Toán cao cấp a1 phần 2

Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2 1 DẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP 1 70 2 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP CAO 85 2 3 CẤC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 89 2 4 QUY TẮC UHÔPITAl 93 2 5 CÓNG THỨC TAYLOR 100 2 6 BÀI TẬP 107 2 1.

Chương 2

2.1 DẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP 1 70

2.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP CAO 85

2.3 CẤC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 89

2.4 QUY TẮC UHÔPITAl 93

2.5 CÓNG THỨC TAYLOR 100

2.6 BÀI TẬP 107

2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP 1 2.1.1 Dạo hàm ■ Dạo hàm của hàm số tại một diem Dinh nghĩa 2.1 Cho hàm số f xác định trên Ta nói f có đạo hàm tại X() € (a; b) nếu tỷ số z 1 x") có giới hạn hữu hạn khi X > X() Khi dó, giá trị của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại Xo, dược ký hiệu là /'(xo), nghía là /•'(xo) = lim x->x() X — X() (2.1) Chú thích 2.1 1 Nếu đặt Ax — X — X() thì Ax —» 0 khi X —> Xo Khi đó, (2.1) trở thành /(x0 t Ax) - /(x0) lim - - ——

2.1 ĐẠO HĂM VĂ VI PHĂN CẤP ĩ 71

-X -> -X() X — Xo

= lim cosX—>X()

— Vậy /'(xo) = cos X()

COSXo-4 Hàm số /(x) = eỴ có miền xác định tại là R Lấy tùy ý Xo € R, ta có

72 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

/(xo + Ax)

fM

~Õ

Hình 2.1: Ý nghĩa hình học của đạo hàm

■ Ý nghĩa của đạo hàm

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét đường cong (C) có phương trình y — f(x) Với hai điểm Mo(xo,/(xo)) và M(xo + Ax,/(xo + Ax)) e

(C) thì tỷ số /(X(|ì ^2—íi-liỉl là hệ số góc của đường thẳng Mq M Khi Ax —> 0

thì M tiến về Mị) trên (C), vị trí giới hạn M qỉ , nếu có, của cát tuyến M q M

được gọi là tiếp tuyến tại Mo của (c) (hình 2.1) Do đó,

_ lim + Ax) - /(*o)Ax—>0 Ax

cho ta hệ số góc của tiếp tuyến Mị)t

Trong cơ học, với một chất điểm chuyên động trên một trục x'Ox sao cho tại thời điểm Xo,/(xo) chỉ khoảng cách (dại số) OM Tại thời diểm

Xo -+• Ax, chất điểm di chuyển đến vị trí M' và OM' = /(xo + Ax) Trong khoảng thời gian Ax, chất điểm di chuyên được quảng đường có độ dài (đại số) là MM' = f(xo T Ax) — /(xo), và ta gọi /(X<>+A^)-/(*») là vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ Xo đến Xo + Ax Khi

đó, giá trị

cho ta vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm

Xo-■ Đạo hàm của hàm số trong một khoảng

Định nghĩa 2.2 Cho hàm số f xác định trên (ữ;b) Ta nói f có đạo hàm

trong khoảng («; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm X trong (n; b)

■ Điều kiện cần đê có đạo hàm

Định lý 2.1 Nếu f xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại X() € (a; b} thì f liên tục tại X()

Chứng minh Đặt e(x — X q ) = — - - f'(xfí). Ta có e(x — Xo) -* khi X —> X q và

X — Xq

do đó

f(x) -/( * o) = /'( * o)-( x - * o) + ( * - * o).c-(x - * o) -* 0/

khi X —> X q Vậy f liên tục tại X q □

Chiều ngược lại của định lý không đúng Chẳng hạn, hàm số /(x) =

74 ĐAO HÀM VÁ VI PHÁN

3- (/-xO'W = /'( )x( * x) + /( )g'( )- **

4 Hơn nữa, nếu g(x) / 0 trong một lân cận của X thì hum số — có đạo hàm

X ■ tại X, và

f í y w = zwMiW).

x2U)

Chứng minh Do định lý 2.1 nên f và ỵ là hai hàm số liên tục tại X, và khi Ax > 0 ta có

(/ + x)(* + Ax) — (/ 4 g)(x) = /(x-4 Ax) -/(x) + g(xH-Ax) g(x)

Vậy các dẳng thức 1, 2, 3 dược chứng minh.

