Toán cao cấp c1 phần 2

Chương 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIEN 3 1 Đạo hàm riêngTa ký hiệu R2 là tập hợp tất cả các cặp số thực (x;y), nghĩa làR2 = {(x;y) x,y € R} 3 1 1 Hàm hai biếnGiả sử một công ty, chỉ sản xuất hai loại.

n(x,y) = 4x 4- 6y.

Hàm số này biến cặp số (x; y) thành một số thực duy nhất là 4x + 6y

Tổng quát, ta có

Định nghĩa 3.1 Hàm số f theo hai biến độc lập X và y là một quy tắc lặm

tương ứng mỗi cặp số thực có thứ tự (x;y) với một và chỉ một số thực 2 được ký hiệu là y(x; y) Hàm số như vậy được ký hiệu là

z = /(x;y)

• X và y được gọi là hai biến độc lập.

• z được gọi là biến phụ thuộc

• Tập hợp tất cả các cặp số thực (x;y) sao cho /(x^y) cũng là số thực được gọi là miền xác định của f

• Gọi D là miền xác định của f Miền giá trị của f là

/(D) = {z : z = /(x;y), (x;y) e D}

3.1 Đạo hàm riêng 105

Chú ý 3.1 1 Trong một vài trường hợp, nếu A4 là điểm có toạ độ (x; y)

thì ta có thể viết /(M) thay cho f{x;y}

2. Khi cho hàm số z — f(x; y) bằng công thức thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp tất cả các điểm (x; y) làm cho biểu thức f{x; y)

Ví dụ 3.2 Một công ty sản xuất nhỏ sản xuất hai loại sản phẩm Nếu chi

phí cố định là 500USD mỗi tuần và chi phí biến đổi là 70USD cho mỗi sản phẩm loại thứ nhất, 80USD cho mỗi sản phẩm loại thứ hai thì hàm chi phí hàng tuần được tính bởi

C(Qi; Q2) = 500 + 70Q1 + 80Q2,vói Q1 và Q2 là số sản phẩm loại thứ nhất và số sản phẩm loại thứ hai được sản xuất trong mỗi tuần Tính C(20; 10)

Ví dụ 3.3 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm xác định được hai hàm

giá - cầu cho hai loại sản phẩm là

Pỵ = 210 - 4Q1 + Ỡ2, p2 = 300 + Q1 - 12Q2,

trong đó, Pỵ và p2 tương ứng là giá của sản phẩm loại thứ nhất và giá của

sản phẩm loại thứ hai, <21 và Q2 tương ứng là cầu sản phẩm loại thứ nhất

và cầu sản phẩm loại thứ haitrong mỗi tuân

a) Tìm hàm doanh thu mỗi tuần P(Qi; Q2)/ và tính P(20; 10)

106 PHÉP TÍNH Vỉ PHẦN HÀM HAỈ BỉẾN

b) Giả sử hàm chi phí mỗi tuần là

C(Qi;Q2) = 700 + 70Qi + 100Q2,tìm hàm lợi nhuận hàng tuần H(Qị; Q2), và tính n(20; 10)

Giải a) Hàm doanh thu mỗi tuần là

Sản lượng Q của một nhà máy thường được coi là một hàm số theo hai

biến: số đơn vị vốn đầu tư K và số đơn vị lao động L Hàm số này có dạng

Giải Số đơn vị thép sẽ được sản xuất là

Q(1000;3000) = 10.1000°'8.3000°'2 « 12457 đơn vị

3.1 Đạo hàm riêng 107

3.1.2 Đạo hàm riêng cấp một

Định nghĩa 3.2 Cho hàm z = f(x;y) xác định trên hình tròn có tâm là

điểm («;b) Cho y — b, thì f(x;b) = h(x) là hàm một biến X Nếu h(x) có

đạo hàm tại a thì ta nói f có đạo hàm riêng theo biến X tại điểm («; b) và

hiệu là fí(a;b), ||(ữ; b), y^(a-,b),z'x(a',b) Vậy,

= h'w

Đạo hàm riêng của z = f(x;y) theo biến y tại điểm (a;b) được định

nghĩa tương tự, và được ký hiệu là

Chú ý 3.2.

