6.2 Ước lượng khoảng (trường hợp một mẫu)
6.2.1 Ước lượng trung bình tổng thể
Bài toỏn.Giả sử tổng thể cú trung bỡnhàchưa biết. Căn cứ vào mẫuX1, X2, . . . , Xn
quan sát độc lập, với độ tin cậy 1−α, ta cần đưa ra hai số a, b sao cho P (a≤à≤b) = 1−α.
Ta có 4 trường hợp:
1. Ước lượng à trong phõn phối N(à, σ02), (n ≥30, σ20 đó biết)
Để ước lượng trung bỡnh à trong phõn phối chuẩn cú phương sai σ02 đó biết, ta dựngX1, X2, . . . , Xn là mẫu độc lập,Xi∼N(à, σ02)để ước lượng à. Ta cú, do định lý Lindeberg - Lévy:
X ∼N
à, σ02 n
Nên
Z = X−à
σ0
√n
∼ N(0,1)
Từ đó, với ngưỡng xác suất1−α cho trước (0<1−α <1), ta tìm giá trị zα
2 bằng
cách tra bảng phân phối N(0,1) sao cho P −zα
2 ⩽Z ⩽zα2
= 1−α Do đó
1−α = P
X−à
σ0
√n
≤zα
2
!
= P
−zα
2
σ0
√n ≤X−à≤zα
2
σ0
√n
= P
X−zα
2
σ0
√n ≤à≤X+zα
2
σ0
√n
. Vậy chọn
à1 =X−zα
2
σ0
√n, à2=X+zα
2
σ0
√n
2. Ước lượng à trong phõn phối N(à, σ2), (n ≥30, σ2 chưa biết)
Để ước lượng trung bỡnh à trong phõn phối chuẩn cú phương sai chưa biết σ2, ta dựng X1, X2, . . . , Xn là mẫu độc lập, Xi ∼N(à, σ2) để ước lượng à. Ta cú, do định lý Lindeberg - Lévy:
X ∼N
à, σ2 n
Nờn Z = X√−àσ n
∼ N(0,1).
Ta khụng thể dựng biến này để ước lượng àvỡ trong biểu thức cũn chứa tham số σ chưa biết. Do đó, ta dùng phương sai mẫu (đã hiệu chỉnh) S2 làm ước lượng
K24K24 K24
điểm thay thế σ, lưu ý rằng, cũng do định lý Lideberg - Lévy:
Y ≡ (n−1)S2
σ2 ∼χ2(n−1) Do Y, Z độc lập nên bằng cách đặt
T = Z
q Y n−1
Thì T có phân phối Student với bậc tự do n−1 và do đó T =
(X−à)√n
σ
q(n−1)S2
σ2(n−1)
= X−à√ n
S ∼t(n−1)
Từ đó, với ngưỡng xác suất 1−α cho trước (0 <1−α < 1), ta tìm giá trị tn−1α 2
bằng cách tra bảng phân phối t(n−1). Nhắc lại rằng, khi bậc tự do của phân phối Student ≥ 30, thì giá trị tn−1α
2
tương ứng được tìm với bậc tự do là ∞ hay tra zα
2 trong bảng phân phối N(0,1) P −zα
2 ⩽Z ⩽zα2
= 1−α Từ đó, suy ra
1−α = P
X−à
√S n
≤zα
2
!
= P
−zα
2
√S
n ≤X−à≤zα
2
√S n
= P
X−zα
2
√S
n ≤à≤X+zα
2
√S n
. Vậy chọn
à1 =X−zα
2
√S
n, à2=X+zα
2
√S n
3. Ước lượng à trong phõn phối N(à, σ02), (n < 30, σ02 đó biết) Giống như trường hợp 1, ta chọn à1 =X−zα
2
σ0
√n, à2 =X+zα
2
σ0
√n.
4. Ước lượng à trong phõn phối N(à, σ2), (n <30, σ2 chưa biết)
Để ước lượng trung bỡnh à trong phõn phối chuẩn cú phương sai chưa biết σ2, ta dựng X1, X2, . . . , Xn là mẫu độc lập, Xi ∼N(à, σ2) để ước lượng à. Ta cú, do định lý Lindeberg - Lévy:
X ∼N
à, σ2 n
Nờn Z = X√−àσ n
∼ N(0,1).