Khi g(x) / 0, thì vìg liên tục tại X nên x(x) khác không trên một lân cận của X, và do

/

X

dó, hàm số xác dinh trên lân cận này Khi dó, ta có

ị(x 4 Ax) - £(x) /( x + Ax)g(x) - f(x)g(x + Ax)

2.1 ĐẠO HÀM VÀ Vỉ PHĂN CAP ĩ 75

DỊnh lý 2.3 Nếu f có đạo hàm tại X(), g xác định trong một ỉăn cận cùa 1/0 —

ỉ { xq ) và có đạo hàm tại 1/0 thì go f có đạo hàm tại X q Khi đó,

*)

Chứng minh Dof códạo hàm tai Xo vàX códạo hàm tại 1/0 nên ta có

/(x) - /(x0) = f'(x0 )(x -Xo) 4- (x - Xokl (>' - * o) và

g(ỵ) - Ấ’ (yo) - g'(yo)(y - yo) + (y - yo)c2(y - yo) trong dó, lim 6'1(7/) = 0 và limE2W = 0

/1 >0 k >0

Bây giờ, với 1/ = /(x) /(xo) = 1/0 khi X — > Xo, ta có

(s°/)(x) - U°/)(^o) =g ’ tyOf'txOtx - X(ị) + (x - x 0)c(x - Xo),

76 ĐẠO HÀM VÀ Vỉ PHĂN

t

Ví dụ 2.5 Tìm đạo hàm của hàm số h(x) — (1 - 3x)4

Giải Ta xem /(x) = 1 — 3x và g(y) = y4, ta có /'(x) = -3,#'(y) = 4y?

Ap dung công thức dạo hàm của hàm số hợp, ta được

&'(

*) = /(/(*))•/'(*) = 4(1 - 3x)3.(—3)

■ Đạo hàm của hàm số ngược

DỊnh lý 2.4 Cho f : D —> R là hàm số 1 — 1 Nếu f có đạo hàm tại X và

f'(x) 0 thì f~l : f(D) —> D có đạo hàm tại y - fix') và

ư /'(x) /'(/-‘(y))

Chứng minh Do f là hàm số 1 — 1 nên có hàm sồ ngược f 1 : f (Ị)) —> /) Vứi s = f '(1),

X — f 1 (y) € D ta có s Ỷ X khi t / y và s — > X <=> t -> 1/ nên

E3 Dạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản

Định lý 2.5 Đạo hàm số các hàm số sơ cấp được cho ở bảng sau:

Xét /(x) = sinx ta có f'(x) — cosx V 0 khi — -2- < X < -2-, suy ra, theo dinh lý 2.4,

f~ĩ (x) = arcsinx có dạo hàm tại mọi —1 < < 1, và

có đạo hàm bên phải tại Xq nêu tỷ sô — - có giới hạn khi

Ax —» 0 1 Khi đó, giá trị của giới hạn này được gọi là LỈạo hàm bên phải của

f tại Xq , ký hiệu là /'(Xg ), nghĩa là

Đo dạo hàm tại X của f đưực định nghĩa bằng giói hạn hàm số theo

biến là Ax, nên ta có

Định lý 2.6 Ham số f có đạo hàm tại X khi và chỉ khi f có đạo hàm bêìĩ trái và bên phải lại X bằng nhan.

Chứng minh Sinh viên tự chứng minh, xcm như bài tập.