1 Khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số này, ta xem biến

số còn lại là hằng và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến

2 Khi f có đạo hàm riêng theo biến X tại («; b) thì

Ví dụ 3.6 Cho z — f(x;y) — e%2+ỉ/2 Tính z'x,z'y.

Giải Áp dụng đạo hàm của hàm hợp, ta có

zx = ex2+í/2 (x2 4- y24 = ex2+y2 2x

z'y = ex2+*2 (t2 4- y2Yv = ex2+^2 2y.

[o, nếu (x;y) = (0;0).

Tính các đạo hàm riêng cấp một của /(x;y)

Giải Xét hai trường hợp:

3.1 Đạo hàm riêng 109Tóm lại,

• Ở mức sản lượng 40 đơn vị sản phẩm loại thứ nhất và 10 đơn vị sản phẩm loại thứ hai mỗi tuần, việc tăng mức sản lượng của sản phẩm loại thứ nhất lên 1 đơn vị và cố định mức sản lượng của sản phẩm loại thứ hai sẽ làm giảm lợi nhuận khoảng 160USD

Bây giờ, xét hàm sản lượng

Q(K;L) =Các đạo hàm riêng

dQ , 3Q

dK và ỞLtương ứng được gọi là sản lượng cận biên theo vốn và sản lượng cận biên theo lao động.

Ví dụ 3.11 Xét hàm lợi nhuận trong Ví dụ 3.3,

110 PHÉP TÍNH VI PHĂN HÀM HAỈ BIẾN

Ví dụ 3.12 Sản lượng của một công ty sản xuất máy tính để bàn có hàm

sản lượng

Q(K;L) = Ĩ5.K°'6.L°' 4.

Công ty hiện đang sử dụng 2500 đơn vị vốn và 4000 đơn vị lao động, hãy tìm sản lượng cận biên theo lao động và sản lượng cận biên theo vốn Để tăng sản lượng nhiều hơn, lãnh đạo công ty nên tăng lao động hay tăng vốn?

Giải Ta có

Q'k(K-,L) = 9,K-°'4.Lo'4,

Q'k(2500;4000) = 9.2500-°'4.4OOO0'4 « 10,86

Q'l (K;L) Q' l (2500; 4000) = 9.2500°'6.4000“°'6 « 4,53.

-Ở mức sử dụng vốn và lao động hiện tại, nếu cố định số đơn vị lao động

và tăng một đơn vị vốn thì sản lượng tăng lên gần 10,86 đơn vị; còn nếu cố định vốn và tăng một đơn vị lao động thì sản lượng tăng lên gần 4,53 đơn

vị Do đó, lãnh đạo công ty nên tăng vốn

3.1.3 Đạo hàm riêng cấp hai

Định nghĩa 3.3 Cho hàm z — /(x;y) có hai đạo hàm riêng z'x và zị Đạo

hàm riêng, nếu có, của z'x và zý được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của z,

4xy2+ xy(x2+y2)2

lim /(Ax;0)-/(0;0)

Ax— >0 /Xx

0-0 lim — -

Ãx— >0 kx = 0 = /;(0;0)và

lim /(0;Ay)-/(0;0)Ay-“o Ay

112 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN

3.2 Vi phân

3.2.1 Khái niệm vi phân

Cho f{x; y) xác định trên hình tròn D có tâm là điểm («; b} Nếu ấx, Ay

đủ nhỏ thì (ứ + Ax; b + Ay) G D Khi đó, ta đặt

Định nghĩa 3.4 Hàm /(x;y) được gọi là khả vi tại (ữ; b) nếu

Vậy (3.6) có thể viết dưới dạng

A/(a; b) = A.Ax 4- B.Ay 4- 0( Ựax2 4- Ay2) (3.2)Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm y(x;y) khả vi tại điểm («;b)

