Giáo trình toán cao cấp C1 2

3.11 Hàm hai biến Giả sử một công ty, chỉ sản xuất hai loại sản phẩm, sản xuất x đơn vị sản phẩm loại thứ nhất với lợi nhuận là 4USID trên một đơn vị và y don vi của sản phẩm loại thứ

Chuong 3

PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

3.1 Dao ham riéng

Ta ký hiệu RẺ là tập hop tat ca cdc cap s6 thuc (x;y), nghia la

*= {Ocy): xy © R}

3.11 Hàm hai biến

Giả sử một công ty, chỉ sản xuất hai loại sản phẩm, sản xuất x đơn vị

sản phẩm loại thứ nhất với lợi nhuận là 4USID trên một đơn vị và y don vi

của sản phẩm loại thứ hai véi loi nhuan 1a 6USD trén mét don vị Thế thì,

tổng lợi nhuận của nó là một hàm sỐ theo hai biến x và y, va được cho bởi

e x va y được gọi là hai biến độc lập

e z được gọi là biến phụ thuộc

Tập hợp tất cả các cặp số thuc (x;y) sao cho f GẦN cũng là số thực

được gọi là miền xác định của ƒ

Gọi D là miền xác định của ƒ Miễn giá trị của ƒ là

ƒ£(D) = {z:z = ƒ(x;vw).(x;) € D}

3.1 Dao ham riéng 105 Chu y 3.1 1 Trong một vài trường hợp, nêu A1 là điểm có toa dé (x; y)

thì ta có thể viết ƒ(Mf) thay cho ƒ(z; 0)

2 Khi cho hàm số z = ƒ(x; ) bằng công thức thì ta hiểu miễn xác định

của hàm số là tập hợp tất cả các điểm (x; ý) làm cho biểu thức ƒ(x; )

có nghĩa

Ví dụ 3.1 Xét hàm lợi nhuận II(x;) = 4x + 6y (USD) Tính I1(2;3)

Giải Ta có

II(2;3) = 4.2 + 6.3 — 26 (USD)

Kết quả này có nghĩa là bằng cách sản xuất và bán 2 đơn vị sản phẩm

loại thứ nhất và 3 sản phẩm loại thứ hai, công ty sẽ thu được lợi nhuận là

trong đó, Pị và P› tương ứng là giá của sản phẩm loại thứ nhất và giá của

sản phẩm loại thir hai, Q) ka Q2 tuong ung là cầu sản phẩm loại thứ nhất

va cau san phẩm loại thứ hai trong méi tuan

a) Tìm hàm doanh thu mỗi tuần R(O\; Q2), và tinh R(20; 10)

106 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN b) Gia str ham chi phi mdi tuan là

C(Q1;Q2) = 700 + 70Q; + 100Q>2,

tìm hàm lợi nhuận hàng tuần II(Q1; Q2), va tinh 11(20; 10)

Giai a) Hàm doanh thu mỗi tuần là

@ Ham sản xuat Cobb-Douglas

Sản lượng @ của một nhà máy thường được coi là một hàm số theo hai

biển: số đơn vị vốn đầu tư K va sé đơn vị lao động L Hàm số này có dạng

O(K;L) = A.K*.LÌ~*, trong do, A va ø là các hằng số dương, được biết đến với tên gọi là hàm san xuat Cobb-Douglas

Ví dụ 3.4 Sản lượng của một công ty sản xuất thép được cho bởi hàm

Q(K;L) = 10.K95.L°

Nếu công ty sử dụng 1000 đơn vị vỗn và 3000 đơn vị lao động thì có bao

nhiêu đơn vị thép sẽ được sản xuất?

Giải Số đơn vị thép sẽ được sản xuất là

O(1000; 3000) = 10.10003.300092 ~ 12457 đơn vị

3.1 Dao ham riéng 107

3.1.2 Đạo hàm riêng cấp một

Định nghĩa 3.2 Cho hàm z = f(x;y) xác định trên hình tròn có tâm là

diém (a;b) Cho y = b, thi f(x;b) = h(x) la ham một biến x Nếu (+) có dao ham tại 2 thì ta nói ƒ có đạo hàm riêng theo biến x tại điểm (2;b) và

h“(a) được gọi B đạo hàm riêng theo biến z của ƒ tại điểm (2;b), được ký hiệu là # (4; b), Š (a ;b), oF (a; b),z„(a; b) Vậy,

f(&;b) = 2 (a;b) = LF (a;b) = 2h(a;b) = W'(a)

Dao ham riêng của z = f(x;y) theo bién y tai diém (a;b) duoc dinh nghia tuong tự, và được ký hiệu là

ƒy(a;b) = ấy (2:0) = 3u (0:6) = Zv(4; b)

Chú ý 3.2

1 Khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số này, ta xem biến

số còn lại là hằng và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến

2 Khi ƒ có đạo hàm riêng theo biễn x tai (a; b) thi

Ví dụ 3.6 Cho z = f(x;y) =e” Tinh zi, z/,

Giải Áp dụng đạo hàm của hàm hợp, ta có

z¿ seh ty (x24 y) = et 2x /

x

t oxt+y? 2 29“ _ 2x2tự?