Ví dụ 2.7 Cho hàm số

Ị ax T b, X < 1 /íx) = < „

2.1 DẠO HĂM VÀ Vĩ PHẢN CẤP 1 79

B Đạo hàm vô cùng

Dinh nghĩa 2.4 Cho hàm số f xác định trên (í7; b) và X G («; /’) Nếu

ta nói f có đạo hàm vô cùng tại X

Hình 2.2: Ý nghĩa hình học cùa dạo hàm vô cììng

Vồ mặt hình học thì nếu f có đạo hàm vô cùng tại X thì tiếp tuyến với

đồ thị hàm số Ị/ = /(x) tại diểm có hoành độ X song song với trục tung.Tương tự, ta cũng có khái niệm dạo hàm bên trái bằng vô cùng,

trong đó, A là hằng số chì phụ thuộc X và 0(Ax) là vô cùng bé cấp cao so với Ax khi Ax —> 0 Khi đó, biêu thưc A.Ax được gọi là vi phân của f tại X,

ký hiệu là

U Điều kiện cần và đủ để hàm số khâ vi tại một điểm

Ta có mối liên hệ giữa tính khả vi và có đạo hàm như sau

Định lý 2.7 Hàm f khả vi tại X khi và chỉ khi f có đạo hàm tại X Khi đó ta có

Chứng minh Giá sử fkhả vi tại X. Ta có

f(x + Ax) - /(x) = A.Ax + 0(Ax), suy ra

/(x + Ax) -/(x) = Ũ(Ax)

khi Ax — > 0 Vậyf có dạo hàm tại X vàf'(x) = A.

Ngược lại,nếu f có đạo hàm tại X ta có

c(Ax) = f(x + AAX j ~f(x ì - f'(x) -> 0

Ax khi Ax — > 0 Do đó,

/(x + Ax) — /(x) = /'(x).Ax + Axe(Ax) = /'(x).Ax I 0(Ax)

vì — —— = e(Ar) — > 0 khi Ax —> 0 Vậy fkhả vi tại X □

Chú thích 2.2 Hàm số /(x) = X khả vi mọi diểm X G R, ta có

dx = df(x) f'(xỴ&x — l.Ax = Ax.

Do dó, (2.7) được viết dưới dạng

82 DAO HÀM VÀ Vỉ PHẢN

■ Đạo hàm của hàm số ân

Đầu tiên, hàm số 1/ — /(x) được gọi là ham số ẩn được xác định bởi phương trình F(x, Ị/) — 0 trong miền D nếu

F(x,/(x)) = 0, Vx e D

Ví dụ 2.9 Hai hàm số Ị/ = /25 — X2 và I/ = — /25 — X2 được xác định từ phương trình

X2 4- I/2 = 25vì

X2 4- ( /25 - X2) = 25, Vx e [-5; 5],

và

Tiếp theo, ta tính đạo hàm của hai hàm số I/ = /25 X2 và I/ =

— /25 — X2 theo hai cách như sau:

Cách 1: Tính theo cách tính mà chúng ta dã biết, với mỗi X € ( — 5; 5) ta có

Cách 2: Ta lấy dạo hàm hai vế của phương trình X2 4- ĩ/2 = 25 theo X, với

lưu ý I/ = /(*) là một hàm số có đạo hàm theo x:

2.7 ĐẠO HÀM VÀ Vĩ PHẢN CẮP 7 83

Như vậy, kết quả của hai cách tính là như nhau, nhưng cách 1 chỉ thực hiện dược khi ta tìm được công thức của hàm ẩn, còn cách 2 thì không cần phải tìm công thức của hàm ẩn Việc tìm công thức của ham ẩn từ phương trình r(x, 1/) = 0, chẳng hạn như X3 +1/3 — 6x1/ = 0, thì rất phức teip, thậm chí là không thể Do đó, chúng ta thường dùng Céích 2 để tính đạo hàm của hàm số ẩn

Ví dụ 2.10 Tìm -y-, biết 1/ là hàm số ân dược xác định từ phương trình

X3 _|_ y3 _ _ 0Gidi Ta thực hiện theo hai bước:

• Lấy đạo hàm, theo X, hai vế củéi phương trình

84 DAO HÀM VÀ VỊ PHÀN

1/ = — \/25 — X2 Diem (3;4) nằm trên dồ thị hàm số y — v25 — X2 nên hệ

số góc của tiếp tuyến của đường tròn tại diêm (3; 4) là

v'( 3 ) = Ẵ x=3 ~ ự25 - 32 " -3 _ 34

Chúng ta có thể dùng đạo hàm của hàm số ẩn để tính hệ số góc của tiếp tuyến của đường tròn tại diêm (3; 4) như sau

Ví dụ 2.12 Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của dường cong có phương

trình x 3 I I/3 — 6X1/ = 0 tại điểm (3; 3).

