện các lỗi đánh máy, xin các bạn đọc bỏ qua cho
Mọi góp ý về đề thi và lời giải xin gửi về email dpthienphu@gmail.com
Chúc các bạn có được lợi ích khi xem xét các phần trong bộ đề kèm lời giải này
Chúng tôi hi vọng nhận được phản hồi tích cực từ các bạn
Để ủng hộ cho công việc sản xuất các sản phẩm học tập trong tương lai, các bạn có thể ủng hộ cho chúng tôi thông qua các hình thức sau:
Trang 4MỤC LỤC PHẦN I: ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
PHẦN II: ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
PHẦN III: LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
PHẦN IV: LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Trang 5LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2018 – 2019 82
Trang 6Đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính ???? – ????
Câu 1: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
{
4𝑥1 + 𝑥2+ 2𝑥3+ 𝑥4 = 03𝑥1 + 𝑥3+ 6𝑥4 = −25𝑥1+ 7𝑥2+ 9𝑥3+ 8𝑥4 = 6
b) Từ đó, tính 𝐴−1
Trang 7Đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính 2009 – 2010
b) Áp dụng phần a) để tính 𝐴𝑛, 𝑛 ≥ 1
Trang 8Đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính 2016 – 2017
b) Giải hệ phương trình tuyến tính 𝐴𝑋 = 0
Câu 2: Tìm nghịch đảo của ma trận 𝐴 = [
Trang 9Đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính 2017 – 2018
Trang 10Đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính 2018 – 2019
b) Tìm ma trận nghịch đảo của 𝐴 trong trường hợp 𝑚 = 1
b) Giải hệ phương trình 𝐴𝑋 = 0
Câu 3: Giải và biện luận (theo tham số 𝑚) hệ phương trình sau:
{ 2𝑚𝑥1+ (𝑚 − 3)𝑥2 = 4(3𝑚 + 1)𝑥1+ (𝑚 − 5)𝑥2 = 𝑚 + 7
Câu 4: Cho ma trận 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ) thỏa mãn 𝐴2 = 3𝐴 Chứng minh rằng 𝐴 + 𝐼𝑛 là ma trận khả nghịch
Trang 11Đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính 2019 – 2020
Câu 1: Kiểm tra tính khả nghịch và tìm 𝐴−1 nếu có với
Câu 3: Cho hai ma trận 𝐴 = [
b) Xác định tất cả các giá trị của tham số thực 𝑚 sao cho det 𝐵 = det(2𝐴)
Câu 4: Vết của một ma trận vuông 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛(ℝ), ký hiệu tr(𝐴), được định nghĩa là tổng của tất cả các hệ số trên đường chéo chính của 𝐴, nghĩa là tr(𝐴) = ∑𝑛𝑖=1𝑎𝑖𝑖 Chứng minh rằng nếu 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(ℝ) thỏa tr(𝐵𝐵⊤) = 0 thì 𝐵 = 0
Trang 12Đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2009 – 2010