Zzy= er TY (x +),=e 20

108 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

Vi du 3.7 Cho f(x;y) = x¥,x > 0 Tacé

Feary) = yx!) và fj(x;y) = xVInx

Vi du 3.8 z = arctan Ý,x z 0 Ta có

„_ _Œ, _ c# _ ed care Ae 1” eH

ƒŒ;y) = Ự +e 0, néu (x;y) = (0;0)

Tinh các đạo hàm riêng cap mot cua f(x; y)

Giải Xét hai trường hợp:

3.1 Dao ham riéng 109 Tóm lai,

Giải thích kết quả:

e Ở mức sản lượng 15 đơn vị sản phẩm loại thứ nhất và 10 đơn vị sản

phẩm loại thứ hai mỗi tuần, việc tăng mức sản lượng của sản phẩm

loại thứ nhất lên 1 đơn vị và cô định mức sản lượng của sản phẩm

loại thứ hai sẽ làm tăng lợi nhuận khoảng 40USI

e Ở mức sản lượng 40 đơn vị sản phẩm loại thứ nhất và 10 đơn vị sản

phẩm loại thứ hai mỗi tuần, việc tăng mức sản lượng của sản phẩm

loại thứ nhất lên 1 đơn vị và cố định mức sản lượng của sản phẩm

loại thứ hai sẽ làm giảm lợi nhuận khoang 160USD

Bây giờ, xét hàm sản lượng

110 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

Ví dụ 3.12 Sản lượng của một công ty sản xuất máy tính để bàn có hàm

sản lượng

Q(K; L) = 15.K°®.L°4,

Công ty hiện đang sử dụng 2500 đơn vị vốn và 4000 đơn vi lao động, hãy

tìm sản lượng cận biên theo lao động và sản lượng cận biên theo vốn Để

tăng sản lượng nhiều hơn, lãnh đạo công ty nên tăng lao động hay tăng

Ở mức sử dụng vốn và lao déng hién tai, néu cé dinh số đơn vị lao động

và tăng một đơn vị vốn thì sản lượng tăng lên gần 10,86 đơn vị; còn nếu cô định vốn và tăng một đơn vị lao động thì sản lượng tăng lên gần 4,53 đơn

vị Do đó, lãnh đạo công ty nên tăng vốn

3.1.3 Đạo hàm riêng cấp hai

Dinh nghia 3.3 Cho ham z = f(x;y) co hai dao ham riéng z, va z, Dao

hàm riêng, néu cé, của z¿ và z„ được gọi là đạo hàm riêng cap hai của z,

m (A10) - /(09) _ ta 0—0_—o_— go,

ve ayo i f(0;Ay) — ƒ(0;0) ; ¥y Ay — ; = 1 0-0 — = HH = ự ;

Suy ra

eo ° fil Axi0) — f(0;0) y x; — 1 ; _ ° Ax — 0 x= — — ay

vay, fi/.(0;0) # ful, (0;0)

Vi du 3.13 va Vi du 3.14 cho thay hai dao ham hén hop đấu “ có thể

bằng hoặc khác nhau Định lý sau cho ta một điều kiện đủ để Tự Tản

Định lý 3.1 Nếu ƒ(x;) có đạo hàm riêng đến cấp hai xác định 0à liên tục trên

mot hinh tron D thì

3xấy (459) = guáy (4/9), Y(x;) € D,

112 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

3.2 Vi phan

3.2.1 Khái niệm vi phân

Cho ƒ(z; ) xác định trên hình tròn Ð có tâm là điểm (4; b) Nếu Ax, Aw

đủ nhỏ thì (2 + Ax;b + Ay) € ID) Khi đó, ta đặt

Af(a;b) = f(a+ Ax;b+ Ay) — f(a;b)

Dinh nghia 3.4 Ham ƒ(x; ) được gọi là khả vi tại (4;b) nêu

Af(a;b) = A.Ax + B.Ay + ø.Ax + B.Ay, (3.1) trong do:

e AvaBla hang số, chi phu thuéc (a; b);

e x — 0 và 6 — 0 khi Ax, Ay —> 0

Khi đó, biểu thức A.Ax + B.Aw được gọi là vi phân toàn phần của ƒ(+x; 1)

tại (a;b), và được ký hiệu là 3ƒ(a; b},

df(a;b) = A.Ax + BAy

&.Ax + B.Ay = 0(,/Ax? + Ay?) khi Ax, Ay —> 0

Vậy (3.6) có thể viết dưới dạng

Af(a;b) = A.Ax + B.Ay + 0(,/ Ax? + Ay?) (3.2)

Dinh ly sau day cho ta điều kiện đủ để hàm f(x;) khả vi tại điểm

(a;b).