Giải Trong hoàn cảnh này, việc giải ra biểu thức của hàm số ẩn là rất khó Dùng đạo hàm của hàm số ẩn, dã tính ờ Ví dụ 2.10, hệ số góc củéì tiếp tuyến của dường cong tại điếm (3; 3) là

■ Đạo hàm theo tham số

Hàm số I/ phụ thuộc X một cách giíín tiếp, thông qua một biến trung

gian t, nghĩa là

í

* = <pơ)z

\.v = ự’ ơ)z

với t G (a; fp), được gọi là hàm số cho bởi phương trình tham số.

Giả sử các hàm số (Ị), 1/7 khả vi trên ( ív ; /ỉ) N(?u tồn tại hàm số ngược ợ/ ’1

và </>'(/) / 0 trên (a;/5) thì, theo dịnlĩ lý về dạo hàm của hàm số ngược và đạo hàm số của hàm số hợp, hàm số

y = 1/7(9? ^(x)) - f(x)

có đạo hàm theo X Hơn nữa, ta có

Thật vậy, do tính bất biến của vi phân ta có

’ íỉx (p'(t)đt

2.2 ĐẠO HÀM VĂ VI PHÁN CẤP CAO 85

Giải Ta có

a sin t

■v (x> = flU-cosi) cot -. / 2

■ Tính gần dúng bằng vi phân

Cho hàm số f khả vi tại Xo, ta có

/(xo -I Ax) -/(x0) = f'(x0).Ax + 0(Ax)

Do đó, khi Ax ~ 0 ta có thê xem

/(xo + Ax) « /(xo) + /'(^o)-Axvới sai số rất bé là 0( \x)

Ví dụ 2.15 Tính gan đúng ln(l, 001)

Giải Đặt f(x) = Inx, Xo = 1 và Ax = 0,001 Ta có /'(x) = ị, do dó, /'(

°'484-86 ĐẠO H àm và VI PHẢN

2.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP CAO

Định nghĩa 2.6 Nếu hàm số y — f(x) có dạo hàm thì đạo hàm của nó,

được gọi là dạo hàm cấp hai của /(x), và dược ký hiệu là f"(x} Vậy

/"(

*) = (/'(*))'

Nếu /"(x) có đạo hàm thì đạo hàm của no, (/"(x))', được gọi là dạo hàm câp ba của /(x), và được ký hiệu là /"'(x) hoặc /(3|(x) Một cách tổng quát, dạo hàm cấp n của /(x) là đạo ham của dạo hàm cấp n - 1 của /(x) Chúng ta gọi dạo hàm cấp không của /(x) chính là /(x) Vậy

2.2 DẠO HĂM VÀ Vỉ PHẢN CẤP CAO 87

Ví dụ 2.17 Cho y — X2 cos X Tính yt50) (x)

Giải Ta áp dụng công thức Leibnitz với f(x) = X2 và g(x) = cosx Do

f’"{x') = (x2)"' = 0, nên

= x2( — cos x) 4 50.2x.( — sin x) + 1225.2 cos X

= — X2 cos X — lOOx sin X + 2450 cos X

88 DẠO HĂM VÀ Vỉ PHÂN

n Đạo hàm cấp hai cùa hàm số ân

Ví dụ 2.18 Cho ĩ/ — v(x) xác dinh từ phương trình

2.3 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BINH 89

Giải Theo ví dụ 2.14, ta có i/(x) — cot — nên

là vi phân cấp hai của hàm số/(x), và ký hiệu là d2 f(x) long quát, vi phân

cấp n > 2 của /(x), ký hiệu là dnf(x), là vi phân, nếu có, của dn~i f{x) trên (n; b) Vậy