K24 Học kỳ 1/2019-2020 75
Ta khụng thể dựng biến này để ước lượng àvỡ trong biểu thức cũn chứa tham số σ chưa biết. Do đó, ta dùng phương sai mẫu (đã hiệu chỉnh) S2 làm ước lượng điểm thay thế σ, lưu ý rằng, cũng do định lý Lideberg - Lévy:
Y ≡ (n−1)S2
σ2 ∼χ2(n−1) Do Y, Z độc lập nên bằng cách đặt
T = Z
q Y n−1
Thì T có phân phối Student với bậc tự do (n−1) và do đó T =
(X−à)√n
σ
q(n−1)S2 σ2(n−1)
= X−à√ n
S ∼t(n−1)
Từ đó, với ngưỡng xác suất 1−α cho trước(0<1−α <1), ta tìm giá trị t(n−1,α
2)
bằng cách tra bảng phân phối t(n−1). P
−t(n−1,α
2) ⩽Z ⩽t(n−1,α2)
= 1−α Từ đó, suy ra
1−α = P
X−à
√S n
≤t(n−1,α
2)
!
= P
−t(n−1,α
2)× S
√n ≤X−à≤t(n−1,α
2)× S
√n
= P
X−t(n−1,α
2)× S
√n ≤à≤X+t(n−1,α
2) × S
√n
. Vậy chọn
à1=X−t(n−1,α
2)× S
√n, à2=X+t(n−1,α
2)× S
√n Các bước thực hành
+ Gọi à là trung bỡnh tổng thể + Ta cần tỡm khoảng (à1, à2) + Tìm zα/2 hay t(n−1,α
2) bằng cách tra bảng + Độ chính xác ε
+ Suy ra khoảng ước lượng cần tìm.
Ví dụ 89. Để ước lượng tuổi thọ trung bình của một loại sản phẩm, nhân viên kỹ thuật chọn 40 sản phẩm một cách ngẫu nhiên từ kho sản phẩm. Kết quả kiểm tra cho thấy tuổi thọ trung bình là 200 giờ; s2 = 5776 giờ2. Giả sử rằng tuổi thọ trung bình của sản phẩm có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của sản phẩm trên với độ tin cậy 95%.
K24K24 K24
Hướng dẫn. Ta có: n = 40, s = √
5776 = 76, x= 200. Ước lượng tuổi thọ trung bình của sản phẩm trên với độ tin cậy 95%:
+ Gọi à là tuổi thọ trung bỡnh của sản phẩm + Ta cần tìm khoảng (x−ε, x+ε)
+ α= 5%, zα/2=z0,025= 1,96 + Độ chính xác: ε=zα/2√s
n = 1,96√76
40 = 23,5526
+ Khoảng ước lượng (200−23,5526; 200 + 23,5526) = (176,4474; 223,5526).
Nghĩa là, với độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của sản phẩm nằm trong khoảng từ 176,4474 (giờ) đến 223,5526 (giờ).
Chú ý 6.2.1. Ta có thể tính ε =zα/2√s
n bằng cách dùng hàm CONFIDENCE trong Excel để tính: ε= CONFIDENCE(α, s, n). Theo ví dụ trên:
ε= CONFIDENCE(0.05,76,40) = 23,5522.
Ví dụ 90. Một chi nhánh điện lực thực hiện một nghiên cứu để ước lượng sản phẩm điện tiêu thụ trung bình của các hộ gia đình trong một tháng. Một mẫu gồm 15 hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên, kết quả cho thấy sản lượng điện tiêu thụ điện trung bình hàng tháng của mỗi hộ là 395 kwh và s2 = 120 kwh2. Giả thiết sản lượng điện tiêu thụ của các hộ gia đình là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng sản lượng điện tiêu thụ trung bình của một hộ gia đình ở chi nhánh đó với độ tin cậy 95%.
Hướng dẫn.Ta có:n = 15, s=√
120 = 10,9545, x= 395. Ước lượng sản lượng điện tiêu thụ trung bình của một hộ gia đình ở chi nhánh đó với độ tin cậy 95%:
+ Gọi à là sản lượng điện tiờu thụ trung bỡnh của một hộ gia đỡnh + Ta cần tìm khoảng (x−ε, x+ε)
+ α= 5%→t(n−1,α/2) =t(14;0,025) = 2,145 + Độ chính xác: ε=t(n−1,α/2)× √s
n = 2,145× 10,9545√
15 = 6,0670 + Suy ra (395−6,0670; 395 + 6,0670) = (388,933; 401,067)
Nghĩa là, với độ tin cậy 95%, sản lượng điện tiêu thụ trung bình của một hộ gia đình ở chi nhánh nằm trong khoảng từ 388,933 (kwh) đến 401,067 (kwh).