3.3 Cực trị tự do 113

Định lý 3.2 Nếu ƒ(x;w) có các đạo hàm riêng ƒfy, f¿ xác định trong một hình tron mo tam (a; b) va lién tuc tai (a;b) thì ƒ(x;U) kha vi tai (a; b) va

df(a;b) = f,(a;b).Ax + fi (a; b).Ay (3.3)

Vi du 3.15 Ham f(x;y) = xy? c6 fi = 3x?y* va fy = 2x°y xác định và

lién tuc tai moi diém nén f(x; y) kha vi tai moi diém

Trong (3.8) néu lan lugt cho f(x;y) = x, f(x;y) = y thì lần lượt ta có

Ax = dx, Ay = dy Nhu vay (3.8) tro thanh

df(a;b) = f,(a;b).dx + f,(a;b).dy (3.4)

Vi du 3.16 Cho f(x;y) = y* + sin(xy) Ta c6

df (x;y) = [3x7y? + ycos(xy)|dx + [2x3y + x cos(xy)]dy

3.2.2 Vi phân cấp hai

Định nghĩa 3.5 Vi phân đƒ(x; y) là ham hai biến x, y Vi phân nếu có của

df (x;y) duoc gọi là vi phân cấp hai của ƒ(x;1) va ky hiéu 1a df (x;y) Vay

= | fadx + fray] dx + | yx AX + firdy| dy

= f›dx? + fyxdxdy + fy,dxdy + fipdy’

Néu fy, = fyx thì ta có

4° ƒ(x;) = fadx? + 2fxudxdw + frdy? (3.5)

fia = 6x + 4y, fry = 4% fyx = 4%, fz = 2

Do đó, vi phân cấp hai cia f(x; y) la

d? f (x;y) = (6x + 4y)dx* + 8xdxdy + 2dy’

114 PHÉP TÍNH VI PHÂN HẦM HAI BIÊN 3.3 Cực trị tự do

3.3.1 Khái niệm cực trị tự do

Định nghĩa 3.6 Cho hàm số ƒ(x; ) có miễn xác định D Ta nói

e Điểm (a;b) là điểm cực đại của ƒ nêu có một hình tròn tâm là (a; b)

sao cho

ƒ(;w) < flab),

v6i moi (x;y) nam trong hinh tron nay va dau bang chi xảy ra khi

diém (x;y) tring diém (a; b) (Hinh 3.1.a)

e Diém (a; b) là điểm cực tiểu của f néu cé médt hinh tron tam 1a (a; b)

sao cho

f(xy) > ƒ(a;b),

với mọi (x;1) nằm trong hình tròn này và dẫu bằng chỉ xảy ra khi

điểm (x; ý) trùng điểm (a;b) (Hình 3.1.b)

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị của hàm số tại điểm cực đại và tại điểm cực tiểu được gọi là giá trị cực đại và

giá trị cực tiểu của hàm số, được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số

Ta ký hiệu /max(4; b) là giá trị cực đại của hàm ƒ tại điểm cực đại (a; b);

tương tự, fm¡n (2; b) là giá trị cực tiểu của hàm ƒ tại điểm cực tiểu (a;b)

3.3 Cuc tri tu do 115

Ví dụ 3.19 Xét hàm z = x2 + Ÿ Ta có

z(x;y) > 0 = 2(0;0),V(x;y) € R?

Vậy, (0;0) là điểm cực tiểu của z và giá trị cực tiểu Zmin(0;0) = 0

Vi du 3.20 z = x? — y* Diém (0;0) không là điểm cực trị của hàm z

vì trong mọi hình tròn tâm (0;0) hàm z có cả giá trị âm và dương mà z(0;0) =0

3.3.2 Điều kiện cần của cực trị

Miễn xác định của một hàm hai biến bao gồm vô số điểm, do đó việc

tìm điểm cực trị của hàm số là rất phức tạp Kết quả sau đây giúp chúng

Chứng múnh Không mất tinh téng quat, ta gia str ham f(x; y) dat curc dai tai (a;b) va cé

hai đạo hàm riéng f; (4; b), f(a; 6) Vi f(x: y) dat cuc dai tai (a; b) nén ham g(x) = f(x: yo)

đạt cực đại tại xọ Do đó, theo định ly Fermat, ¢’(x9) = 0, nghia 1a f{(a;b) = 0 Tuong ty,

Định lý (3.3) khẳng định rằng hàm ƒ chỉ có thể đạt cực trị tại những

điểm mà tại đó hoặc là cả hai đạo hàm riêng cùng tồn tại và bằng không

hoặc là ít nhất một đạo hàm riêng không tdn tai

Dinh nghia 3.7

e Điểm mà tại đó hoặc là cả hai đạo hàm riêng cùng tổn tai va bang không hoặc là ít nhất một đạo hàm riêng không tổn tại được gọi là điểm tới hạn;

e Đặc biệt, điểm mà tại đó cả hai đạo hàm riêng cùng ton tai va bang

không được gọi là điểm dừng

116 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

Ví dụ 3.21 Tìm tất cả các điểm tới hạn, nếu có, của hàm số

z=x*+y*—x? —2xy—y’