2) Tìm ma trận đổi cơ sở từ ℬ sang ℬ′ ứng với 𝑚 = 1
Câu 3: Trong không gian ℝ4 cho các không gian con 𝑊1 = 〈(0; 0; 1; 0); (1; 2; 1; 0); (0; 0; 1; 1)〉 và
𝑊2 = 〈(0; 1; 0; 1); (1; 1; 0; 2); (0; 1; 1; 1)〉 Hãy tìm một cơ sở của không gian con 𝑊1 ∩ 𝑊2
Câu 4: Cho các ánh xạ tuyến tính 𝑓 ∶ 𝑈 → 𝑉 và 𝑔 ∶ 𝑉 → 𝑊 mà 𝑔𝑓 là đẳng cấu Chứng minh rằng Im 𝑓 ∩Ker 𝑔 = {0} và 𝑉 = Im 𝑓 + Ker 𝑔
Câu 5: Toán tử tuyến tính 𝜑 trên ℝ3 trong cơ sở 𝒞 = ((1; 1; 1); (1; 2; 0); (3; 0; 0)) có ma trận là
Trang 13Đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2011 – 2012
Câu 1: Gọi 𝑊 là tập hợp các ma trận đối xứng thuộc 𝑀𝑛(ℝ) Chứng minh rằng 𝑊 là không gian vector của 𝑀𝑛(ℝ) Tìm số chiều và một cơ sở của 𝑊
Câu 2: Trong không gian ℝ3 cho các hệ vector ℬ = (𝑢1; 𝑢2; 𝑢3); ℬ′ = (𝑣1; 𝑣2; 𝑣3) với
𝑢1 = (1; 0; 1); 𝑢2 = (0; 1; 0); 𝑢3 = (2; 1; 0); 𝑣1 = (0; 0; 1); 𝑣2 = (0; 1; −1); 𝑣3 = (𝑚; 1; 1) 1) Tìm 𝑚 để ℬ′ là một cơ sở của ℝ3
2) Tìm ma trận đổi cơ sở từ ℬ sang ℬ′ứng với 𝑚 = 1
Câu 3: Cho toán tử tuyến tính 𝑓: 𝑉 → 𝑉 mà 𝑓𝑓 = 𝑓 Chứng minh rằng:
Trang 14Đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2012 – 2013
Câu 3: Trong không gian ℝ4 cho các không gian con
𝑊1 = 〈(0; 0; 1; 0); (1; 2; 1; 0); (0; 0; 1; 1)〉 và 𝑊2 = 〈(𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; 𝑥4) ∈ ℝ4|𝑥4 = 𝑥2+ 𝑥1〉 Hãy tìm một cơ sở của không gian con 𝑊1 ∩ 𝑊2
Câu 4: Cho 𝑓 ∶ ℝ𝑛 → ℝ𝑛 là toán tử tuyến tính mà 𝑓 ∘ 𝑓 = 𝑓 Giả sử 𝒳 = (𝑤1; 𝑤2; ⋯ ; 𝑤𝑟) và
𝒴 = (𝑤1+𝑟; 𝑤2+𝑟; ⋯ ; 𝑤𝑛) lần lượt là cơ sở của Ker 𝑓 và Im 𝑓
a) Chứng minh rằng 𝒞 = (𝑤1; 𝑤2; ⋯ ; 𝑤𝑛) là cơ sở của ℝ𝑛
b) Hãy tìm ma trận biểu diễn của toán tử 𝑓 trong cơ sở 𝒞
Câu 5: Toán tử tuyến tính 𝜑 trên ℝ3 trong cơ sở chính tắc ℬ0 = ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)) có ma trận biểu diễn là
Trang 15Đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2013 – 2014
Câu 1: Cho ma trận
𝐴 = [1 2
0 1] Tìm tất cả các ma trận 2 × 2 𝐵 sao cho 𝐵 ≠ 0; 𝐵 ≠ 𝐼2 và 𝐵 thỏa tính chất 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴
a) Không gian dòng của 𝐴
b) Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 𝐴𝑋 = 0
Câu 4: Giả sử 𝐴 là một ma trận có kích thước 4 × 3 và 𝐵 là một ma trận có kích thước 3 × 4 Đặt
𝐶 = 𝐴𝐵 Hỏi có tồn tại ma trận 𝐴 và 𝐵 sao cho các cột của 𝐶 độc lập tuyến tính hay không? Nếu có, hãy cho một ví dụ Nếu không, hãy chứng minh