3.3 Cực trị tự do 113

Định lý 3.2 Nếu f(x’,ỳ) có các đạo hàm riêng fx,fỷ xác định trong một hình tròn mở tâm (a; b) và liên tục tại (a;b) thì f{x-,y} kha vi tại (a; b) và

Ví dụ 3.15 Hàm f(x;y) = x3y2 có f'x = 3x 2y2 và fỷ = 2x3y xác định và

liên tục tại mọi điểm nên y(x;y) khả vi tại mọi điểm

Trong (3.8) nếu lần lượt cho f{x;y} — x,/(x;y) = y thì lần lượt ta có

Ax = dx, Ay = dy Như vậy (3.8) trở thành

Ví dụ 3.16 Cho f{x;y} — x3y2 4- sin(xy) Ta có

3.2.2 Vi phân cấp hai

Định nghĩa 3.5 Vi phân df{x; y) là hàm hai biến X, y Vi phân nếu có của

J/(x; y) được gọi là vi phân cấp hai của f(x; y) và ký hiệu là d2f(x; y} Vậy

d2/(x;y) = d (df(x;y))

Bây giờ ta giả sử x,y là hai biến độc lập, nghĩa là chúng không phụ

thuộc vào biến nào khác Khi đó, do dx và dy là các hằng số nên

Ví dụ 3.17 Cho f{x; y) — X3 4- 2x2y 4- y2 Ta có

/;2 = 6x + 4y,/" = 4x,f''x = 4X,/" = 2.

Do đó, vi phân cấp hai của /(x;y) là

d2/(x;y) = (6x 4- 4y)í/x2 4- 8xdxdy 4- 2dy2

114 PHÉP TÍNH VI PHĂN HÀM HAI BIẾN

3.3 Cực trị tự do « • •

3.3.1 Khái niệm cực trị tự do

Định nghĩa 3.6 Cho hàm số /(x;y) có miền xác định D' Ta nói

• Điểm (a; b) là điểm cực đại của f nếu có một hình tròn tâm là (a; b)

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị của hàm số tại điểm cực đại và tại điểm cực tiểu được gọi là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số, được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số

Ta ký hiệu /max(«; b) là giá trị cực đại của hàm f tại điểm cực đại (đ; b); tương tự, /min («; b) là giá trị cực tiểu của hàm / tại điểm cực tiểu (đ; b)

Vậy, (0;0) là điểm cực đại của z và giá trị cực đại zmax(0; 0) = 0

1- s

b; 0) (a)

- y2 Ta CÓ

= z(0;0),V(x;y) G R2

3.3 Cực trị tự đo 115

Ví dụ 3.19 Xét hàm z = X2 4- y2 Ta có

Vậy, (0; 0) là điểm cực tiểu của z và giá trị cực tiểu zmin (0; 0) = 0

Ví dụ 3.20 z = X2 — y2 Điểm (0;0) không là điểm cực trị của hàm z

vì trong mọi hình tròn tâm (0;0) hàm z có cả giá trị âm và dương mà z(0;0) — 0

3.3.2 Điều kiện cần của cực trị

Miền xác định của một hàm hai biến bao gồm vô số điểm, do đó việc tìm điểm cực trị của hàm số là rất phức tạp Kết quả sau đây giúp chúng

ta giới hạn lại những điểm nằm trong miền xác định của f có khả năng là điểm cực trị

Định lý 3.3 Nếu f(x‘,ỳ) đạt cực trị và có hai đạo hàm riêng tại (a; b) thì

f'x (a; b) = 0 và fý (a; b) = 0.