Giải Do z có hai đạo hàm riêng tại mọi điểm nên điểm tới hạn, nếu có,

của z là điểm dừng Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ

zx„ = 4x — 2x — 2 = 0

y = 4” — 2w — 2x = 0

Giải hệ ta được ba điểm dừng: O(0;0), M:(1;1) và Ma(—1; —1)

3.3.3 Điều kiện đủ của cực trị

Định lý sau đây, bằng đạo hàm riêng cấp hai, giúp ta biết được một

điểm dừng có là điểm cực trị hay không

Dinh lý 3.4 Giả sử hàm z —= ƒ(x;) có điểm dừng là (a;b) uà có các dao ham

riêng cấp hai liên tục trong một hình tròn tâm (a;b) Dat

A = 2',(a;b),B = zy y (a; b) va C = zi, (a;b)

Khi do:

1 Nếu AC — B2 > 0 uà A < 0 thì (a; b) là điểm cực đại của z

2 Nếu AC — B2 > 0uà A > 0 thì (a;b) là điểm cực tiểu của z

3 Nếu AC — B2 < O thì (a;b) không là điểm cực trị của z

Chú ý 3.3 Trường hợp AC — B2 = 0, ta chưa có kết luận điểm (a;b) có

là điểm cực trị hay không Khi đó, ta phải khảo sát thêm bằng định nghĩa điểm cực trị

Bước 2: Các đạo hàm riêng cấp hai:

z⁄a = 12x” — 2, zxy — —2, Z/¿ = 12y* — 2

118 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

3.3.4 Ung dung cuc tri tự do trong kinh tế

Trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo, nhà sản xuất bán sản phẩm với giá do thị trường quyết định

Ví dụ 3.24 (Bài toán cực đại hóa lợi nhuận trong thị trường cạnh tranh

hoàn hảo) Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện

cạnh tranh hoàn hảo với giá bán lần lượt là = 450, › = 630 (đơn vị tiền), và chi phí sản xuất là

C(GØi; O2) = G7 + OiQ2 + Q2 + 210 + 360Q2 + 100

Hãy tìm các mức sản lượng ; và Q› để doanh nghiệp có lợi nhuận cực

3.3 Cuc tri tu do 119

Trong thị trường độc quyền, nhà sản xuất bán sản phẩm với giá do họ

quyết định

Ví dụ 3.25 (Bài toán cực đại hóa lợi nhuận trong thị trường độc quyền)

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm có hàm cầu về | hai loại sản phẩm là

Qp, = 1200 — 2P, + P2,Qp, = 1440 + P; — Po,

và hàm chỉ phí sản xuất la C(Q1; Q2) = 480Q, + 720Q2 + 400 Hay tìm các mức sản lượng Q) va Q2 để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại

120 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

lợi nhuận II(Q1; O2) đạt cực đại tại (Q1; Q2) = (480; 600)

Ví dụ 3.26 (Bài toán cực đại hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất

độc quyền một mặt hàng và bán trên hai thị trường tách biệt) Một doanh

nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và bán trên hai thị trường

tách biệt Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm chỉ phí sản xuất là:

Qp, = 310 — Pị,Qp, = 350 — P;,C(Q) = Q2 + 30Q + 20

Hãy tìm lượng sản phẩm cung cập trên từng thị trường để doanh nghiệp

có lợi nhuận cực đại

Giải

e Gọi Q; là lượng hàng cung cấp cho thị trường thứ í, j = 1;2 Ta có

© = Qì + Q¿ Để doanh nghiệp bán hết hàng thì

Qi = Qn, yn QO, = 310 — P, c Pạ = 310 — Q2 = Qn, Q2 = 350 — P2 Py = 350 — Q2

e Doanh thu cua doanh nghiép

3.4 Cực trị có điều kiện

3.4.1 Khái niệm cực trị có điều kiện

Định nghĩa 3.8 Cho điểm (2;b) thuộc đường cong có phương trình

chi xay ra khi (x;y) = (a; b) (Hinh 3.2.a)

Hàm ƒ(x;y) đạt cực tiểu tại (4;b) thỏa điều kiện (3.6) nêu có hình tròn tâm (4; b) sao cho

ƒŒ;w) > ƒ(;b) (3.8)

với mọi (x; ) nằm trong hình tròn này thỏa ø(x; ý) = 0 và dầu bằng

chỉ xảy ra khi (x;) = (a;b) (Hinh 3.2.b)