Câu 5: Cho 𝑉 = ℝ2[𝑡] (không gian các đa thức thực có bậc nhỏ hơn hay bằng 2) Đặt
a) Kiểm tra 𝐶 và 𝐵 là hai cơ sở của ℝ2 và ℝ3
b) Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 𝑇 theo cơ sở 𝐵 và 𝐶, [𝑇]𝐵; 𝐶
Trang 16Đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2014 – 2015
Câu 1: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số 𝑚 ∈ ℝ
{
𝑥1− 2𝑥2+ 𝑥3 − 𝑥4+ 𝑥5= 𝑚2𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3+ 2𝑥4− 2𝑥5= 3𝑚3𝑥1− 2𝑥2− 𝑥3 + 𝑥4− 𝑥5= 𝑚 + 12𝑥1− 5𝑥2+ 𝑥3− 2𝑥4+ 2𝑥5= 𝑚 − 1
Câu 2: Trong không gian ℝ3 cho các hệ vector ℬ = (𝑢1; 𝑢2; 𝑢3); ℬ′ = (𝑣1; 𝑣2; 𝑣3) với
𝑢1 = (1; 0; −1); 𝑢2 = (0; −2; 1); 𝑢3 = (0; 1; 1); 𝑣1 = (2; 1; −1); 𝑣2 = (1; 1; 6); 𝑣3 = (−1; 1; 𝑚) a) Tìm 𝑚 để ℬ′ là một cơ sở của ℝ3
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ ℬ sang ℬ′ ứng với 𝑚 = 1
Câu 3: Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛(ℝ) thỏa điều kiện 𝑎𝑖𝑖 > ∑𝑗≠𝑖|𝑎𝑖𝑗| với mọi 𝑖 Chứng minh rằng det 𝐴 ≠ 0
Câu 4: Cho các ánh xạ tuyến tính 𝑓 ∶ 𝑈 → 𝑉 và 𝑔 ∶ 𝑉 → 𝑊 mà 𝑔𝑓 là đẳng cấu Chứng minh rằng
Trang 17Đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2015 – 2016
Câu 1: Giải và biện luận (theo tham số 𝑚) hệ phương trình sau:
a) Chứng minh tập hợp ℬ = (𝑢1; 𝑢2; 𝑢3) là cơ sở của 𝑊 và xác định tọa độ của 𝑢4 theo cơ sở ℬ
b) Cho 𝑢 = (1; 𝑚; 3; 𝑚 − 2) ∈ ℝ4 Tìm 𝑚 để 𝑢 ∈ 𝑊 Với giá trị 𝑚 vừa tìm được, hãy biểu diễn vector
𝑢 dưới dạng tổ hợp tuyến tính của 𝑢1; 𝑢2; 𝑢3
Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 ∈ 𝐿(ℝ4; ℝ3) xác định bởi:
𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑡) = (𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 𝑡; 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 𝑡; 𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 + 3𝑡) a) Tìm một cơ sở của không gian Im 𝑓 và một cơ sở của không gian Ker 𝑓
b) Xác định ma trận biểu diễn 𝑓 theo cặp cơ sở ℬ0, ℬ; trong đó ℬ0 là cơ sở chính tắc của ℝ4 và
ℬ = {(1; 0; 1); (0; −1; 0); (0; 1; 2)} là cơ sở của ℝ3
Câu 5:
a) Cho 𝑉 là không gian vector trên ℝ, dim 𝑉 = 3 và 𝑢; 𝑣; 𝑤 ∈ 𝑉 Chứng minh rằng ℬ = {𝑢; 𝑣; 𝑤} là cơ
sở của 𝑉 khi và chỉ khi ℬ′ = {𝑢 + 𝑣; 𝑣 − 𝑤; 𝑤 + 2𝑢} là cơ sở của 𝑉
b) Cho 𝐴; 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(ℝ) thỏa mãn điều kiện 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 và 𝐴2 = 𝐵2 = 0 Chứng minh rằng (𝐼𝑛+ 𝐴 + 𝐵) khả nghịch và (𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵) không khả nghịch