Chứng minh Không mất tính tống quát, ta giả sử hàm /(x; y) đạt cực đại tại («; b) và có

hai đạo hàm riêng f'x(a; b),fý(a;b) Vì /(x;y) đạt cực đại tại (a;b) nênhàmg(x) — /(x;yo)

đạt cực đại tại Xfl Do đó, theo định lý Fermat, £ z ( xq) — 0z nghĩa là /x(ơ; b) — 0 Tương tự,

Mệnh đề đảo của định lý này không đúng Thật vậy, xét hàm z = X2 —

y2 ta có

z^(0;0) = 0 vàzý(0;0) = 0nhưng (0; 0) không là điểm cực trị

116 PHÉP TÍNH VI PHĂN HÀM HAI BIẾN

Ví dụ 3.21 Tìm tất cả các điểm tới hạn, nếu có, của hàm số

Giải hệ ta được ba điểm dừng: O(0;0), A41(1; 1) và M2( — 1; —1)

3.3.3 Điều kiện đủ của cực trị

Định lý sau đây, bằng đạo hàm riêng cấp hai, giúp ta biết được một điểm dừng có là điểm cực trị hay không

Định lý 3.4 Giả sử hàm z = f{x;y~} có đỉểm dừng là (a; b) và có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một hình tròn tâm {a; b) Đặt

A — zf'2(a;b),B = zxư(a;b) và c = z"2(a;b).

Khi đó:

1 Nếu AC — B2 > 0 và A < 0 thì (a; b) ỉà điểm cực đại của z.

2 Nếu AC — B2 > 0 và A > 0 thì (a; b) là điểm cực tiểu của z.

3 Nếu AC — B2 < 0 thì {a; b) không là điểm cực trị của z.

Chú ý 3.3 Trường hợp AC — B2 = 0, ta chưa có kết luận điểm («; b) có

là điểm cực trị hay không Khi đó, ta phải khảo sát thêm bằng định nghĩa điểm cực trị

Vậy, o không là điểm cực trị của hàm 2.

118 PHÉP TÍNH Vỉ PHÂN HÀM HAI BIẾN

-2-A = n" 2 (70; 100) = —2,

B = nQiQ; (70' 10°) = 1'

c = II" 2 (70; 100) = -2

Do AC - B2 = (-2) (-2) - (-1)2 =3> 0 và A = -2 < 0 nên hàm lợi nhuận 1I(Qi; Q2) đạt cực đại tại (Qi; Q2) = (70; 100)

3.3 Cực trị tự do 119

Trong thị trường độc quyền, nhà sản xuất bán sản phẩm với giá do họ quyết định

Ví dụ 3.25 (Bài toán cực đại hóa lọi nhuận trong thị trường độc quyền).

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm có hàm cầu về hai loại sản phẩm là

120 PHÉP TÍNH VI PHĂN HÀM HAI BIẾN

lợi nhuận n(Qi; Qz) đạt cực đại tại (Qi; Q2) = (480;600)

Ví dụ 3.26 (Bài toán cực đạỉ hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất độc quyền một mặt hàng và bán trên hai thị trường tách biệt) Một doanh

nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và bán trên hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm chi phí sản xuất là:

Qd, = 310 - plt QD1 = 350 - p2, C(Q) = ữ2 + 30Q + 20

Hãy tìm lượng sản phẩm cung cấp trên từng thị trường để doanh nghiệp

có lợi nhuận cực đại

3.4 Cực trị có điều kiện

3.4.1 Khái niệm cực trị có điều kiện » • » •

Định nghĩa 3.8 Cho điểm («; b) thuộc đường cong có phương trình

và hàm số y(x;y) Ta nói

• Hàm /(x;y) đạt cực đại tại («;fe) thỏa điều kiện (3.6) nếu có hình

tròn tâm (a; b) sao cho

với mọi (x; ý) nằm trong hình tròn này thỏa g(x; y) = 0 và dấu bằng

chỉ xảy ra khi (x;y) — (aĩb) (Hình 3.2.a).

