3.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc
Để xác định một biến ngẫu nhiên rời rạc, ta cần xác định các giá trị xi, i= 1,2, ...
có thể nhận được bởi biến này và đồng thời cũng cần xác định xác suất tương ứng để X nhận các giá trị này là bao nhiêu.
Xét biến ngẫu nhiên rời rạcX nhận các giá trịx1, x2, ..., xn. Giả sửx1 < x2 < ... < xn, ta có bảng phân phối xác suất cho X:
X x1 x2 . . . xi . . . xn
P p1 p2 . . . pi . . . pn
* xi i= 1, n
là các giá trị khác nhau của X.
* pi=P (X =xi)≡P ({ω∈Ω :X(ω) = xi}) là xác suất X nhận giá trị xi.
Như vậy, để lập được một bảng phân phối xác suất cho một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ta cần:
+ Xác định các giá trị có thể có xi của X.
+ Tính các xác suất pi tương ứng với các giá trị xi.
Từ bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc, ta định nghĩa Định nghĩa 3.2.1. Hàm mật độ (xác suất)
Hàm số f :R→R xác định bởi f(x) =
(pi khi x=xi
0 khi x6=xi
Tính chất 3.2.1. Một số tính chất của hàm mật độ xác suất 1. ∀x∈R, f(x)⩾0;
K24K24 K24
2. P
x
f(x) = 1.
Ví dụ 37. Tung một đồng xu gồm hai mặt số và hình 2 lần. Gọi X là số lần được mặt số. Lập bảng phân phối xác suất cho X?
Hướng dẫn.X có thể nhận các giá trị: 0,1,2. Ta có 4trường hợp xảy ra khi tung đồng xu 2 lần: SS, SH, HS, HH.
P(X = 0) =P(HH) = 1/4, P(X = 1) =P(SH +HS) = 2/4, P(X = 2) =P(SS) = 1/4.
Vậy bảng phân phối xác suất của X là
X 0 1 2
P 1/4 2/4 1/4 Ta có hàm mật độ xác suất của X tương ứng là:
f(x) =
1
4 khi x= 0 2
4 khi x= 1 1
4 khi x= 2 0 khi x6= 0,1,2
Ví dụ 38. Hộp có 6 bi, trong đó có 4 bi T, 2 bi Đ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 bi.
Gọi X là số bi T lấy được. Lập bảng phân phối xác suất cho X. Hướng dẫn. X có thể nhận các giá trị: 0,1,2. Đặt
A= biến cố lấy được 0 bi T (2 bi Đ) B = biến cố lấy được 1 bi T
C = biến cố lấy được 2 bi T Ta tính các xác suất như sau:
P(X = 0) =P(A) = C22 C62 = 1
15, P(X = 1) =P(B) = C41.C21
C62 = 8 15, P(X = 2) =P(C) = C42
C62 = 6 15. Vậy bảng phân phối xác suất của X là
X 0 1 2
P 1/15 8/15 6/15
Tính chất 3.2.2. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối X x1 x2 . . . xi . . . xn
P p1 p2 . . . pi . . . pn
K24 Học kỳ 1/2019-2020 27
Khi đó, ta có
• p1+p2+. . .+pn = 1.
• P (a < X < b) = P
a<xi<b
pi.
Chú ý 3.2.1. Khi lập bảng phân phối xác suất thì ta cần lưu ý:
- Ta phải kiểm tra xem tổng các xác suất có bằng 1 hay không.
- Không được tính ra số thập phân nếu phép chia không hết, nếu có giản ước phân số thì phải để cùng mẫu số.
Ví dụ 39. Hộp có 6 bi, trong đó có 4 bi T, 2 bi Đ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 bi.
Gọi X là số bi T lấy được. Lập bảng phân phối xác suất cho X. Hướng dẫn.
X 1 2 3
P CC41C322 6
C42C21 C63
C43C20 C63
Ví dụ 40. Có 3 hộp trong đó có 2 hộp loại I và 1 hộp loại II. Hộp loại I có 3 bi T, 2 bi V. Hộp loại II có 3 bi T, 3 bi V. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Gọi X là số bi T lấy được. Lập bảng phân phối xác suất cho X? Hướng dẫn. Đặt Hi là biến cố lấy được hộp loại i, (i= 1,2). Ta có
P (H1) = 2/3, P (H2) = 1/3.
P(X = 0) =P(H1).P(X = 0|H1) +P(H2).P(X = 0|H2) = 2 3.C22
C52 + 1 3.C32
C62 = 2 15, P(X = 1) =P(H1).P(X = 1|H1) +P(H2).P(X = 1|H2) = 2
3.C31.C21 C52 + 1
3.C31.C31 C62 = 9
15, P(X = 2) =P(H1).P(X = 2|H1) +P(H2).P(X = 2|H2) = 2
3.C32 C52 + 1
3.C32.C31 C62 = 4
15. Vậy bảng phân phối xác suất của X là
X 0 1 2
P 152 159 154 Ví dụ 41. Hộp I có: 3 bi T, 3 bi V.
Hộp II có: 3 bi T, 2 bi V.
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi lấy ngẫu nhiên từ hộp II ra2 bi. Gọi X là số bi T lấy được (trong 2 bi lấy ra từ hộp 2). Lập bảng phân phối xác suất cho X?
Ví dụ 42. Có 2 kiện hàng: Kiện I có 5 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu; Kiện II có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện I ra 2sản phẩm và từ kiện II ra 2 sản phẩm. Lập luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
K24K24 K24
3.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục
Trong trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục, ta dùng hàm mật độ để biểu diễn. Hàm mật độ xác suất f(x) là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:
1. f(x)≥0 với mọi x∈R. 2.
Z +∞
−∞
f(x)dx= 1.
Tính chất 3.2.3. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x). Khi đó, với mọi a, b∈R=R+±∞, ta có
P(a < X < b) = Z b
a
f(x)dx. (3.1)
Ý nghĩa hình học của tính chất này là: xác suất để biến ngẫu nhiên X có giá trị nằm trong khoảng (a, b) chính là diện tích của vùng được tô màu trong hình 3.1.
tionP(a < X < b) =Rb
af(x)dx
Ví dụ 43. Cho hàm số
f(x) =
(1, x∈[0,1], 0, x /∈[0,1].
Hỏi f(x) có là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục X? Ví dụ 44. Hàm số
f(x) = 1
√2πe−x
2
2 , x∈R
là hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc N(0,1).
Tính chất 3.2.4. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x). Ta có
P(X =x0) = 0, ∀x0 ∈R. Nhận xét 6. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì
P(a≤X ≤b) =P (a≤X < b) =P (a < X ≤b) = P(a < X < b). (3.2) Ví dụ 45. Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất
f(x) =
(C 4x−2x2
0< x <2
0 x≤0 hoặc x≥2
a. Giá trị của C là bao nhiêu?
b. Tìm P(X >1).
K24 Học kỳ 1/2019-2020 29
Hướng dẫn
a. Vì f là hàm mật độ xác suất nên ta có Z +∞
−∞
f(x)dx= 1. Nên Z 2
0
C 4x−2x2
dx= 1
⇔ C
2x2− 2x3 3
x=2
x=0
= 1
⇔ C= 3 8 b. P (X >1) = R∞
1 f(x)dx= 38R2
1 4x−2x2
dx= 12