122 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

Ma h(x) = 4 v6i moi x nénh (4) = 4 > 0 Do đó, x = š là điểm cực tiểu

cia h(x) Suy ra (3; 3) la diém cực tiểu của hàm ƒ(x;) thỏa x + = 1 và

gia tri cực tiểu là

1 1 1

3.4.3 Phương pháp nhân tử Lagrange

Dinh lý 3.5 (điều kiện cân) Co điểm (a; b) thỏa (3.6).Giả thiết:

1 Hai hàm ƒ(x;U), S(+x; 9) có các đạo hàm riêng liên tục trên một hình tròn tâm (a; b)

2 Các đạo hàm riêng s+, sự không đông thời bằng không tại (a; b)

Nhận xét 3.1 Khi giả thiết của Định lý 3.5 được thỏa mãn thì hàm f(x; y)

chỉ có thể đạt cực trị với điều kiện (3.6) tại những điểm (zx; ) thỏa hệ

L(x;) được gọi là hàm Lagrange Dựa vào hàm Lagrange, định lý sau

đây cho ta một điều kiện đủ để kết luận điểm (4a; b) có là điểm cực trị hay

không

Định lý 3.6 (điều kiện đủ) Cho giả thiết ở định lý (3.5) thỏa mãn, ta giả thiết thêm rằng các hàm f(x;y),@(x:y) cé các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong

tột hình tròn tâm Mlo(a;b) Xét

d?L(Mo) = Li2(Mo)dx* + 2L{,(Mo)dxdy + Li,(Mo)dy*,

uới dx, dy khéng déng thời bằng không uà thỏa mãn phương trình

Ta có

~

1 Nếu đ2L(Ma) > O thi f(x; y) đạt cực tiểu thỏa điều kién (3.6) tai Mo

2 Néu d2L(Mo) < 0 thi f(x; y) đạt cực đại thỏa điều kién (3.6) tai Mo

Ví dụ 3.28 Tìm cực tri cua ham f(x;y) = x? + y? théa diéu kién x + y = 1

Giai

Bước 1: Lập hàm Lagrange Điều kiện xz + = 1 được viết lại dưới dạng

x+y-—1=0, va ham Lagrange

L(x;w) = x?+w2+ A(x+w— 1).

124 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN Bước 2: Tìm điểm dừng có diéu kién cua ham f(x; y) bằng việc giải hệ

Với À = —1, ta được # = 3,y = }

Bước 3: Kiểm tra điểm dừng có là điểm cực trị bằng vi phân cấp hai của

Do 42L (1;3) > 0 với mọi dx,dy khéng đồng thời bằng không nên

#(z; y) đạt cực tiểu có điều kiện tại G: 4) , và

x2 +y2—5 =0 (3)

Từ (1) = x = —1,(2) = y = — 44, thay vao (3) ta được

3z†242z75®À=#z

3.4 Cuc tri cé diéu kiện 125

với mọi ảdx, dự không đồng thời bằng không nên ƒ(x; ) đạt cực

tiểu có điều kiện tại (—2; — 1), và

véi moi dx, dy khong déng thdi bang khéng nén f(x; y) đạt cực

đại cé diéu kién tai (2;1), va f(2;1) = 5

3.4.4 Ung dung cực trị có điều kiện trong kinh tế

Ví dụ 3.30 (Bài toán cực đại hóa lợi ích người tiêu dùng) Một người tiêu dùng định dùng số tiền B = 178 mua hai loại hàng có giá Pị = 4,P; = 6

với số lượng +, và có hàm lợi ích là LI(x, w) = (x + 2)(w + 1) Xác định số

lượng từng loại hàng để lợi ích của người tiêu dùng đạt cực đại

Giải Theo đề bài, ta có 4x + 6 = 178 Bài toán trở thành: tìm cực đại của

hàm lợi ích LI(x;) = (x + 2)(y + 1) với điều kiện 4x + 6 — 178 = 0

e Hàm Lagrange L(x;w) = (x + 2)(w + 1) + À(4x + 6y — 178)

e Giải hệ

L=y+1+4A =0 (1)

Ly =x+2+6A =0 (2) 4x + 6y — 178 =0 (3)

Từ (1), (2) suy ra / = ~4A —1,x = —6A — 2; sau đó, thay vào (3), ta được

4(—6A — 2) + 6(—4À — 1) — 178 = 0 hay À = —4

Với À —= —4, suy ra x = 15, = 22.

126 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

e Ta cé d*L(x;y) = 2dxdy Tai diém (15;22) ứng với À = —4, thi d*L(15;22) = 2dxdy Mat khac, lay vi phan hai vé phuong trinh (3),

ta được 4dx + 6dy = O hay dự = — $dx Suy ra

vào thấp nhất

Giải Theo để bài, hàm chỉ phí đầu vào C(x;y) = 10x + 40y Mức sản

lượng Qo = 200 cho ta phương trình x9°®y95 = 20 Bài toán trở thành: tìm cực tiểu của hàm chỉ phí đầu vào C(z;) = 10x + 40w với điều kiện

3.4 Cực trị có điều kiện 127

e Taco

d?L (x;y) = —A.0, 25(x 7 yP dx? — 2x y” Pdxdy + xy dy?)