• Hàm /(x;y) đạt cực tiểu tại (a;b) thỏa điều kiện (3.6) nếu có hình tròn tâm (đ; b) sao cho

với mọi (x;y) nằm trong hình tròn này thỏa g(x;y) — 0 và dấu bằng chỉ xảy ra khi (x;y) = (a; b) (Hình 3.2.b)

122 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAĨ BIẾN

Hình 3.2

3.4.2 Phương pháp khử

Giả sử từ điều kiện (3.6) ta tính được duy nhất y = y(x), thay vào hàm

biến h{x} = /(x,y(x)) để suy ra cực trị cho hàm f(x;y) thỏa điều kiện g(x;y) = 0

Ví dụ 3.27 Tìm cực trị của hàm f(x;ý) — X2 4- I/2 với điều kiện X 4- y — 1

Giải Từ X 4- y = 1 suy ra y = 1 — X, thay vào hàm /(x; y) ta được

/1 1\ _ 1

2 \2; 2) ~ 2'

3.4.3 Phương pháp nhân tử Lagrange

Định lý 3.5 (điều kiện cần) Cho điểm (a; b) thỏa (3.6).Giả thiết:

tâm (a; b).

2 Các đạo hàm riêng g'x,gly không đồng thời bằng không tại (a; b).

Nhận xét 3.1 Khi giả thiết của Định lý 3.5 được thỏa mãn thì hàm /(x;y)

chỉ có thể đạt cực trị với điều kiện (3.6) tại những điểm (x;y) thỏa hệ

Giả sử hệ (3.10) có nghiệm (a; b; À) Đặt

L(x;y) = /(x;y) + Ag(x;y),L(x;y) được gọi là hàm Lagrange Dựa vào hàm Lagrange, định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để kết luận điểm (a; b) có là điểm cực trị hay không

Đinh lý 3.6 (điều kiện đủ) Cho giả thiết ở định lý (3.5) thỏa mãn, ta giả thiết

một hình tròn tâm Mq(u ; b) Xét

d2L(Mo) = L”2(MQ)dx2 + 2Lxy(M0)đxdy + L"2(Mo)dy2,

với dx, dy không đồng thời bằng không và thỏa mãn phương trình

Ta có

•X

Ví dụ 3.28 Tìm cực trị của hàm /(x;y) = X2 -4“ y2 thỏa điều kiện X + y = 1 Giải.

Bước 1: Lập hàm Lagrange Điều kiện X + y = 1 được viết lại dưới dạng

X + y — 1 = 0, và hàm Lagrange

L(x;y) = X2 + y2 + A(x 4- y - 1)

— 2; thay X, y theo A vào (3),

Với A = —1, ta được X = \,y =

Bước 3: Kiểm tra điểm dừng có là điểm cực trị bằng vi phân cấp hai của

Từ (1) => X = — ị, (2) => y — — Yĩi, thay vào (3) ta được

1 1 ,1

Ã2 + 4Ã2 -5<>A-±2

tiểu có điều kiện tại (—2; —1), và

3.4.4 ứng dụng cực trị có điều kiện trong kinh tế

Ví dụ 3.30 (Bài toán cực đại hóa lợỉ ích người tiêu dùng) Một người tiêu

dùng định dùng số tiền B = 178 mua hai loại hàng có giá Pị = 4, P2 = 6 với số lượng x,y và có hàm lợi ích là Ư(x,y) = (x + 2)(y 4- 1) Xác định số

lượng từng loại hàng để lợi ích của người tiêu dùng đạt cực đại

Giải Theo đề bài, ta có 4x 4- 6y = 178 Bài toán trở thành: tìm cực đại của

hàm lợi ích ư(x;y) = (x 4- 2) (y 4- 1) với điều kiện 4x 4- 6y — 178 = 0

• Hàm Lagrange L(x;y) = (x 4- 2)(y 4- 1) 4- A(4x 4- 6y — 178)