Trang 18Đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2016 – 2017
Câu 1: Cho hai ma trận 𝐴 = [
a) Chứng minh 𝑊 là không gian con của không gian vector ℝ3
b) Tìm cơ sở và xác định số chiều của không gian 𝑊
Câu 3: Cho tập hợp ℬ = {𝑢1 = (1; 2; 2); 𝑢2 = (1; 1; −1)} và 𝑊 là không gian sinh bởi ℬ
a) Chứng minh ℬ là cơ sở của 𝑊
b) Tìm 𝑚 để vector 𝑢 = (1; −1; 𝑚) thuộc không gian 𝑊 và với giá trị đó của 𝑚, hãy xác định tọa độ của 𝑢 theo cơ sở ℬ
Câu 4: Giả sử ℬ = {𝑢; 𝑣} là cơ sở của không gian vector 𝑉 Đặt ℬ′ = {𝑢 − 2𝑣; 3𝑢 − 5𝑣}
a) Chứng minh ℬ′ là cơ sở của 𝑉 và xác định ma trận chuyển cơ sở từ ℬ′ sang ℬ
b) Cho 𝑤 ∈ 𝑉 thỏa mãn [𝑤]ℬ = [ 3
−2] Hãy xác định tọa độ của 𝑤 theo cơ sở ℬ′
Câu 5: Cho toán tử tuyến tính 𝑓 ∈ 𝐿(ℝ3) xác định bởi:
𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧; 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧; 3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧) a) Xác định cơ sở cho các không gian Ker 𝑓 và Im 𝑓
b) Cho ℬ = {𝑢1 = (1; −1; 0); 𝑢2 = (1; 0; −1); 𝑢3 = (0; −1; 0)} Chứng tỏ ℬ là cơ sở của ℝ3 và xác định ma trận biểu diễn 𝑓 theo cơ sở ℬ
Trang 19Đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2017 – 2018
b) Tìm nghịch đảo của 𝐴 trong trường hợp 𝑚 = 1
Câu 2: Cho 𝑊 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3|𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 + 𝑧} và 𝑊′ = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3|𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧} Chứng minh rằng 𝑊 là không gian con của ℝ3 và 𝑊′ không là không gian con của ℝ3
Câu 3: Trong ℝ3, cho 𝑢1 = (1; 1; 2); 𝑢2 = (2; 1; 1); 𝑢3 = (1; 3; 7) và ℬ = {𝑢1; 𝑢2; 𝑢3}
a) Chứng minh ℬ là cơ sở của ℝ3 và tìm tọa độ của vector 𝑢 = (5; 4; 6) theo cơ sở ℬ
b) Tìm 𝑚 để 𝑣 = (1; 3; 𝑚) là tổ hợp tuyến tính của 𝑢1; 𝑢2 Với giá trị 𝑚 vừa tìm được, hãy xác định dạng biểu diễn tuyến tính của 𝑣 theo 𝑢1 và 𝑢2
c) Xác định cơ sở ℬ′ = {𝑢1′; 𝑢2′; 𝑢3′} của ℝ3 sao cho ma trận chuyển cơ sở từ ℬ′ sang ℬ là
b) Xác định ma trận biểu diễn 𝑓 theo cặp cơ sở ℬ0, ℬ; trong đó ℬ0 là cơ sở chính tắc của ℝ4 và
ℬ = {(1; 0; −1); (0; 1; 0); (0; −1; 1)} là cơ sở của ℝ3
Câu 5: Cho 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ) thỏa mãn 𝐴3+ 3𝐴2+ 3𝐴 + 𝐼𝑛 = 0 Chứng minh rằng 𝐴 khả nghịch nhưng