— -A,0,25 (x-95⁄ ay? pty 4 e058 gy2 at x05 ps psdedy + sy dy? )

Tai diém (40; 10) ung vdi A = —40, thì

102x4 + 2.10” “dụ )

42L(40; 10) = 10 (4o 92 5ax? — Mặt khác, lẫy vi phân hai về phương trình (3), ta được

0,5x~95y95đx + 0,5x95y 95ä3ụ = 0 hay

Tóm lại, để doanh nghiệp đạt mức sản lượng 200 với chỉ phí đầu vào thấp

nhất thì cần 40 đơn vị nguyên liệu có giá ¡ = 10 và 10 đơn vị nguyên liệu

sản phẩm này, thì phải sử dụng bao nhiêu đơn vị lao động và bao nhiêu

đơn vị vốn để cực đại hóa sản lượng? Số sản phẩm cực đại có thể sản xuất

được là bao nhiêu?

128 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

Giải Theo dé bai ta cé 50.x + 100.y = 500000 Ta tìm cực đại của hàm sản

Vậy, L(x; y) có 1 điểm dừng là (2500; 3750) ung voi A = —0, 1084

e Vi phân cấp hai của hàm Lagrange

42L(x;) = —3x—1759754x2 + 6x~075.~9254 x4 — 3x025,—1⁄2544/2

Mặt khác, lấy vi phân hai về phương trình (3), ta được đx = —2dy

Do đó,

d*L (x;y) — —6x~ 17505 dqụ2 _ 12x ~ 979 y—%25 dy? _ 3x05 1.2542

— (—6x~1⁄5y®%“ _ 12x~95.u—9 — 3x°9⁄2 u~1.25) 42

Tại (2500; 3750), do

3^L(2500; 3750) = —0,0083.đ/2 < 0 với mọi đự z# 0 nên Q(x; y) dat cực đại tại (2500; 3750) va

O(2500; 3750) ~ 54216 (đơn vị sản phẩm).

3.5 Bai tap 129

Tóm lai, dé san lượng đạt mức cực đại, trong điều kiện ngân sách là

500000USD, phải sử dụng 2500 đơn vị lao động và 3750 đơn vị vốn Sản

lượng cực đại có được là 54216 đơn vị

3.5 Bài tập

Trắc nghiệm tự luận

3.1 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm xác định được hai hàm cầu

cho hai loai san pham 1a P; = 210 — 4Q) + Q2, P2 = 300+ Qy — 12Qz, với

P; la gia của sản phẩm loại thứ nhất, P2 la giá của sản phẩm loại thứ hai,

G! là cầu sản phẩm loại thứ nhất trong mỗi tuần, và O; là cầu sản phẩm

loại thứ hai trong mỗi tuần

1 Tìm hàm doanh thu mỗi tuần R(Q1; Q2), va tinh R(20; 10)

2 Giả sử hàm chỉ phí mỗi tuần la C(Q);Q2) = 1000 + 40Q, + 80Q2,

tìm hàm lợi nhuận hàng tuần IÍ(Q; ©a), và tính I1(20; 10)

3.2 Một công ty sản xuất hai loại máy tính mỗi tuần, Q) loại A và Qz loại

loại B Doanh thu và chi phí hàng tuần (bằng đô la) là

R(O¡; Q¿) = 80G) + 90Q¿ + 0,04Q1Q2 — 0,05QŸ — 0,053,

C(Qi; Q2) = 20000 + 8Qi + 6Q>2

Tìm TT (11200; 18002) và IT, (11200; 18002), va giải thích kết các kết quả

3.3 Một siêu thị bán hai thương hiệu cafe: thương hiệu 4 ở mức giá

(USD/pound) và thương hiệu B ở mức giá P› (USD/pound) Nhu câu

hàng ngày Q; va Q; (tính bằng pound) đối với các thương hiệu A và B,

tương ứng, được cho bởi

` QO, = 200 — 5P, + 4P2, Q2 = 300 + 2P, — 4P

Tim 3m và SB, và giải thích kết qua

3.4 Năng suất của một công ty sản xuất máy bay được xấp xỉ bởi hàm san

xuat Cobb-Douglas

Q(K;L) = 40.K°?,.L°7,

1 Tim Q; và Q}

2 Céng ty hién dang su dung 1.500 don vi lao déng va 4.500 don vi

vốn, hãy tìm sản lượng cận biên theo lao động và sản lượng cận biên

theo vốn

130 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

7 2=2x*+y* — x? — 2y?; 8 z= 4xy—x*— y'

3.6 Tìm cực trị với điều kiện tương ứng của các hàm số

z = 6— 4x — 3v, với điều kiện xŸ + ˆ = l1;

z= x? + #ˆ, với điều kiện 3x + 2y = 6;