126 PHÉP TÍNH VI PHĂN HÀM HAI BIEN

• Ta có rf2L(x;y) = 2dxđy Tại điểm (15;22) ứng với A = —4, thì 42L(15;22) = 2đxdy Mặt khác, lấy vi phân hai vế phương trình (3),

ta được 4dx -I- ódy — 0 hay đy = —jdx Suy ra

Ví dụ 3.31 (Bàỉ toán cực tiểu hóa chi phí sản xuất) Một doanh nghiệp

sản xuất một loại sản phẩm cần 2 loại nguyên liệu đầu vào với giá cố định

Pỵ = 10, P2 = 40, và X, y tương ứng là lượng của 2 loại nguyên liệu đầu

vào; hàm sản lượng là Q(x,y) = 10x°'5y°'5 Xác định lượng nguyên liệu đầu vào X, y để doanh nghiệp đạt mức sản lượng Qo = 200 với chi phí đầu vào thấp nhất

Giải Theo đề bài, hàm chi phí đầu vào C(x;y) = lOx 4- 40y Mức sản

lượng Qo — 200 cho ta phương trình x°'5y°'5 — 20 Bài toán trở thành:

tìm cực tiểu của hàm chi phí đầu vào C(x;y) = lOx + 401/ với điều kiện xO'SyO'S - 20 — 0

• Hàm Lagrange L(x;y) = lOx 4- 40y 4- A(x°'5y0,5 — 20)

Mặt khác, lấy vi phân hai vế phương trình (3), ta được

0,5x~°'5y°' 5dx 4- 0,5x°'5y 0/5dy = 0

Ví dụ 3.32 (Bàỉ toán cực đại hóa sản lượng) Hàm sản xuất Cobb-Douglas

của một sản phẩm mới được xác định bởi

Q(x;y) = 16.X0'25 y()'75,trong đó, X là số đơn vị lao động và y là số đơn vị vốn cần thiết để sản xuất Q(x;y) đơn vị sản phẩm Mỗi đơn vị lao động có chi phí 50USD và mỗi đơn vị vốn là 100USD Nếu 500.000USD đã được lập ngân sách để sản xuất sản phẩm này, thì phải sử dụng bao nhiêu đơn vị lao động và bao nhiêu đơn vị vốn đê’ cực đại hóa sản lượng? số sản phẩm cực đại có thể sản xuất được là bao nhiêu?

128 PHÉP TÍNH Vỉ PHÁN HÀM HAI BIẾN

Giải Theo đề bài ta có 50.x 4- lOO.y = 500000 Ta tìm cực đại của hàm sản lượng

Q(x;y) = ló.x°'25.y0'75với điều kiện 50.X 4- lOO.y — 500000 = 0

• Vi phân cấp hai của hàm Lagrange

ứf2L(x;y) = —3x"1,75y°'75dx2 4- 6x~°'75.y~°'25íZxdy — 3x0,25.y"1,25dy2Mặt khác, lấy vi phân hai vế phương trình (3), ta được dx = —2dy.

Do đó,

d2L(x;y) = — 6x 1/75y°'75dy2 — 12x 0,75.y 0,25dy2 — 3x0,25.y 1,25dy2

= (-óx-1'75^'75 - 12x"°'75.y"°'25 - 3x°'25.y 1,25)í/y2

Tại (2500; 3750), do

với mọi dy 7^ 0 nên Q(x;y) đạt cực đại tại (2500; 3750) và

Q(2500;3750) « 54216 (đơn vị sản phẩm)

3.5 Bài tập 129

Tóm lại, để sản lượng đạt mức cực đại, trong điều kiện ngân sách là 500000USD, phải sử dụng 2500 đơn vị lao động và 3750 đơn vị vốn sản lượng cực đại có được là 54216 đơn vị

*

1 Tìm hàm doanh thu mỗi tuần jR(Qi; Q2)/ và tính jR(20; 10)

2 Giả sử hàm chi phí mỗi tuần là C(Qi; Q2) = 1000 4- 40Q1 4- 8OQ2, tìm hàm lợi nhuận hàng tuần n(Qi; Q2), và tính 14(20; 10)

