Toán cao cấp a1 phần 6

Chương 6 CHUỖI HÀM 6 1 DÃY HÀM 232 6 2 CHUỖI HÀM 234 6 3 CHUỖI LŨY THỪA 238 6 4 BÀI TẬP 245 6 1 DÃY HÀM 6 1 1 DỊnh nghĩa Giả sử 1, f2, ■ ,fn, là một dãy các hàm số xác định trên tập X c R, ký hiệu ỉà.

Chương 6

CHUỖI HÀM

6.1 DÃY HÀM 232

6.2 CHUỖI HÀM 234

6.3 CHUỖI LŨY THỪA 238

6.4 BÀI TẬP 245

6.1 DÃY HÀM

6.1.1 DỊnh nghĩa

Giả sử /1, f2, ■ ,fn, là một dãy các hàm số xác định trên tập X c R,

ký hiệu ỉà (/„)- Điểm X() e X được gọi là điểm hội tụ cùa dãy hàm ầy nếu dãy số (/n(xo)) hội tụ 'rập hợp những điểm hội tụ của (/„) dược gọi là miền hội tụ của nó

6.1.2 Hội tụ diêm, hội tụ đều

DỊnh nghĩa 6.1 Giả sử dãy hàm (/„) có miền hội tụ là X Với mỗi X e C

X dặt/(x) — lim„ >.J.oo/„ (x), ta thu được hàm f : D — > R Khi ấy, ta nói dãy hàm (/„) hội tụ điểm về f trên D và f dược gọi là hàm giới hạn (diểm) cùa dãy hàm (/„)

Ví dụ 6.1 Xét dãy hàm (/„) với /„(x) - x” Tìm miền hội tụ của dãy hàm

và hàm giới hạn diểm của {fn}

Giải Ta xét các trường hợp:

• Nếu IXI < 1 thì lim„ > I wx" — 0

6.1 DÁY HĂM 233

• Nếu I x| > 1 thì lim„ > ( oo xtt không tồn tại hữu hạn

• Nếu X — 1 thì limn >4 00 xft 1.

• Neu X — 1 thì limN > ( x" không tồn tại

Vậy miền hội tụ của dãy hàm dã cho là ( 1; 1| và trôn dó dãy hàm hội

tụ diểm về hàm f xác dịnh như sau

6.1.3 Tính chất của dãy hàm hội tụ đểu

Định lý 6.1 Giả sử dãi/ hàm (fn) liên tục trên Ịa; b| Nếu dãy hàm hội tụ đều trên [a; bỊ Zỉề hàm f thì hàm f liên tục trên [ íz ; £>].

l/(x) - /(A-o)l < I + | + | = e,

Định lý 6.2 Giả sử dãy hàm (/„) liên tục trên [«; b] Nếu dãy hàm (/„) hội tụ đều trên [«; b] về hàm f thì

lim / fn{x}dx — Ị f(x}dx

■ ỉa

Hơ-DỊnh lý 6.3 Giả sử dãy hàm (fn) có dạo hàm liên tục trên Ịrt;bỊ Nếu hội

tụ đều trên [a; í>] về hàm g và (f„) hội tụ trên [íĩ; b] Z’ề f thì f có đạo hàm trên {a;b} và fix') - g(x),\/x G (ữ; b), nghĩa là, hội tụ dầu trên (í7; b) về f'.

Chứng minh Với X c ( íj ; /?), áp dụng dinh lý 6.2 cho dãy hàm (fn) hội tụ dều trên ịơ;XI

6.2 Cĩỉưổỉ HĂM 235

• I ĩàm s (x) di từ D vào R, xác định bởi

-t_ooS(x) - )~7

H 1dược gọi là tổng của chuỗi hàm (6.1)

hội tụ với mọi X

6.2.2 Chuỗi hàm hội tụ dều

hội tụ dều trên D

Chú thích 6.1 Từ định nghĩa 6.5 ta thấy chuỗi hàm X7J °0] íTi(x) hội tụ dều trên D khi và chỉ khi chuỗi dư Rn(x) “ 4 I uk(x} hội tụ dcu VC 0 tron D.

_ ' (-1)” 1

Ví du 6.5 Xét tính hội tụ củêì chuôi hàm 7 , -ý-——.

,6-6 n A- X2

n 1

240 CĨỈLỈỎỊ HĂM.

Dịnh nghĩa 6.7 số R > 0 sao cho chuỗi (6.5) hội tụ với mọi X, |x X()| < R

và phân kỳ với mọi X, Ị a ' X()| > R được gọi là bán kính hội tụ cùa chuỗi

(6.5) Khoảng (xo — R, Xo I R) dược gọi là khoảng hội tụ của chuỗi (6.5).