No oP

_ 1 1 wa gtk | 1 1

z=, + 1, voi dieu kién 5s + j az, a > O;

4 2 = xự, với điều kien 2+ $ = _ Z= xy, voi diéu kiện Ý- -++ S = 1;

5 2 = cos* x + cos y, với diéu kién x — y = — 4;

6 z = x2? + 12xy + 2/2, với điều kiện 4x2 + 2 = 25

3.7 Giả sử một công ty sản xuất giày có hàm lợi nhuận hàng năm (nghìn

USD) la

T1(Q1; Q2) = —66Q7 + 132Q1Q2 — 99Q3 + 132Q1 — 66Q2 — 19

trong đó, 1 là số (nghìn) đôi giày loại tiêu chuẩn sản xuất trong một năm,

O; là số (nghin) đôi giày loại chất lượng cao sản xuất trong một năm Công

ty phải sản xuất bao nhiêu đôi giày mỗi loại để có lợi nhuận cực đại? Tính giá trị lợi nhuận khi đó

3.8 Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh

tranh hoàn hảo với giá bán lần lượt là P¡ = 15, Pạ = 15 (đơn vị tiền tệ), và chi phí sản xuất la C(Q1;Q2) = Q? + Q2 Hãy tìm các mức sản lượng Q\

và Q¿ để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại

3.9 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và bán trên

hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm tổng.chỉ

phí sản xuất là Qp, = 350 — Py, Qp, = 300 — Po, va C(Q) = Q* + 60Q + 10

Hãy tìm lượng sản phẩm phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp

có lợi nhuận cực đại.

3.5 Bai tap 131

3.10 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm có hàm cầu

về hai loại sản phẩm là Qp, = 60 — Pi) + 2P2,Qp, = 40+ 2P, — Po, vaham

chi phi sản xuất là C(Q1;Qs) = Q7 + Q2 + Q1Q¿ Hãy tìm các mức sản

lượng Ó\ và để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại trong hai trường

hợp:

1 Không đóng thuế

2 Mức thuế phải đóng cho sản phẩm thứ nhất và sản phẩm thứ hai lần

lượt là 5 và10 đơn vị tiên tệ trên một đơn vị sản phẩm

3.11 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Cobb-Douglas cho một sản phẩm

được xác định bởi

Q(K;L) = 40.K3.L3, trong đó, K là số đơn vị vốn và L là số đơn vị lao động cần thiết để sản

xuất O(K; L) đơn vị của sản phẩm Mỗi đơn vị vốn có giá là 15USD và mỗi

đơn lao động có giá là 20USD Hỏi doanh nghiệp phải sử dụng bao nhiêu

đơn vị lao động và bao nhiêu đơn vị vến để sản xuất 50 đơn vị sản phẩm

với chi phí sản xuất cực tiểu?

132 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

3.16 Tính vi phân cấp hai của hàm số z = +xỞ + y* — 4xự

A đ2z = 6xdx* — 8dxdy + 2dy” B d*z = 6xdx* — 4dxdy + 2dy"

C d*z = 6xdx? + 8dxdy + 2dy* D d*z = 6xdx* + 4dxdy + 2dy* 3.17 Tinh vi phan cap hai cua ham sé z = yinx

A z dat cu dai tai M(1;0) B z đạt cực tiéu tai M(1;0)

C z có một cực đại và một cực tiểu D z không có cực trị

3.19 Cho ham s6 z = x4 — 8x? + y? + 5 Hay chọn khẳng định đúng nhất

A z đạt cực dai tai (0;0) B z đạt cực tiểu tại (—2;0) và (2;0) C.z chỉ có hai điểm dừng ` D z đạt cực đại tại (—2;0) và (2;0)

3.20 Cho hàm số z = x? — 2x + 5 Hãy chọn khẳng định đúng nhất

A z đạt cực đại tai (0;0) B z đạt cực tiểu tại (0;0)

Œ z có một cực đại và một cực tiểu D z có một điểm dừng

3.21 Cho hàm số z = +? — xự + 2 Hãy chọn khẳng định đúng nhất :

A z đạt cực đại tại (0; 0) B z đạt cực tiểu tai (0;0)

C z không có cực trị D z không có điểm dừng

3.5 Bai tap 133

3.22 Cho ham sé z = x? + 3 — 12x — 3w Hãy chọn khẳng định đúng nhất

A z đạt cực đại tại (2; 1) B z đạt cực tiểu tại (2; —1)

C z có đúng 2 điểm dừng D z có 4 điểm dừng

3.23 Cho hàm số z = + — 1° — 4x + 32 Hãy chọn khẳng định đúng nhất

A z dat cuc dai tai (1;2) B z đạt cực tiểu tai (1; 2)