Vậy d 2f không bất biến về dạng Do dó, ta kết luận vi phân cấp cao không

belt biến về dạng

2.3.1 Khái niệm cực trị

DỊnh nghĩa 2.8 Cho hàm số f xác định trên D

• Diêm X() G D dược gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại ỗ > 0 sao cho (xo — ô; X() + ỗ) c D và

/(xo) < /(x),Vx e (xo - d;X() + ỏ) \ {%()}.

90 ĐẠO HAM VÀ Vỉ PHÂN

Khi dó, ta nói f đạt cực tiểu tại Xo, f (xo) được gọi là giá trị cực tiểu của

f tại Xo và điểm (*o;/(x'o)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm

số Ị/ = /(x)

• Điểm X() € D dược gọi là điểm cực đại của hàm số f nến ton tại ổ > 0 sao cho (xo — (5; Xo -I ỏ) c D và

f(xo) > f(x),Vx e (x0 - ỏ; Xo I- ổ) \ {* ()}.

Khi dó, ta nói f đại cực đại tại Xo, f(xo) được gọi là giá trị cực đại của

f tại X() và điểm (x»;/(xo)) được gọi là điểm cực đại của dồ thị hàm

Chứng minh Giả sử X'o là diêm cực dại Khi I Ax| dù bé, ta có

/(xo +- Ax) - /(xo) < 0.

Do dó, và vì f códạo hàm tại Xo nên

= /'w ) = 11m /( *" + A / /(v ") < 0

u Ax ->()• Ax và

/"G-.A lirn /■(*() + △*) /(Xo)

/ ta) = / (x,7) - AỊim - - > 0.

2.3 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 91

về mặt hình học, tại điểm cực trị của đồ thị hàm số f, nếu có tiếp tuyến thì tiếp tuyến cùng phương với trục Ox (Hình 2.3)

Như vậy, hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại mót điểm mà tại đó hoặc

là đạo hàm tồn tại, bằng không, hoặc là không tồn tại đạo hàm Một điếm như vậy dược gọi là điểm dừng, hay là điểm tới hạn, hoặc là diêm nghi ngờ.2.3.3 Định lý Rolle

DỊnh lý 2.11 Cho hằm số f thỏa các điều kiện sau:

1 Liền tục trên [a; b];

2 Có đạo hàm trên (a; b);

3 /(«)=/(>).*

Khi đó, tồn tại c G (a; b) sao cho f'(ò) — 0.

Chứng minh Theo đinh lý 1.22, tồn tại Xo,Xỵ 6 [rt;b] sao cho

= /(x 0) = inf /(x) < /(x) < sup /(x) = /(X|) = M.

“ <x<b a<x<b

Nếu ni = M thì f(x) — m,\/x E [n;b] nên/'(c) = 0, Ve G (<i;b) Ngược lại, khi m < M

thì ni 7^ /(«) hoặc M /(«)■ Suy ra / đạt cực trị địa phương tại c = Xo € (íỉ;h) hoặc tại

c = Xị € (a; b), và do fcó dạo hàm trên (a; b) nên theo dinh lý 2.10, /'(c) = 0 □

2.3.4 Định lý Cauchy

Định lý 2.12 Cho hai hàm số f và g thỏa các điều kiện sau:

1 Liên tục trên [a; b];

92 DẠO HÀM VÁ Vỉ PHĂN

Khi do, tồn tại c e (í?; b} sao cho

Khi g'(x) 0 với mọi X € («;ft) thì g(ft) — g(fl) / 0 vì nếu ngược lại thì, theo dinh lý Rollc, tôn tại X() € (n; ft) sao cho g'(xo) = 0 Đo đó, từ (2.15) suy ra (2.16) □