𝐴 + 𝐼𝑛 không khả nghịch
Trang 20Đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2018 – 2019
Câu 1: Trong không gian ℝ3, cho tập hợp ℬ = {𝑢1; 𝑢2; 𝑢3} và 𝑊 là không gian sinh bởi ℬ, trong đó
𝑢1 = (1; 2; −2); 𝑢2 = (1; 4; 𝑚 − 4); 𝑢3 = (1; 𝑚 − 2; −𝑚)
a) Tìm các giá trị của 𝑚 để 𝑊 = ℝ3
b) Trong trường hợp 𝑊 ≠ ℝ3, hãy biểu diễn 𝑢3 theo 𝑢1; 𝑢2 và tìm một cơ sở cho không gian 𝑊
Câu 2: Trong không gian ℝ4, cho tập hợp ℬ = {𝑢1; 𝑢2; 𝑢3} và 𝑊 là không gian sinh bởi ℬ, trong đó
𝑢1 = (1; 1; 1; 2); 𝑢2 = (1; 2; 2; 1); 𝑢3 = (1; −1; −2; 1)
a) Chứng minh ℬ là cơ sở của 𝑊 và 𝑢 = (2; 6; 7; 3) ∈ 𝑊
b) Tìm 𝑚 để 𝑣 = (2; 1; 𝑚; 𝑚) ∈ 𝑊 Với giá trị 𝑚 vừa tìm được, hãy xác định tọa độ vector 𝑣 theo cơ
b) Xác định ma trận biểu diễn 𝑓 theo cặp cơ sở
ℬ = {𝑢1 = (1; 0; −1; 0); 𝑢2 = (0; 1; −1; 0); 𝑢3 = (0; 1; 0; −1); 𝑢4 = (1; −1; 0; 1)} của ℝ4
Câu 4: Cho 𝑉 là không gian vector hữu hạn chiều trên ℝ và 𝑊 là không gian con của 𝑉 sao cho
dim 𝑊 = dim 𝑉 − 1 Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở của 𝑉 mà không có vector nào nằm trong 𝑊
Trang 21Đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2019 – 2020
Câu 1: Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số thực 𝑚:
{
𝑥1+ 𝑥2 − 𝑥3+ 2𝑥4 = 12𝑥1+ 3𝑥2− 4𝑥3+ 3𝑥4 = 53𝑥1+ 𝑥2 + 𝑥3+ 10𝑥4 = − 54𝑥1+ 5𝑥2− 6𝑥3+ 7𝑥4 = 𝑚
Câu 2: Trong không gian ℝ3, cho các vector
𝑢1 = (1; 3; 0); 𝑢2 = (2; 7; 1); 𝑢3 = (3; 10; 2) a) Chứng minh ℬ = (𝑢1; 𝑢2; 𝑢3) là một cơ sở của ℝ3
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ ℬ sang cơ sở chính tắc ℬ0 của ℝ3
c) Tìm tọa độ của vector 𝑢(5; 16; 3) trong cơ sở ℬ
d) Tìm vector 𝑣 ∈ ℝ3 biết [𝑣]ℬ = (
21
−1)
Câu 3: Cho 𝑓 là một toán tử tuyến tính trên ℝ3 định bởi
𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (6𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧; 18𝑥 − 6𝑦 + 13𝑧; 6𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧) a) Tìm số chiều và một cơ sở cho mỗi không gian Im 𝑓 ; Ker 𝑓
b) Chứng minh Im 𝑓 ∩ Ker 𝑓 = {0}
c) Tìm ma trận biểu diễn 𝑓 theo cơ sở ℬ = {𝑢1; 𝑢2; 𝑢3} được cho như trong Câu 2
Câu 4: Cho 𝑉 là không gian vector 𝑛 chiều, 𝑆 là một tập sinh của 𝑉 và 𝑢1; ⋯ ; 𝑢𝑛−1∈ 𝑉 là 𝑛 − 1 vector độc lập tuyến tính Chứng minh rằng tồn tại 𝑢 ∈ 𝑆 sao cho {𝑢1; ⋯ ; 𝑢𝑛−1; 𝑢} là một cơ sở của 𝑉
Trang 22Lời giải đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính ???? – ????