C z không có điểm dừng D z không có cực trị

3.24 Cho hàm số z = x® — y° — cos* x — 32 Hãy chọn khẳng định đúng

Œ z đạt cực tiếu tại (1; -3 D z có 1 cực tiểu và 1 cực đại

3.27 Tìm cực trị của hàm z = ln(x2 — 2) với điều kiện x — — 2 = 0 Hãy

A z đạt cực tiểu tại (0; —3), cực đại tại (2; —1)

B z đạt cực đại tại (0; —3) và tại (2; —1)

C z đạt cực đại tại (0; —3), cực tiểu tại (2; —1)

D z đạt cực tiểu tại (0; —3) và (2; —1)

134 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN

3.29 Tìm cực trị của hàm z = xˆ(w — 1) — 3x +2 với điều kiện x — + 1 =

@ Bai toán trong kinh tế

Các bài tập 3.31, 3.32 uà 3.33 có phần chung: Một doanh nghiệp sản xuất độc quên hai loại sản phẩm Biết các ham cau va ham téng chi phi la

3.5 Bài tập 135

3.33 Mức thuế phải đóng cho các sản phẩm lần lượt là 5 và 10 đơn vị tiền

tệ trên một đơn vị sản phẩm Lợi nhuận của doanh nghiệp có thể tính theo công thức

A — Q3 + Q1Q2 + Q3 + 70G + 1002

B — 2Q? ~ 3Q1Q› — 3Q2 + 70Q: + 100Q2

C — 2Q? — 3Q1Oza — 2Q3 + 701 + 1000;

D — Q?— 2Q¡Qa + 2Q3 + 70Q¡ + 100Q2

Các bài tập 3.34, 3.35 oà 3.36 có phần chung: Trong thị trường cạnh tranh

hoàn hảo, một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm uới giá bán trên thị trường lần lượt là Pị = 14, Py = 16 (don oị Hiền tệ trên một đơn vi sản phẩm) Biết trong

quá trình sản xuất doanh nghiệp bỏ ra tổng chỉ phí

3.36 Mức thuế phải đóng cho các sản pham lan luot 1a 2 va 3 don vi tién

tệ trên một đơn vị sản phẩm Lợi nhuận của doanh nghiệp được tính theo công thức

A Q†— Q:Q¿ — Q5 + 13G + 13Q2 — 100

B — Qf — QiQz2 — 2Q3 + 12Qi + 13Q2 — 100

C — QF — Q1Q2 — QF + 12Q; + 13Q2 — 100

D — QF — Q1Q2 — QF + 12Q1 + 13Q2

Chương 4

TICH PHAN

4.1 Tích phân bấtđịnh 136

4.2 Tich phan xacdinh 0.624220062- 143

43 Tich phansuy réng -5-e+-e+e ce eee 155

44 Baitap .0 0.2.00 eee eee eee eee 166

Chú ý 4.1 acd thé la —oo, va b cé thé la +-co Théng thirong, khi khéng

có sự nhằm lẫn, ta nói F(x) là nguyên hàm của ƒ(x) mà không nói rõ trên

1 Trén ( 00; +00), — la nguyén ham cua x* do (= 3 \ 3 — 1+1“

2 Trên (—co; +00), sin x la nguyén ham cutia cos x do (sin x)’ = cos x

4.1 Tích phân bắt định 137

Định lý 4.1 Néu F(x) la nguyén ham cua ham f(x) trén (a;b) thi moi nguyén

ham cua f(x) trén (a;b) đều có dạng F(x) + C, uới C là hằng số

Ví dụ 4.2 Với mọi số thực C, ta có

3

1 = + C languyén ham cua x? trén (— 00; +00),

2 sinx + C là nguyên hàm của cos x trên (—co; +œo)

3 arcsin x + C là nguyên hàm của 1 trên (—1; 1)

w1—x2

4.1.2 Tích phân bất định

Định nghĩa 4.2 Cho F(x) là nguyên hàm của hàm ƒ(x) trên (2;b) Tập hợp tất cả các nguyên hàm của ƒ(x) trên (2;b) được gọi là tích phân bất định của f(x) trén (a;b), ky hiéu là f f(x)dx Vay

1 | Pax = = + C trên (—eo; +co)

2 J cos xảx = sin x + C trên (— œ; +co),

1

3 J —————>đ* —= arcsin RS x + C trén (—1; ( 1) )

Chú ý 4.2 Trong một vài trường hợp, ta sử dụng khái niệm nguyên hàm

trên [2;b] như sau: F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trén |z; bị

nêu F(x) là nguyên hàm của hàm ƒ(x) trên (4a; b} và

F{a*)= ƒ(),F(~) = f(b).

W Tinh chat co ban

1 Nếu f(x) cé nguvén ham trên (2;ð) và k là một hằng số thực thì

J k.f (x)dx = k f f(x)ax

2 Néu f(x) va g(x) c6 nguyén ham trén (a; b) thi

[UG + a@lax = f fedax + [ goa

Vi du 4.4 Ap dung hai tinh chat co ban va tich phan bat dinh co ban, ta