Trường hợp đặc biệt của Định lý Cauchy, với hàm số cy(x) — x,x e

ịa; b], ta thu dược

2.3.5 DỊnh lý Lagrange

Định lý 2.13 Cho ham số f thỏa các điều kiện sau:

1 Liên lục trên [a; bị,

2 Có đạo hàm trên (a; b).

Khi đó, tồn tại c G (a; b) sao cho

2.4 QUY TẮC ƯHÔPITAL 93

Ví dụ 2.20 Kiểm tra Định ]ý Lagrange với hàm số f(x} — \fx trong đoạn

Giải Đau tiên, dễ thấy f(x) — ỵ/x thỏa man giả thiết dịnh lý Lagrange.Ta tính hệ số góc của cát tuyến qua A(l; 1) và B(9;3) :

lim 1 Vi>

- 'ÍT âẩ

-s(x) X (<•)

Chú thích 2.3 1 Định lý 2.14 cũng đúng khi thay X —> b bởi X —> a ',

việc chứng minh hoàn toàn tương tự

2 Đinh lý 2.14 cũng đúng khi b = +co

Giải Ap dụng Quy tắc L'Hopital, ta có

Quy tắc UHôpital có thê được sử dụng liên tiềp nhiều lần, nếu như các diều kiện của Quy tắc được thỏa mãn

°-X—>0 sin X X—>0 sin X X

Chứng minh Trường hợp — co < L < + oo Cho c > 0, bé tùy ý Vì

tôn tại c € (n; b) sao cho với mọi X e (c;b) ta có

f'(x) lim • — L nên

hoàn toàn tương tự.

2 Định lý còn dúng khi thay X —> b bởi X —> a 1 với — 00 < a < +00

A >rt* ln(cx e") X 00 /Giải Ta có

98 DẠO HÀM VÀ VI PHẢN

2.4.3 Các dạng vô định khác

Trong mực này ta đưa ra cách khử cho các dạng vô định sau đay:

O.oo, oo — oo, 1“, oo°, 0°

■ Khừ dạng 0.OO

Xét giới hạn lim /(x)g(x) trong dó /(x) —> 0 và g(x) —> oo khi X —> a

Ta có hai cách khử như sau:

lim A'lnx — lim —7— = limX—X)1 x-*0' 1 X X—>0' —C- = lim (—x) = 0.—-1- x-X)(

• Neu không tồn tại lim V7—4

100 ĐẠO HÀM VÀ Vỉ PHẢN

Cách khử Do e" liên tục, ta có

lim[/(x)]S<x) = limeln0/(x)l'í(J>)x->íỉ X—><7

— e>imx_„^(x)ln/(x)

Giới him ở mũ, lim In /(x), có dạng 0.OO Nou lim v(x) In /(x) = a thì

lim(/(x)f <x) = e“ Nếu không tồn tại giới hạn limỵ(x) ln/(x) thì giới him liml/(x)]‘^A) cũng không tồn tại

lim (x-l 2X)x = elimx_.)Mlln(xl-2^ _

X •» I coTính giới him ở mũ

lim (x I 2X) X — 2.

X — > 4 co

Ví dụ 2.35 Tính lim Xsinx, (0°)

x>0'Giải Ta có

lim Xsinx — elinh *,,, sinxlnxX—>0’

— Clinh-><>| x,nx' (sinx ~ x,x —> 0)

= e° — 1, (theo ví dụ 2.29)

2.5 CÔNG THỨC TAYLOR 101

2.5 CÔNG THỨC TAYLOR

2.5.1 Công thức Taylor với phần dư Lagrange

Định lý 2.16 Cho hàm số f có đạo hàm đến cấp n I 1 trên (a; b) và Xo G (a; b).

Khi đó, với mọi X 6 (rt; b~), tồn tại số c nằm gùỉa X và 1'0 sao cho

được gọi là phần dư dạng Lagrange cấp n Người ta gọi (2.23) là công thiỉc

r„(x) = 2Z —jry— ( x-x<>)‘

được gọi là đa thĩíc Tai/lor bậc n của hàm số f(x) tại điểm Xo.