3.2 Một công ty sản xuất hai loại máy tính mỗi tuần, Q1 loại A và Q2 loại loại B Doanh thu và chi phí hàng tuần (bằng đô la) là

R(Qi;Qz) = 80(21 + 90Q2 + 0,04(21(22 - 0,05(2? - 0,05(2?,

C(Q1;Q2) = 20000 + 8Q] + 6Q2

Tìm (11200; 18002) và n'O2(11200; 18002), và giải thích kết các kết quá.3.3 Một siêu thị bán hai thương hiệu cafe: thương hiệu A ở mức giá Pỵ

(USD/pound) và thương hiệu B ở mức giá P2 (USD/pound) Nhu cầu

hàng ngày Qi và Q2 (tính bằng pound) đối với các thương hiệu A và B,

tương ứng, được cho bởi

3.6 Tìm cực trị với điều kiện tương ứng của các hàm số

1 z = 6 — 4x — 3y, với điều kiện X2 4- y2 = 1;

2 z — X2 4- y2, với điều kiện 3x 4- 2y = 6;

3- z = I 4- 1, với điều kiện -X 4- X = X, a > 0;

5 z = cos2 X + cos2 y, với điều kiện X — y = — ỵ;

6 z = X2 4- 12xy 4- 2y2, với điều kiện 4x2 4- y2 = 25

3.7 Giả sử một công ty sản xuất giày có hàm lợi nhuận hàng năm (nghìn USD) là

và Q2 để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại

3.9 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và bán trên hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm tổng,chi phí sản xuất là QDl — 350 — P1, QD? — 300 — p2, và C(Q) = Q2 4- 60Q + 10 Hãy tìm lượng sản phẩm phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp

có lợi nhuận cực đại

trong đó, K là số đơn vị vốn và L là số đơn vị lao động cần thiết để sản

xuất Q(K; L) đơn vị của sản phẩm Mỗi đơn vị vốn có giá là 15USD và mỗi

đơn lao động có giá là 20USD Hỏi doanh nghiệp phải sử dụng bao nhiêu đơn vị lao động và bao nhiêu đơn vị vốn để sản xuất 50 đơn vị sản phẩm với chi phí sản xuất cực tiểu?

Trắc nghiệm khách quan

■ Đạo hàm, vỉ phân

3.12 Tính vi phân cấp một của hàm số z = X2 + 5y.

, dy — dx „ , dx — dy - , dx — dy _ , dy — dx

3.14 Tính vi phân cấp một của hàm số z = arctan(x — y).

132 PHÉP TÍNH VI PHẤN HÀM HAI B1ẺN

3.15 Tính vi phân cấp một của hàm số z = X2 4- 2xy 4- sin(x3y5)

3.16 Tính vi phân cấp hai của hàm số z = X3 4- y2 — 4xy.

3.17 Tính vi phân cấp hai của hàm số z ~ y In X.

■ Cực trị

3.18 Cho hàm số z = X2 — 2x t- y2 Hãy chọn khẳng định đúng nhất

A z đạt cực đại tại M(1;O) B z đạt cực tiểu tại A4(l;0)

c z có một cực đại và một cực tiểu D z không có cực trị

3.19 Cho hàm số 2 = X4 — 8x2 4- y2 4- 5 Hãy chọn khẳng định đúng nhất.

A z đạt cực đại tại (0; 0) B z đạt cực tiểu tại (—2;0) và (2; 0)

3.20 Cho hàm số z = X2 — 2xy 4- 5 Hãy chọn khẳng định đúng nhất.

3.21 Cho hàm số z = X2 — xy 4- y2 Hãy chọn khẳng định đúng nhất ’

3.5 Bài tập 1333.22 Cho hàm số z = X3 4- y3 — 12x — 3y Hây chọn khẳng định đúng nhất

3.23 Cho hàm số z — X4 — y4 — 4x 4- 32y Hãy chọn khẳng định đúng nhất

3.24 Cho hàm số z — X6 — y5 — cos2 X — 32y Hãy chọn khẳng định đúng

c z đạt cực đại tại (0; —3), cực tiểu tại (2; —1)