Tiếp theo, ta nói về cách tìm bá II kính hội tụ Đùng tiêu chuẩn d'Alembert, ta có

1 Next p — -t-oo thì pịx| > l,Vx 0, khi ấy chuồi (6.6) phân kỳ nên chuôi (6.4) phân

kỳ tại mọi X -/Ế o (theo chú thích 5.3) Vậy K 0.

2 Nếu p ■ 0 thì p|x| () < 1, Vx G R Vậy chuối 6.6) hội tụ tại mọi X c.R suy ra chuối (6.4) hội tụ tại mọi X c. R, R I ro.

3 Nốu o < p < ] oo thì (6.6) và (6.4) hội tụ khi p[x| < 1 tức ịx| < p và (6.6) phân

kỳ khi p|xị > 1 hay IX I > p 1 suy ra (6.4) phân kỹ khi |x| > p ' Vậy R p 1.

H > I ro n t 1

n -r I ro 4

Suy ra, bán kính hội tụ R 0

Tương tự, nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy ta có

Dịnh lý 6.10 Xét chuỗi (6.4) Nếu

lim

n > i eo ỵ/\a"I P'

thì bán kính hội tụ của chuôi (6.4) được xác dịnh như sau:

{0, nếu p 1, nếu 0 < p < H no; ọ - -■ -l-oo;

Teo, nếu p ■ 0.

Ví dụ 6.9 'lìm bán kính hội tụ của các chuỗi sau:

Suy ra, bán kính hội tụ R 9

-lim \ -——— = lim -——- 1-00,

n > 1-00 Ụ k 2n + 3 / n ~> I co 2tĩ 1 ■ 3

Suy ra, bán kính hội tụ R - 0

c) Chuỗi đa cho có atỉ

Suy ra, bán kính hội tụ R |-oo,

Ví dụ 6.10 'Tìm bán kính hội tụ, từ đó, suy ra miền hội tụ của các chuỗi

chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là (— 1;5|

6.3 CHU Ồ ỉ LŨY THÙA 243

Suy ra, bán kính hội tụ R 3, và khoảng hội tụ của chuôi là ( 2;4) Tiếp theo, ta xét tính hội tụ của chuỗi tại hai dầu mút của khoảng hội tụ

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là ( 2;4)

6.3.3 Tính chất của chuỗi lũy thừa

DỊnh lý 6.11 Chuỗi ỉủy thừa (6.4) hội tụ đều trên mọi đoạn [íí;bỊ chứa trong miền hội tụ của nó

Chứng minh Giả sử (6.4) có bán kính hội tụ R > (} Ta chí cần chứng minh (6.4) hội ti.ỉ dền trên doạn [ — - 'y; t | G ( R;R). Thật vậy, vì

|đ„V'| < |nfl 'r"j,Vx c [ nên, theo tiêu chuẩn hội tụ dều Weierstrass, (6.4) hội tụ dều trên [ □

Dinh lý 6.12 Tcảĩg của chuỗi lũy thừa (6.4) liên tục trén miền hội tụ cửa nó

Dịnh lý 6.13 Ta có thể dạo hàm từng số hạng của chuỗi ỉũy thừa (6.4) Chuồi mới thu dược ỉà chuỗi ỉũy thừa có cùng bán kính hội tụ với chuỗi (6.4).

Chứng minh Bạo hàm từng số hạng ciìa (6.4) ta thu dược X2,J ^1 na„x" * Dề thấy chuồi này có bán kính hội tụ bang R Tiếp theo ta áp dụng dinh ]ý 6.11 và dinh ìý 6.7 □

Ví dụ 6.11 Chứng minh rằng với -1 < X < 1, ta có

1 — V n.xn 1.

(1 *)2 '

có bán kính hội tụ bằng R Tiếp then la áp dụng dịnh !ý 6.1 ] và dinh lý 6.7 n

6.4 BÀ í TÁP 245

6.4 BĂI TẬP

TRẮC NGHIỆM Tự LUẬN

6.1 Tim miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:

Tim miền hội tụ của các chuôi lũy thừéì sau:

6.2.

TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

■ Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

I re n 6.3 Tim bán kính hội tụ R cúa chuôi lííy thừa yy 077~i—'■

II 1 *

246 CÍ-ỈUỖỈ HẰM

■ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

6.6 'lìm miền hội tụ của chuỗi luy thừa y*' I °° n 07TT - t ( x 1)"

H 1

- 1)"

1 co / -1 VI6.10 Tìm mien hội tụ của chuôi lũy thừa > „ ■ (x

n t

1)"

+ co / 1 v> 16.11 Tìm miên hội tụ của chuôi lũy thừa ) -■——(

H 1 ’

> 5)\

f eo -Ị6.12 lìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa y’ — (x

c. Chuỗi chỉ hội tụ tại X - 1 D. Chuỗi có bán kính hội tụ /\ 1

(a) s hội tụ tuyệt dối khi 1 < X < 1.

(b) s phân kỳ khi và chỉ khi V > 1

6.20.

I eo x >>

Cho chuỗi s : y* - —■ với các phát biếu:

,fh (n I I) 3" h

(a) s bán hội tụ khi X 3

(b) s phân kỳ với Ix| > 3.

Chọn khẳng dịnh đúng nhất

A. (a), (b) đều dúng

c (a) sai, (b) đúng

B. (a) đúng, (b) sai /? (a), (b) dều sai

_ I °° 2ỉi I 1

6.21 Cho chuôi s : ~x2” với các phát biểu:

(a) s hội tụ tuyệt dối khi |x| < 1.

(b) s phân kỳ khi ịxj > 1.

Chọn khẳng dịnh dúng nhất

6.4 BÀ ỉ TẬP 249

I _ 1 V' 1

6.22 Cho chuồi s : — 77 2'1 """ •'A' 1)" với c^c phát biểu:

ỈỊ 1

(a) s hội tụ tuyệt dối khi 1 < Y < 3

(b) s phân kỳ khi X < - 1 hay X > 3

Chọn khẳng dịnh đúng nhất

HƯƠNG DAN - DAP AN

6.4 BẢ ỉ TẬP 25'1

2.11 dã sử phương trình da cho có hai nghiệm phân biệt, x t < X2, trong khoáng (0;1) Áp dụng định lý Rolle cho hàm số trên đoạn [xpX'2] buy ra diều vô lý 2.12 Chú ý f'(x) là da thức bậc ba nên số nghiệm nhiều nhất là ba Áp dụng dịnh lý Rolle cho hàm số f trên các doạn : [ - 3; — 2], [ 2; - 1 ] và ị 1; ()| 2.13 Áp dụng dinh lý La- oranoo I? 14 I 1 1 ( l t2 : T 2 ) • ’ ĩs í ?.i n ' T • 7 1," ■ I vựĩ l ( In 2 Y I <tlnv < 4 - ln T ì ■

-3 y" - -'T—— rrr- 2.15 1 y" - /. 2 I/" 777^-“7 tt ; 3- y" II t2

ị 2.16 1 1/ (1O1 90sinx I 20 â ' cosX — (x2 I 1) sinx; 2 1/1l()) e r ()(” 1)Mti7i' ’;

3 c22n" 2; 4 </") - (ppp^rr I (Hy^) • I 2 -17 ì 2; 2- °;

3-4 2; 5 0; 6 2.18 1 0; 2 0; 3 1; 4 0; 5 ị; 6. 7 8.

e 4 2; 5 1; 6 c 7 1; 8 1; 9 1 2 20] 6 t- 7(x - 1) t 6(x

1 I 2.19 I 1 1; 2 e4; 3 I} 2 + (x - l) 3 [~ 2?21~| 1.

J +• ịx2 ■ Ỳ^x 3 1 o(x^); 2 1 1- 2x í X2 — $-*-3 i 0(x 3); 3 X I ^x3 ( -pjX^ I 0(x “ ’);

4 X I ặx 3 I- &X* + 0(x5); 5 21n2 I ịx2 - I 0(x5); 6 2 4 ^X2 JjgX* + <K*S) 2.22 I ịx - ^x 5 I <XjX 9 - 25/, X 13 + -ro^-x17 f 0(x18 ) Suy ra /O7)(o) = I 2.23

3.1 1 1/ tăng trên miền xác định; 2 3 2 y giảm trên (0; 1) u (l;c) và tăng trên (e; 4-00);

3 t/ giảm trên (0; e 1 ) và tăng trên (c -3,?/ - - £ 3.3 1 Dường cong,

' - 00; ỳ), lõm trên ( ;>;d) u (0; +00); 3, 3 Đường cong lồi trên (^; +00), lõm trên ( co; ;!) 3.4 1 Tiệm cận dứng: X 0; tiệm cận ngang: y — ±1; 2 Tiệm cận dứng: X -~l,x 0; tiệm cận xiên: ĩ/ = 2x; 3 3 Tiệm cận dứng: X - e ■ b tiệm cận xiên: y = X I- e 1

I Jj- In Ị tan x| - 2y In I tan 3 A' I 11 jy; 3.

