Cho nhận định về số phần tử của T.
Trang 1Đề thi số 1 Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ
Câu I: a/ Phát biểu và tổ hợp tuyến tính của một hệ véc tơ và sự biểu diễn tuyến tính
của một véc tơ qua một hệ véc tơ trong không gian véc tơ ¡ n
b/ Trong không gian ¡ , cho 3 H={A ,A ,A ,X1 2 3 } Biết rằng tập hợp
T = =t (t ,t ,t )∈¡ : X t A= +t A +t A ≠ ∅ Cho nhận định về số phần tử của
T
n 1
+∞
= + − −
∑
b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ( n)
n
n 1
3n 1 (x 1)
2 3
+∞
=
+
∑
Câu III: Cho hệ véc tơ {A1=(1,0,2); A2 =(3,2,5); A3 =(0,1, ); B (4,2,7)α = }
Với giá trị nào của α thì rank A ,A ,A{ 1 2 3} =rank A ,A ,A ,B{ 1 2 3 }
Câu IV: Cho hệ phương trình tuyến tính: AX= Ο, trong đó:
−
hệ đã cho
Hết
Trang 2Đáp án đề thi số 1 ngày 20/6/2008 – Đề lẻ
Câu I: b/ Mỗi phần tử của T tương ứng với một cách biểu diễn tuyến tính
của X qua hệ véc tơ {A ,A ,A và cũng là tương ứng với một nghiệm của hệ phương 1 2 3}
trình tuyến tính t A1 1 +t A2 2 +t A3 3 =X (*1)
Giả thiết T≠ ∅cho phép ta khẳng định hệ phương trình (*1) có nghiệm ⇔
rank A ,A ,A =rank A ,A ,A ,X
Nếu rank A ,A ,A{ 1 2 3} =3 thì hệ (*1) chỉ có một nghiệm (vì hệ (*1) là hệ phương trình tuyến tính Cramer) ⇒ T chỉ có một phần tử
Nếu rank A ,A ,A{ 1 2 3} =2 thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào một tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của một đường thẳng
Nếu rank A ,A ,A{ 1 2 3} =1, (tức là 4 véc tơ A ,A ,A ,X tỷ lệ với nhau và có ít nhất 1 2 3 một trong các véc tơ A ,A ,A khác véc tơ không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ 1 2 3 thuộc bậc nhất vào hai tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của một mặt phẳng
Nếu rank A ,A ,A{ 1 2 3} =0, (tức là cả 4 véc tơ A ,A ,A ,X đều là những véc tơ 1 2 3 không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào ba tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của toàn không gian ¡ 3
n 1
+∞
= + − −
n 1
2
+∞
= + + −
n
* Tam thức bậc 2: y x= 2 − −x 1 có 2 nghiệm: x1 1 5 vµ x2 1 5
2
+
− − > ∀ > ⇒ n2 − − > ⇔ >n 1 0 n n 1 n 2+ ∀ ≥ (*2)
− + = − + > ∀ ⇔ > − ∀ > (*3)
Từ (*2) và (*3) ⇒ (*1)
Chuỗi
n 1
1 n
+∞
=
∑ phân kỳ, theo dấu hiệu so sánh 1 thì chuỗi ( )
n 1
+∞
= + − −
= + + − , vn 1
n
u
v
→+∞ = , mặt khác chuỗi
n 1
1 n
+∞
=
∑
n 1
+∞
= + − −
Trang 3b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ( n)
n
n 1
3n 1 (x 1)
2 3
+∞
=
+
∑
Đề thi số 2 Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ
Câu I: a/ Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để một hệ véc tơ là
phụ thuộc tuyến tính
b/ Dùng định lý trên để chứng tỏ hệ hai véc tơ sau là độc lập tuyến tính:
{A1=(2, 3, 0, 1); A2 =(6, 9, 0, 2)}
n 1
ln(n 1) 3x 1
+∞
=
+
∑
Câu III: Cho ma trận
2
1 2
Với giá trị nào của α thì rankA 2 ?=
rankA 3 ?=
Câu IV: Cho hệ phương trình tuyến tính: AX= Ο, trong đó:
−
hệ đã cho
Hết