Câu 1: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
{
4𝑥1 + 𝑥2+ 2𝑥3+ 𝑥4 = 03𝑥1 + 𝑥3+ 6𝑥4 = −25𝑥1+ 7𝑥2+ 9𝑥3+ 8𝑥4 = 6
𝑑1≔𝑑1−𝑑2 𝑑3≔𝑑3−𝑑2 𝑑4≔−𝑑4
−2]
𝑑2≔𝑑2−3𝑑1 𝑑3≔𝑑3−2𝑑1
−2]
−8]
𝑑3≔𝑑3−5𝑑2 𝑑4≔𝑑4+3𝑑2
−14]
−140]Vậy ta có
Trang 23Cách 2.1: Dùng biến đổi sơ cấp
Trang 24𝑥1 = Δ1
Δ = −
819
𝑥2 =Δ2
Δ =
320589
𝑥3 =Δ3
Δ =
406589
𝑥4 =Δ4
Δ = −
140589
Câu 2: Giả sử 𝐴 là ma trận khả nghịch Chứng minh điều sau:
𝐴2 = 0
⇒ 𝐴2𝐵2= 0
⇒ 𝐼𝑛 = 0 (vô lý)Vậy 𝐴2 ≠ 0
Trang 25Vậy ta chứng minh được 𝐴𝑘 ≠ 0 với mọi 𝑘 ≥ 2
Nên suy ra 𝐴𝑘 ≠ 0 với mọi 𝑘 > 2
Trang 27Lời giải đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính 2009 – 2010
−2𝑎4 = −62𝑎3 − 𝑎4 = 7
Trang 28Do det 𝐴 = 0, ∀𝑎 ∈ ℝ Nên không tồn tại giá trị 𝑎 nào để ma trận 𝐴 khả ngịch
Trang 29Lời giải đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính 2016 – 2017
𝑑2≔𝑑2−𝑑1 𝑑3≔𝑑3−2𝑑1 𝑑4≔𝑑4−𝑑1
𝑑1≔𝑑1−𝑑2 𝑑4≔𝑑4−2𝑑3
Trang 30Câu 2: Tìm nghịch đảo của ma trận 𝐴 = [
1
18 −
518]
𝑑1≔𝑑1+7𝑑3 𝑑2≔𝑑2−5𝑑3
518
7187
18
1
518]Vậy
𝐴−1 =
[
− 518
718
1181
518
7187
18
1
518]
Do det(𝐴) = 18 ≠ 0 nên ma trận 𝐴 có ma trận nghịch đảo
Xét ma trận phụ hợp của 𝐴 bằng cách tìm các giá trị 𝑐𝑖𝑗 như sau
718
1181
Trang 31Câu 3: Giải và biện luận (theo tham số 𝑚) hệ phương trình
−2]
𝑥2= Δ2
Δ =
2𝑚 + 22𝑚 − 1
𝑥3= Δ3
Δ =
32𝑚 − 1Với 𝑚 = 1: Δ1 = Δ2 = Δ3 = Δ = 0 nên hệ phương trình có vô số nghiệm
Thế 𝑚 = 1 vào hệ phương trình để kiểm tra
−2]
𝑑2≔𝑑2−𝑑1 𝑑3≔𝑑3−𝑑1
−3] Vậy ta có nghiệm của hệ phương trình:
{
𝑥1 = −2 − 𝛼
𝑥3 = 3Với 𝑚 =1
Trang 33Lời giải đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính 2017 – 2018
Do det(𝐴) = 1 ≠ 0 nên ma trận 𝐴 có ma trận nghịch đảo
Xét ma trận phụ hợp của 𝐴 bằng cách tìm các giá trị 𝑐𝑖𝑗 như sau
Trang 34𝑑2≔𝑑2−𝑑1𝑑3≔𝑑3−𝑑1 𝑑4≔𝑑4−𝑑1
𝑑3≔1
3𝑑3𝑑4≔1
𝑑3≔𝑑3−𝑑2 𝑑4≔𝑑4−𝑑2
Trang 35Câu 3: Giải và biện luận (theo tham số 𝑚) hệ phương trình sau:
𝑑2≔𝑑2−𝑑1 𝑑3≔𝑑3−𝑑1