1

In \l I- 1 I, í ịln(/ I 1)

GA I3ÀỈ TẬP 253

In 8 2; 9 ^zr I 4.12 I 1. -%; 2. 1; 3 %; 4 zr 4 2; 5 -fj 6 - -’ j 2 -zr; 7 •'-'p 7C; 8 2; 9.

2 arc-sin 4= 4.13 1 phân kỳ; 2 phân kỳ; 3 hội tụ; 4 hội tụ; 5 hội tụ; 6 hội tụ tuyệt dối;

7 hội tụ; 8 hội tụ; 9 phân kỳ 4.14 1 hội tụ; 2 phân kỳ; 3 hội tụ; 4 hội tụ; 5 phân kỳ; 6 hội tụ; 7 hội tụ; 8 hội tụ; 9 hội tự 4.15

3 í lội tụ, (ĩ), ; 4. I lội tụ, 77,, 5 Hội tụ,(In ~ 4.7"' 6 Pluìn kỹ, (ìn > ; 7 Phân

ký, ít,, " ựn' > 4, 77 -■ '> 2; 8 I lội tụ,. > > 77,, ~ ’ ’2; ’ 9 Phân kỳ, a,ỊZ' ” > \ ự,,' II > 2; 10 1 lội lụ,' " (ỉn ~ ,; 2.H-'

11 1 lội tụ, a,Ị ~ 12 I lội tụ,(In < 2 5.4 1 1 lội tụ, 447 - -y- ị ; 2. Phân

kỳ, -".J.1- > I 00; 3 Phân kỳ, -'7 1 - > t eo; 4 I lội tụ, </77)7 > 3-; 5 Hội tu, f*»■' 1 > Z; 6

I lội tụ, ỰÕT fl - 7t 4 t ) e 2' 7 • 11$’ ht' </T7 4;; 8 1 lội tụ, ỰÕỴ, - > 4; 9 I lội tụ,

ỰÕ7, — > ặ; 5.5 1 Phân kỳ, Ịíỉ„ ị = ị -h -> ị; 2 Hội tụ 3 Hội tụ 4 Hàm arctan tăng, suy ra arctan giám về 0 Chuối hội tụ 5 Hội tụ, hàm số f(x) = —: giảm trên miền V > 2 nén giâm về 0 6 Hội tụ: Đặt (ỉn - (2 ji "' I ílz ta ct) if'i'r < 1- D áy ẠA già™

và bị chặn dxrới bời () nên hội tụ về 'lít dẳng (hire <ìt1 , I 2'riu ■I, »' suy ra '■ ” 2-1- v ‘ ?y / () 7 1 iội tụ 8 Hội tụ 9 Phân kỳ, n„

I -y’ 71 - 2" ’ 2 ’ H P ’ tl - ’ tuyệt dối,

Bán hòi tụ, |n„| ~

^7^ -■2 - ’i tăng và /7] • 2; 5.6 1 Hội tụ tuyệt dối,

3 Bán hội tụ; 4 ĩ lội tụ tuyệt dối; 5 7f y2 ; 6.

Tài liêu tham khảo

[1] Dồ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, Giải tích hàm một biến, Nhà xuất bàn Dại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (2002).

[2] Dỗ Cõng Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, Chuồi và phương trinh vi

phân, Nhà xuất bàn Dại học quốc gia Thành phố I lồ Chí Minh (2002).

[3] Nguyễn Dinh Trí (chủ biên), Phép tính giài tích một biến số, Nhà xuất bản giáo dục (2002).

tích hàm một biền, Dại học quốc gia Thành phố I {ồ Chí Minh (2002).

[5] Nguyễn Phú vinh, Giáo trình Toán CHO cắp, Trường dại học công nghiệp Thành phố

Ho Chí Minh (2004).

{6] Ngô Thành Phong, Giáo trình giản yếu Giải tích toán học, Trường dại học Khoa học lự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh (2001).

[7] Jon Rogawski, Calculus early transcendent" Is, w H. Freeman and Company (2008).

[8] James Stewart, Calculus early transcendentals, Cengage Learning (20'1 2).

[9] Joel Hass, Maurice D Weir, George B Thomas, Jr., University calculus early dentals, Addison - Wesley (2007).

transccn-si