D z đạt cực tiểu tại (0; —3) và (2; —1)

134 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIEN

3.29 Tìm cực trị của hàm z = X2 (y — 1) — 3x + 2 với điều kiện X — y + 1 =

■ Bài toán trong kỉnh tế

Các bài tập 3.31, 3.32 và 3.33 có phần chung: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết các hàm cầu và hàm tổng chi phí là

3.5 Bài tập 135

3.33 Mức thuế phải đóng cho các sản phẩm lần lượt là 5 và 10 đơn vị tiền

tệ trên một đơn vị sản phẩm Lợi nhuận của doanh nghiệp có thể tính theo công thức

3.36 Mức thuế phải đóng cho các sản phẩm lần lượt là 2 và 3 đơn vị tiền

tệ trên một đơn vị sản phẩm Lợi nhuận của doanh nghiệp được tính theo công thức

A. (21 - (21 (22 - (21 +13(21 +13(22 - 100

c - (21 - Q1Q2 - (2Ì + 12(21 + 13(22 - 100

Định nghĩa 4.1 Cho hàm f(x) xác định trên {a;b} Hàm số F(x) xác định

trên (ữ; b} được gọi là một nguyên hàm của hàm số /(x) trên (ữ; b) nếu

Chú ý 4.1 a có thể là — oo, và b có thể là H-oo Thông thường, khi không

có sự nhầm lẫn, ta nói F(x) là nguyên hàm của y(x) mà không nói rõ trên một khoảng cụ thể nào

Ví dụ 4.1.

3

1 Trên (—oo; 4-eo), — là nguyên hàm của X2 do

2 Trên ( — co; H-oo), sin X là nguyên hàm của cos X do (sin xỴ = cos X

3 Trên ( — 1; 1), arcsin X là nguyên hàm của — do

vl — X2(arcsin X) = —,

ỵ/ỉ — X2

4.1 Tích phân bất định 137

Định lý 4.1 Nếu F(x~) ỉà nguyên hàm của hàm f(x) trên (a; b) thì mọi nguyên

Ví dụ 4.2 Với mọi số thực c, ta có

x3

1 — + c là nguyên hàm của X2 trên ( oe; +©o)

2 sin X -I- c là nguyên hàm của cos X trên (— co; -Ị-co)

~ 1

3 arcsín X + c là nguyên hàm của —■ trên ( — 1; 1)

vi — X2

4.1.2 Tích phân bất đỉnh

Định nghĩa 4.2 Cho F(x) là nguyên hàm của hàm /(x) trên (a;b) Tập

hợp tất cả các nguyên hàm của /(x) trên (a;b) được gọi là tích phân bất định của /(x) trên (a; b), ký hiệu là f f(x)dx Vậy

I f(x)dx = F(x) + c,

với c là hằng số tùy ý

Trong ký hiệu tích phân bất định, thì f được gọi là dấu tích phân, X là biến lấy tích phân, fix') là hàm lấy tích phân và f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.

Ví dụ 4.3 Theo ví dụ 4.2, ta có

r X 3

1 / x2dx — + c trên ( — oo; +oo)

2 / cos xdx — sin X + c trên (— co; H-oo),

3 / —, dx — arcsin X + c trên ( — 1; 1).

J ựl - X2

Chú ý 4.2 Trong một vài trường hợp, ta sử dụng khái niệm nguyên hàm

trên [a; b] như sau: F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm /(x) trên [a;b]

nếu F(x) là nguyên hàm của hàm /(x) trên (a; b) và

F'(«+) =/(đ),F'(b“) =/(b)

4.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định

■ Phương pháp phân tích

Phân tích hàm cần lấy tích phân thành tổng các hàm đã biết nguyên hàm rồi dùng tính chất cơ bản thứ 2