Trang 36Câu 4: Cho 𝐴; 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(ℝ), thỏa mãn 𝐴𝐵 = 2𝐴 − 3𝐵 Chứng minh rằng 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴
Trang 37Lời giải đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính 2018 – 2019
b) Tìm ma trận nghịch đảo của 𝐴 trong trường hợp 𝑚 = 1
Cách 1: Dùng biến đổi sơ cấp
Trang 38Xét ma trận phụ hợp của 𝐴 bằng cách tìm các giá trị 𝑐𝑖𝑗 như sau
Trang 39Câu 3: Giải và biện luận (theo tham số 𝑚) hệ phương trình sau:
{ 2𝑚𝑥1+ (𝑚 − 3)𝑥2 = 4(3𝑚 + 1)𝑥1+ (𝑚 − 5)𝑥2 = 𝑚 + 7
Hướng dẫn:
Áp dụng quy tắc Cramer
𝐴 = [ 2𝑚 𝑚 − 33𝑚 + 1 𝑚 − 5] ; 𝐵 = [
4
𝑚 + 7]
Δ = | 2𝑚 𝑚 − 33𝑚 + 1 𝑚 − 5| = −𝑚
2− 2𝑚 + 3 = −(𝑚 + 3)(𝑚 − 1)
Δ1 = | 4 𝑚 − 3
𝑚 + 7 𝑚 − 5| = −𝑚2 + 1 = −(𝑚 + 1)(𝑚 − 1)
Δ2 = | 2𝑚 43𝑚 + 1 𝑚 + 7| = 2𝑚
{𝑥1= 2 + 𝛼
𝑥2= 𝛼, 𝛼 ∈ ℝ
𝑚 = −3: Δ1 = −8 ≠ 0 Vậy hệ phương trình vô nghiệm
Câu 4: Cho ma trận 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ) thỏa mãn 𝐴2 = 3𝐴 Chứng minh rằng 𝐴 + 𝐼𝑛 là ma trận khả nghịch
Trang 40Cách suy luận:
Ta muốn tìm ma trận 𝐶 sao cho (𝐴 + 𝐼𝑛)𝐶 = 𝐼𝑛 Ta nhận thấy trong giả thiết có 𝐴2 và ta muốn triệt tiêu
𝐼𝑛 nên ta xét 𝐶 có dạng 𝐶 = 𝛼𝐴 + 𝐼𝑛 Ta kiểm tra giá trị 𝛼
Trang 41Lời giải đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính 2019 – 2020
Câu 1: Kiểm tra tính khả nghịch và tìm 𝐴−1 nếu có với
Xét ma trận phụ hợp của 𝐴 bằng cách tìm các giá trị 𝑐𝑖𝑗 như sau
Trang 42Câu 2: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số 𝑚:
{
𝑥1+ 𝑥2 + 𝑥3+ 𝑥4 = 7
𝑥1+ 2𝑥2+ 3𝑥3+ 𝑥4 = 8
𝑥1+ 3𝑥2 + 𝑥3+ 𝑥4 = 92𝑥1+ 𝑥2+ 3𝑥3+ 2𝑥4 = 𝑚
𝑑2≔𝑑2−𝑑1 𝑑3≔𝑑3−𝑑1
𝑚 − 14
]
𝑑1≔𝑑1−𝑑2 𝑑3≔𝑑3−2𝑑2
𝑚 − 13
]
𝑑1≔𝑑1−1
4𝑑3𝑑2≔𝑑2+1
Trang 44𝑥1+ 𝑥2 + 𝑥3+ 𝑥4 = 7
𝑥1+ 2𝑥2+ 3𝑥3+ 𝑥4 = 8
𝑥1+ 3𝑥2 + 𝑥3+ 𝑥4 = 92𝑥1+ 𝑥2+ 3𝑥3+ 2𝑥4 = 13
Trang 45𝑑2≔𝑑2−𝑑1 𝑑3≔𝑑3−𝑑1
−1]
𝑑1≔𝑑1−𝑑2 𝑑3≔𝑑3−2𝑑2
𝑑1≔𝑑1−1
4𝑑3𝑑2≔𝑑2+1
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm, với nghiệm
Câu 3: Cho hai ma trận 𝐴 = [
Trang 47𝑐11 = ∑ 𝑏1𝑘𝑏𝑘1′
𝑛
𝑘=1
= ∑ 𝑏1𝑘𝑏1𝑘𝑛
𝑘=1
= ∑ 𝑏1𝑘2 𝑛
Trang 48Lời giải đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2008 – 2009
= ∑ sgn(𝜎) ∏ 𝑎𝜎(𝑖)𝑖
𝑛
𝑖=1 𝜎∈𝑆𝑛
Trang 49Câu 2: Trong không gian ℝ3 cho các hệ vector ℬ = (𝑢1; 𝑢2; 𝑢3); ℬ′ = (𝑣1; 𝑣2; 𝑣3) với
] =[
2
152
1
2 ]
Câu 3: Trong không gian ℝ4 cho các không gian con 𝑊1 = 〈(0; 0; 1; 0); (1; 2; 1; 0); (0; 0; 1; 1)〉 và
𝑊2 = 〈(0; 1; 0; 1); (1; 1; 0; 2); (0; 1; 1; 1)〉 Hãy tìm một cơ sở của không gian con 𝑊1 ∩ 𝑊2
Trang 50Ta có: 𝑢 ∈ 𝑊1∩ 𝑊2 thì
{𝑢 = 𝛼1(1; 2; 0; 0) + 𝛼2(0; 0; 1; 0) + 𝛼3(0; 0; 0; 1)
𝑢 = 𝛼4(1; 0; 0; 1) + 𝛼5(0; 1; 0; 1) + 𝛼6(0; 0; 1; 0)
⇒{
𝑢 = 𝛼4(1; 0; 0; 1) + 𝛼5(0; 1; 0; 1) + 𝛼6(0; 0; 1; 0)
𝛼1 = 𝛼42𝛼1 = 𝛼5
Trang 513 −
1
6 −
16]
=[
13
29
496
522
3 −
56
7
6 ]Với
𝐴 =[
13
29
496
522
3 −
56
6
3
56
−49
52
7
6 ]
𝑑2≔𝑑2−29
2𝑑1𝑑3≔𝑑3+49
212
0 −52
0 3
2 −
212
𝑑1 ≔3𝑑1 𝑑2 ≔2
Vậy dim Im 𝑓 = 2 và một cơ sở của Im 𝑓 là {(1; 0; 2); (0; 1; −7)}
Cơ sở Ker 𝑓 là cơ sở nghiệm của hệ phương trình 𝐴𝑋 = 0
522
3 −
56
29
496
52
0 −212
29
496
52
𝑑1 ≔6𝑑1 𝑑2 ≔2𝑑2
3; 1)}
Trang 52Lời giải đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2011 – 2012
Câu 1: Gọi 𝑊 là tập hợp các ma trận đối xứng thuộc 𝑀𝑛(ℝ) Chứng minh rằng 𝑊 là không gian vector của 𝑀𝑛(ℝ) Tìm số chiều và một cơ sở của 𝑊
Hướng dẫn:
Lấy 𝛼 ∈ ℝ, 𝐴; 𝐵 ∈ 𝑊 (tức ta có 𝐴⊤ = 𝐴; 𝐵⊤ = 𝐵) Ta có
(𝛼𝐴 + 𝐵)⊤ = (𝛼𝐴)⊤+ 𝐵⊤ = 𝛼𝐴⊤+ 𝐵⊤ = 𝛼𝐴 + 𝐵 Suy ra 𝛼𝐴 + 𝐵 ∈ 𝑊 Hiển nhiên ∅ ≠ 𝑊 ⊂ 𝑀𝑛(ℝ) Vậy 𝑊 là một không gian vector của 𝑀𝑛(ℝ)
Vì mọi ma trận đối xứng hoàn toàn xác định khi ta xác định được 𝑛(𝑛 + 1)
2 phần tử của ma trận tam giác trên nên dim 𝑊 =𝑛(𝑛 + 1)
2 Và do đó hệ {1
2(𝐸𝑖𝑗 + 𝐸𝑗𝑖)}1≤𝑖≤𝑗≤𝑛 là cơ sở của 𝑊
Câu 2: Trong không gian ℝ3 cho các hệ vector ℬ = (𝑢1; 𝑢2; 𝑢3); ℬ′ = (𝑣1; 𝑣2; 𝑣3) với
𝑢1 = (1; 0; 1); 𝑢2 = (0; 1; 0); 𝑢3 = (2; 1; 0); 𝑣1 = (0; 0; 1); 𝑣2 = (0; 1; −1); 𝑣3 = (𝑚; 1; 1) 1) Tìm 𝑚 để ℬ′ là một cơ sở của ℝ3
2) Tìm ma trận đổi cơ sở từ ℬ sang ℬ′ứng với 𝑚 = 1
1 −1 1
] =[
−1
2 1
121
12]
12
1
−121
2 0]